2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第二章　9 第9讲　函数模型及其应用

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第二章　9 第9讲　函数模型及其应用

‎[基础题组练]‎ ‎1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)‎ x ‎1.992‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5.15‎ ‎6.126‎ y ‎1.517‎ ‎4.041 8‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ A.y＝2x－2　　　　　 　　 B．y＝(x2－1)‎ C．y＝log2x D．y＝logx 解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.‎ ‎2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　)‎ 解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.‎ ‎3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　)‎ A．5.2 B．6.6‎ C．7.1 D．8.3‎ 解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x年，则(1－10%)x＝，化简得0.9x＝，即x＝log0.9＝＝＝≈6.6(年)．故选B.‎ ‎4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)‎ A．13 m3 B．14 m3‎ C．18 m3 D．26 m3‎ 解析：选A.设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝‎ 则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.‎ ‎5.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　)‎ A．40万元 B．60万元 C．120万元 D．140万元 解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80万元，共获利40＋80＝120万元，故选C.‎ ‎6.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为(　　)‎ A．[2，4] B．[3，4]‎ C．[2，5] D．[3，5]‎ 解析：选B.根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，‎ 所以9＝(2BC＋x)x，得BC＝－，‎ 由得2≤x<6.‎ 所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，由y＝＋≤10.5，解得3≤x≤4.因为[3，4]⊆[2，6)，‎ 所以腰长x的范围是[3，4]．‎ ‎7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．‎ 加油时间 加油量(升)‎ 加油时的累计里程(千米)‎ ‎2016年5月1日 ‎12‎ ‎35 000‎ ‎2016年5月15日 ‎48‎ ‎35 600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．‎ 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．‎ 解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．‎ 答案：8‎ ‎8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.‎ 解析：设出租车行驶x km时，付费y元，‎ 则y＝ 由y＝22.6，解得x＝9.‎ 答案：9‎ ‎9．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．‎ 解析：M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.‎ 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，‎ ‎5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.‎ 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．‎ 答案：6　10 000‎ ‎10．(2020·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．‎ 解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，‎ 解得k＝0.06，‎ 所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用为W＝y＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋≥2＝48，当且仅当0.6v＝，‎ 即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．‎ 答案：40‎ ‎11．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．‎ ‎(1)求x的取值范围；‎ ‎(2)把月供电总费用y表示成x的函数；‎ ‎(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？‎ 解：(1)x的取值范围为10≤x≤90.‎ ‎(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．‎ ‎(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋，所以当x＝时，ymin＝.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．‎ ‎12.如图，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB＝y千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上)．若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC＋1，且∠ABC＝60°.‎ ‎(1)求y关于x的函数解析式；‎ ‎(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？‎ 解：(1)由题意易知x>1，BC＝2x，‎ 又AB＝y，AC＝y－1，‎ 在△ABC中，由余弦定理得，(y－1)2＝y2＋4x2－2y·2x·cos 60°，‎ 所以y＝(x>1)．‎ ‎(2)M＝30(2y－1)＋40x＝－30＋40x，其中x>1，‎ 设t＝x－1，则t>0，‎ 所以M＝－30＋40(t＋1)＝160t＋＋250≥2＋250＝490，‎ 当且仅当t＝时等号成立，此时x＝.‎ 所以当x＝时，修建中转站和道路的总造价M最低．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)‎ A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 解析：选C.由已知得192＝eb，①‎ ‎48＝e22k＋b＝e22k·eb，②‎ 将①代入②得e22k＝，则e11k＝，‎ 当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.‎ ‎2．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(　　)‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ 解析：选C.由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N*)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.‎ ‎3．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．‎ 解析：因为m＝6.5，所以[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.‎ 答案：4.24‎ ‎4．某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．‎ 解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1＋0.1×＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．‎ 答案：43‎ ‎5．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．‎ ‎(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式；‎ ‎(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．‎ 解：(1)由题图，设y＝ 当t＝1时，由y＝4得k＝4，‎ 由＝4得a＝3.‎ 所以y＝ ‎(2)由y≥0.25得或 解得≤t≤5.‎ 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)．‎ ‎6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．‎ ‎(1)求f(50)的值；‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？‎ 解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，‎ 则乙大棚投入150万元，‎ 所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(万元)．‎ ‎(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依题意得⇒20≤x≤180，‎ 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．‎ 令t＝，则t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，‎ 当t＝8，即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.‎ 所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．‎