广东省湛江市2020届高三9月调研测试数学（文）试题

广东省湛江市2020届高三9月调研测试数学（文）试题

湛江市2020届高中毕业班调研测试题 文科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，根据集合的交集概念与运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合，，‎ 则，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合，利用集合的交集准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，复数，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的除法运算的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的单调性，可得的取值范围，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，根据对数函数的单调性，可得，‎ ‎，即，‎ 又由，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中根据对数函数的单调性和余弦函数的性质，得到的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知抛物线，则焦点到准线的距离是（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简抛物线的方程，求得，所以焦点到准线的距离，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，抛物线，即，解得，‎ 所以焦点到准线的距离是，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质的应用，其中熟记抛物线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为（ ）‎ A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排列、组合，求得基本事件的总数为 种，再求得选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为种，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人 基本事件的总数为种，‎ 其中选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为种，‎ 所以选中的2人都读过《红楼梦》的概率为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.为了从甲、乙两组学生中选一组参加“喜迎祖国七十华诞，共建全国文明城市”知识竞赛活动，班主任老师将这两组学生最近6次的测试成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图．若甲、乙两组的平均成绩分别是，则下列说法正确的是（ ）‎ A. ，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加竞赛 B. ，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加竞赛 C. ，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加竞赛 D. ，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加竞赛 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出甲和乙的平均数和方差，比较大小，即可得到结论.‎ ‎【详解】由题意，根据茎叶图的数据，可得：‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以乙组的平均成绩好，且乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加比赛，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答熟记茎叶图的平均数和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的首项为，公差为，根据题意列出方程组，求得，即求得数列的通项公式，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，设等差数列的首项为，公差为，‎ 因为，所以 ，解得，‎ 所以数列的通项公式为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的诱导公式求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.‎ ‎【详解】由三角函数的诱导公式，可得，即，‎ 又由.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，在正三棱锥中，求得，进而得到三棱锥的高，再在 直角三角形中，利用勾股定理列出方程，求得球的半径，最后利用球的表面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，因为正三棱锥侧棱长为，底面边长为6，‎ 则，所以三棱锥高,‎ 又由球心到四个顶点的距离相等，‎ 在直角三角形中，，‎ 又由，即，解得，‎ 所以球的表面积为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，以及组合体的性质的应用，其中在直角三角形 中，利用勾股定理列出方程求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎10.在中，内角所对的边分别为.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用两角差的余弦公式，化求得，再利用正弦定理的边角互化，求得，进而利用三角函数的基本关系式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，可得，‎ 根据正弦定理可得，‎ 即，‎ 又由，则，可得，所以，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式的化简和三角函数的基本关系式，以及正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.在长方体中，，点为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在上取点，使得，连接，可得，得到异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，在中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解.‎ ‎【详解】在长方体中，，点为棱上的点，且 ‎，如图所示，在上取点，使得，连接，可得，‎ 所以异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，‎ 设，‎ 又由在直角中，，所以，‎ 在直角中，，所以，‎ 在中，，‎ 由余弦定理可得,‎ 所以所以异面直线与所成角的正弦值，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了空间向量能力，以及推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎12.设函数的定义域为，满足，且当时，.若存在，使得，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数满足，求得函数在上的值域，结合方程，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，因为函数满足，所以 所以当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 由，解得或，‎ 结合题意，可得，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练掌握函数的性质，求得函数的值域，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题．‎ ‎13.函数在处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 因为，所以切线的斜率，所以切线方程为.‎ ‎14.在直角中，点是斜边的中点，且，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，得且，根据向量的数量积的运算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，设，则且，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的表示，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的离心率求出得关系，求得双曲线的一条渐近线的方程，利用点到直线的距离公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，双曲线的离心率为2，‎ 即，解得，‎ 所以双曲线的一条渐近线的方程为，即，‎ 所以点到的渐近线的距离为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16.已知函数（）在区间上是增函数，且在区间上恰好两次取得最大值，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的单调性，列出不等式组，取得，再根据上恰好有两次最大值，求得的取值范围，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数（）在区间上是增函数，‎ 则解得，‎ 又在区间上恰好有两次取得最大值，‎ 所以，解得，所以，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象与性质，列出相应不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知数列和满足，，.‎ ‎（1）证明：是等比数列，‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列的定义，即可证得数列是等比数列；‎ ‎（2）由（1）求得数列，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的和.‎ ‎【详解】（1）由题设，得，即，‎ 又因为，‎ 所以是首项为2，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）由（1）知，，则，‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①②，得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎18.如图1，在等腰梯形中，分别为的中点.现分别沿将和折起，使得平面平面，平面平面，连接，如图2．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求多面体的体积．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，由三角形的中位线，证得平面，再利用线面垂直关系，证得 平面，最后利用面面平行的判定定理，即可得到平面平面.‎ ‎（2）连接，作于，由（1）知，得到点到平面的距离等于点到平面的距离等于点到平面距离，利用体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）在中，点和分别是和的中点，则，‎ 又平面，所以平面 依题意有均为边长为2的正三角形，所以，‎ 又平面平面，则平面，‎ 又平面平面，所以平面.‎ 又平面平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）如图所示，连接，作于，‎ 由（1）知，平面，‎ 则点到平面的距离等于点到平面的距离，等于点到平面距离的，‎ 即.‎ 则.‎ 所以多面体的体积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明，以及几何体的体积的计算，对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的零点个数，‎ ‎（2）当时，，证明不等式恒成立．‎ ‎【答案】(1) 有且只有一个零点. (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，令，求得，到函数的单调性，即可得到结论.‎ ‎（2）要证，只需证，即证，由（1）知，得到函数的单调性，根据，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则，‎ 令，则，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，又，所以即，所以函数在R上单调递增，又，‎ 所以此时有且只有一个零点.‎ ‎（2）令，则，所以函数单调递增，‎ 又由，所以，‎ 所以当时，，所以，‎ 要证 只需，其中，‎ 即证，‎ 由（1）知，当时，函数在上单调递增，且，‎ 所以，恒成立， ‎ 即不等式恒成立，‎ 即，不等式恒成立．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎20.习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：‎ 敬老院 A B C D E F G H I K 满意度x（%）‎ ‎20‎ ‎34‎ ‎25‎ ‎19‎ ‎26‎ ‎20‎ ‎19‎ ‎24‎ ‎19‎ ‎13‎ 投资原y（万元）‎ ‎80‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎78‎ ‎75‎ ‎71‎ ‎65‎ ‎62‎ ‎60‎ ‎52‎ ‎（1）求投资额关于满意度的相关系数；‎ ‎（2）我们约定：投资额关于满意度的相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额关于满意度的线性回归方程（系数精确到0.1）‎ 参考数据：，，，‎ ‎，.‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.线性相关系数.‎ ‎【答案】(1)0.72；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，根据相关系数的公式，可得的值，即可求解；‎ ‎（2）由（1）可知，得投资额关于满意度没有达到较强线性相关，利用公式求得的值，即可得出回归直线的方程.‎ ‎【详解】（1）由题意，根据相关系数的公式，可得.‎ ‎（2）由（1）可知，因为，所以投资额关于满意度没有达到较强线性相关，‎ 所以要“末位淘汰”掉K敬老院.‎ 重新计算得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎.‎ 所以所求线性回归方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归分析的应用，同时考查了回归系数的计算，以及回归直线方程的求解，其中解答中利用公式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21.已知椭圆的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程．‎ ‎（2）设动直线交椭圆于两点，直线的斜率分别为，若，求证的面积为定值，并求此定值.‎ ‎【答案】(1) . (2) 定值为.证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的左、右焦点分别为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）①当直线与轴垂直时，设直线的方程为，求得，②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，以及韦达定理和弦长公式，求得三角形的面积，即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的左、右焦点分别为，‎ 依题意，有，解得，则，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）证明：①当直线与轴垂直时，设直线的方程为，‎ 则可设（），.‎ 由，且，‎ 解得或，‎ 所以.‎ ‎②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，.‎ 联立化简，得.‎ 由，则，即，‎ 所以，‎ 即，‎ 整理得，所以.‎ 又，‎ 点到直线的距离为，所以.‎ 综上，面积为定值，此定值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程，‎ ‎（2）设直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数的基本关系式消去参数，即可求得曲线C的普通方程，代入极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求解曲线C的极坐标方程.‎ ‎（2）将代人曲线的极坐标方程，根据极径的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】（1）将曲线的参数方程消去参数，得.‎ 将及代入上式，得.‎ ‎（2）依题意有.‎ 将代人曲线的极坐标方程，得.‎ 设，则.‎ 所以.‎ 因为，所以，则，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎23.函数的最小值为.‎ ‎（1）求的值，‎ ‎（2）若，且，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，去掉绝对值，得到分段函数，即可求得函数的最小值，得到答案.‎ ‎（2）由（1）知，，则，利用基本不等式，即可求得的最小值，得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数 当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值；‎ 当时，函数的最小值为，‎ 所以函数的最小值为，即.‎ ‎（2）由（1）知，，则，‎ 则 ‎，‎ 当且仅当且时，即时取等号，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值函数应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理去掉绝对值得到分段函数，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎ ‎