2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第二章 9 第9讲 函数模型及其应用

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2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第二章 9 第9讲 函数模型及其应用

‎[基础题组练]‎ ‎1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(  )‎ x ‎1.992‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5.15‎ ‎6.126‎ y ‎1.517‎ ‎4.041 8‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ A.y=2x-2         B.y=(x2-1)‎ C.y=log2x D.y=logx 解析:选B.由题中表可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大得越来越快,分析选项可知B符合,故选B.‎ ‎2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(  )‎ 解析:选A.前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A、C图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.‎ ‎3.一种放射性元素的质量按每年10%衰减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1,已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)(  )‎ A.5.2 B.6.6‎ C.7.1 D.8.3‎ 解析:选B.设这种放射性元素的半衰期是x年,则(1-10%)x=,化简得0.9x=,即x=log0.9===≈6.6(年).故选B.‎ ‎4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为(  )‎ A.13 m3 B.14 m3‎ C.18 m3 D.26 m3‎ 解析:选A.设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,由题意得y=‎ 则10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13.‎ ‎5.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(  )‎ A.40万元 B.60万元 C.120万元 D.140万元 解析:选C.甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40万元,乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80万元,共获利40+80=120万元,故选C.‎ ‎6.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为(  )‎ A.[2,4] B.[3,4]‎ C.[2,5] D.[3,5]‎ 解析:选B.根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,‎ 所以9=(2BC+x)x,得BC=-,‎ 由得2≤x<6.‎ 所以y=BC+2x=+(2≤x<6),由y=+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),‎ 所以腰长x的范围是[3,4].‎ ‎7.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.‎ 加油时间 加油量(升)‎ 加油时的累计里程(千米)‎ ‎2016年5月1日 ‎12‎ ‎35 000‎ ‎2016年5月15日 ‎48‎ ‎35 600‎ 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.‎ 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为________升.‎ 解析:因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600-35 000=600(千米),故每100千米平均耗油量为48÷6=8(升).‎ 答案:8‎ ‎8.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km.‎ 解析:设出租车行驶x km时,付费y元,‎ 则y= 由y=22.6,解得x=9.‎ 答案:9‎ ‎9.里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.‎ 解析:M=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.‎ 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1,A2,则9=lg A1-lg A0=lg ,则=109,‎ ‎5=lg A2-lg A0=lg ,则=105,所以=104.‎ 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍.‎ 答案:6 10 000‎ ‎10.(2020·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为________海里/小时时,总费用最小.‎ 解析:设每小时的总费用为y元,则y=kv2+96,又当v=10时,k×102=6,‎ 解得k=0.06,‎ 所以每小时的总费用y=0.06v2+96,匀速行驶10海里所用的时间为小时,故总费用为W=y=(0.06v2+96)=0.6v+≥2=48,当且仅当0.6v=,‎ 即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时.‎ 答案:40‎ ‎11.A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度.‎ ‎(1)求x的取值范围;‎ ‎(2)把月供电总费用y表示成x的函数;‎ ‎(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?‎ 解:(1)x的取值范围为10≤x≤90.‎ ‎(2)y=5x2+(100-x)2(10≤x≤90).‎ ‎(3)因为y=5x2+(100-x)2=x2-500x+25 000=+,所以当x=时,ymin=.故核电站建在距A城 km处,能使供电总费用y最少.‎ ‎12.如图,GH是一条东西方向的公路,现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库,设AB=y千米,并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上).若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°.‎ ‎(1)求y关于x的函数解析式;‎ ‎(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米,道路的造价为30万元/千米,问x取何值时,修建中转站和道路的总造价M最低?‎ 解:(1)由题意易知x>1,BC=2x,‎ 又AB=y,AC=y-1,‎ 在△ABC中,由余弦定理得,(y-1)2=y2+4x2-2y·2x·cos 60°,‎ 所以y=(x>1).‎ ‎(2)M=30(2y-1)+40x=-30+40x,其中x>1,‎ 设t=x-1,则t>0,‎ 所以M=-30+40(t+1)=160t++250≥2+250=490,‎ 当且仅当t=时等号成立,此时x=.‎ 所以当x=时,修建中转站和道路的总造价M最低.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是(  )‎ A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时 解析:选C.由已知得192=eb,①‎ ‎48=e22k+b=e22k·eb,②‎ 将①代入②得e22k=,则e11k=,‎ 当x=33时,y=e33k+b=e33k·eb=×192=24,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时.故选C.‎ ‎2.某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档次产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则每天获得利润最大时生产产品的档次是(  )‎ A.7 B.8‎ C.9 D.10‎ 解析:选C.由题意,当生产第k档次的产品时,每天可获利润为y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10,k∈N*),配方可得y=-6(k-9)2+864,所以当k=9时,获得利润最大.选C.‎ ‎3.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元.‎ 解析:因为m=6.5,所以[m]=6,则f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.‎ 答案:4.24‎ ‎4.某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是________万元.‎ 解析:设公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16-x)辆,所以可得利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1+0.1×+32.因为x∈[0,16]且x∈N,所以当x=10或11时,总利润取得最大值43万元.‎ 答案:43‎ ‎5.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.‎ ‎(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式;‎ ‎(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.‎ 解:(1)由题图,设y= 当t=1时,由y=4得k=4,‎ 由=4得a=3.‎ 所以y= ‎(2)由y≥0.25得或 解得≤t≤5.‎ 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-=(小时).‎ ‎6.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单元:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).‎ ‎(1)求f(50)的值;‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?‎ 解:(1)由题意知甲大棚投入50万元,‎ 则乙大棚投入150万元,‎ 所以f(50)=80+4+×150+120=277.5(万元).‎ ‎(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得⇒20≤x≤180,‎ 故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).‎ 令t=,则t∈[2,6],y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,‎ 当t=8,即x=128时,f(x)取得最大值,f(x)max=282.‎ 所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.‎
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