2017年辽宁省沈阳市高考一模数学理

2017年辽宁省沈阳市高考一模数学理

2017 年辽宁省沈阳市高考一模数学理 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|x(x-3)＜0}，B={-1，0，1，2，3}，则 A∩B=( ) A.{-1} B.{1，2} C.{0，3} D.{-1，1，2，3} 解析：∵集合 A={x|x(x-3)＜0}={x|0＜x＜3}， B={-1，0，1，2，3}， ∴A∩B={1，2}. 答案：B. 2.已知 i 是虚数单位，复数 i·z=1-2i，则复数 z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 答案：C. 3.已知平面向量 a =(3，4)，b =(x， 1 2 )，若 a ∥ ，则实数 x 为( ) A.- 2 3 B. 2 3 C. 3 8 D.- 3 8 解析：利用向量共线定理即可得出. 答案：C. 4.命题 p：“  x∈N+，( )x≤ ”的否定为( ) A. x∈N+，( )x＞ B. xN+，( )x＞ C.  xN+，( )x＞ D.  x∈N+，( 1 2 )x＞ 解析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可. 答案：D. 5.已知直线 l：y=k(x+ 3 )和圆 C：x2+(y-1)2=1，若直线 l 与圆 C 相切，则 k=( ) A.0 B. 3 C. 3 3 或 0 D. 3 或 0 解析：找出圆心坐标与半径 r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d，根据直 线与圆相切，得到圆心到直线的距离 d=r，即可求出 k 的值. 答案：D. 6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的表面积为( ) A.36+6 10 B.36+3 10 C.54 D.27 解析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积 公式，可得答案. 答案：A. 7.将 A，B，C，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好 有 1 名同学”的概率是( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 解析：先求出基本事件总数 n= 4 4A ，再利用列举法求出“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”的 概率. 答案：B. 8.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二， 五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数 N 除以正整 数 m 后的余数为 n，则记为 N=n(modm)，例如 11=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给 出，执行该程序框图，则输出的 n 等于( ) A.21 B.22 C.23 D.24 解析：该程序框图的作用是求被 3 除后的余数为 2，被 5 除后的余数为 3 的数，在所给的选 项中，满足被 3 除后的余数为 2，被 5 除后的余数为 3 的数只有 23. 答案：C. 9.将函数 f(x)=2sin(ωx+ 4  )(ω＞0)的图象向右平移 4   个单位，得到函数 y=g(x)的图象， 若 y=g(x)在[- 6  ， 3  ]上为增函数，则ω的最大值为( ) A.3 B.2 C. 3 2 D. 5 4 解析：根据平移变换的规律求解 g(x)，结合三角函数 g(x)在[- 6  ， 3  ]上为增函数建立不 等式即可求解ω的最大值. 答案：C. 10.已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的不同点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，AB=1，BC= 2 ，若球 O 的表面积为 4π，则 SA=( ) A. 2 2 B.1 C. 2 D. 3 2 解析：由已知中 S、A、B、C 是球 O 表面上的点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，易 S、A、B、C 四 点均为长宽高分别 SA，AB，BC 三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体 对角线，利用球的表面积公式即可得到答案. 答案：B. 11.已知双曲线 C： 22 22 xy ab =1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 与双曲线 C 的焦点不重合，点 M 关于 F1，F2 的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在双曲线的右支上， 若|AN|-|BN|=12，则 a=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：根据已知条件，作出图形，MN 的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中 位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为 2a，求出 ||AN|-|BN||，可得结论. 答案：A. 12.已知函数 f(x)=  2 22 12 log 1 1 x x xx       ， ， ＞ ，则函数 F(x)=f[f(x)]-2f(x)- 3 2 的零点个数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：令 t=f(x)，F(x)=0，则 f(t)-2t- 3 2 =0，分别作出 y=f(x)和直线 y=2x+ 3 2 ，得到两交 点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数. 答案：A. 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上) 13.二项式(x+ 1 2x )6 的展开式中的常数项为_____. 解析：利用二项式展开式的通项公式，令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式 中的常数项. 答案： 5 2 . 14.若实数 x，y 满足不等式组 0 10 30 x xy xy          ，则目标函数 z=3x-y 的最大值为_____. 解析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联 立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 答案：1. 15.已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，且满足 4S=a2-(b-c)2， b+c=8，则 S 的最大值为_____. 解 析 ： 满 足 S=a2-(b-c)2 ， b+c=8， 利 用 余 弦 定 理 与 三 角 形 的 面 积 计 算 公 式 可 得 ： 2bcsinA=2bc-(b2+c2-a2)=2bc-2bccosA，化为 sinA=1-cosA，与 sin2A+cos2A=1，解得 sinA， 进而利用三角形面积公式，再利用基本不等式的性质即可得出. 答案：8. 16.设函数 f(x)=g( 2 x )+x2，曲线 y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 9x+y-1=0，则曲线 y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为_____. 解析：由题意求得 g(1))=-8，g′(1)=-9，对 f(x)求导，注意复合函数的导数，求出 f(2)， x=2 处切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程. 答案：x+2y+6=0. 三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，首项 a1=1，且 a1，a2，a4 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设数列{bn}满足 bn= 2 na na  ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析：(Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出. (Ⅱ)利用等差数列与等比数的求和公式即可得出. 答案：(Ⅰ)设数列{an}的公差为 d，由题设，a2 2=a1a4， 即(1+d)2=1+3d，解得 d=0 或 d=1 又∵d≠0，∴d=1，可以求得 an=n (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn=n+2n， Tn=(1+21)+(2+22)+(3+23)+…+(n+2n)=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=  1 2 nn +2n+1-2. 18.为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市 高三理科生中随机抽取 50 名学生进行调查，得到如下 2×2 列联表：(单位：人). (Ⅰ)据此样本，能否有 99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？ (Ⅱ)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生 (人数众多)中随机抽取 3 人，设 3 人中报考“经济类”专业的人数为随机变量 X，求随机变 量 X 的概率分布及数学期望. 附：参考数据： (参考公式：X2=  2 11 22 12 21 12 12n n n n n n n n n      ) 解析：(Ⅰ)计算 K2，根据临界值表作出结论； (Ⅱ)分别计算 X=0，1，2，3 时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差. 答案：(Ⅰ)Χ2=  2 250 36 336 50 300 25 30 20 20 30 30 20 20 30 2        =12.5＞6.635 ∴有 99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关. (Ⅱ)估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为 p= 20 2 50 5 X 的可能取值为 0，1，2，3，由题意，得 X～B(3， 2 5 )，P(X=k)= 3 3 23 55 kk kC            ，(k=0， 1，2，3) ∴随机变量 X 的分布列为 ∴随机变量 X 的数学期望 E(X)= 6 5 . 19.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点 O 为 AC 中点. (Ⅰ)证明：A1O⊥平面 ABC； (Ⅱ)求二面角 A-A1B-C1 的大小. 解析：(Ⅰ)推导出 A1O⊥AC，由此能证明 A1O⊥平面 ABC. (Ⅱ)以 O 为原点，OB，OC，OA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出二面角 A-A1B-C1 的大小. 答案：(Ⅰ)证明：∵AA1=A1C，且 O 为 AC 的中点， ∴A1O⊥AC， 又∵侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，交线为 AC，且 A1O平面 AA1C1C， ∴A1O⊥平面 ABC. 解：(Ⅱ)如图，以 O 为原点，OB，OC，OA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系. 由已知可得 O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0， 3 )，C1(0，2， 3 )，B( 3 ，0，0) ∴ AB =( 3 ，1，0)， 1AB=( 3 ，0，- 3 )， 11AC =(0，2，0) 设平面 AA1B 的一个法向量为 m =(x1，y1，z1)， 则有 11 1 11 300 0 3 3 0 xym AB m A B xz      令 x1=1，得 y1= ，z1=1 ∴ =(1，- ，1) 设平面 A1BC1 的法向量为 n =(x2，y2，z2)， 则有 211 221 200 3 3 00 ym AC xzm A B     令 x2=1，则 y2=0，z2=1，∴ n =(1，0，1) ∴cos＜ m ， ＞= 2 10 510  ∴所求二面角的大小为 arccos(- 10 5 ). 20.已知椭圆 C： 22 22 xy ab =1(a＞b＞0)的左焦点为 F1(- 6 ，0)，e= 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)如图，设 R(x0，y0)是椭圆 C 上一动点，由原点 O 向圆(x-x0)2+(y-y0)2=4 引两条切线， 分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求证：k1·k2 为定值； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，试问 OP2+OQ2 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 解析：(Ⅰ)由题意得，c，a，推出 b，即可得到椭圆的方程. (Ⅱ)由已知，直线 OP：y=k1x，OQ：y=k2x，且与圆 R 相切，列出方程，说明 k1，k2 是方程 k2-2x0y0k +y0 2-4=0 的两个不相等的实数根，推出 k1k2= 2 0 2 0 4 4 y x   ，通过点 R(x0，y0)在椭圆 C 上，化简求 解即可. ( Ⅲ )OP2+OQ2 是 定 值 18. 设直线 OP ： y=k1x ， OQ ： y=k2x ， 联 立 1 22 112 6 y k x xy   解得  2 122 11 2 1 12 1 12 k xy k   同理，得  2 222 22 2 2 12 1 12 k xy k   ，然后计算 OP2+OQ2=x1 2+y1 2+x2 2+y2 2 化简求解即可. 答案：(Ⅰ)由题意得，c= ，e= ，解得 a=2 3 ，b= 22 6ac ∴椭圆方程为 22 12 6 xy =1. (Ⅱ)由已知，直线 OP：y=k1x，OQ：y=k2x，且与圆 R 相切， ∴ 1 0 0 2 11 k x y k   =2，化简得(x0 2-4)k1 2-2x0y0k1+y0 2-4=0 同理(x0 2-4)k2 2-2x0y0k2+y0 2-4=0， ∴k1，k2 是方程 k2-2x0y0k +y0 2-4=0 的两个不相等的实数根 ∴x0 2-4≠0，△＞0，k1k2= 2 0 2 0 4 4 y x   ∵点 R(x0，y0)在椭圆 C 上，所以 22 00112 6 xy，即 22 00 16 2yx ∴k1k2= 2 0 2 0 12 12 42 x x   . (Ⅲ)OP2+OQ2 是定值 18. 设直线 OP：y=k1x，OQ：y=k2x，k1·k2=- 1 2 ， 联立 1 22 112 6 y k x xy   解得 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 12 12 12 12 x k ky k       ∴  2 122 11 2 1 12 1 12 k xy k   同理，得  2 222 22 2 2 12 1 12 k xy k   由 OP2+OQ2=x1 2+y1 2+x2 2+y2 2=    22 12 22 12 12 1 12 1 1 2 1 2 kk kk   ， ∴OP2+OQ2=       2 2 2 2 211 2 1 1 22 2 2 2 1 2 1 1 1 112 1 212 1 12 1 12 1 18 36 1 2 1 2 1 2 1 2112 2 kk k k k k k k k k                 =18 综上：OP2+OQ2=18. 21.已知函数 f(x)=ex-1-x-ax2. (Ⅰ)当 a=0 时，求证：f(x)≥0； (Ⅱ)当 x≥0 时，若不等式 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于 x 的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值， 证出结论即可； (Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求得实数 a 的取值范 围. 答案：(Ⅰ)a=0 时，f(x)=ex-1-x， f′(x)=ex-1 当 x∈(-∞，0)时，fˊ(x)＜0； 当 x∈(0，+∞)时，fˊ(x)＞0 故在单调递减，在单调递增， f(x)min=f(0)=0，∴f(x)≥0 (Ⅱ)fˊ(x)=ex-1-2ax，令 h(x)=ex-1-2ax，则 hˊ(x)=ex-2a. 1)当 2a≤1 时，在[0，+∞)上，hˊ(x)≥0，h(x)递增，h(x)≥h(0)， 即 fˊ(x)≥fˊ(0)=0，∴f(x)在[0，+∞)为增函数， ∴f(x)≥f(0)=0，∴a≤ 1 2 时满足条件； 2)当 2a＞1 时，令 hˊ(x)=0，解得 x=ln2a， 当 x∈[0，ln2a)上，hˊ(x)＜0，h(x)单调递减， ∴x∈(0，ln2a)时，有 h(x)＜h(0)=0，即 fˊ(x)＜fˊ(0)=0， ∴f(x)在区间(0，ln2a)为减函数， ∴f(x)＜f(0)=0，不合题意 综上得实数 a 的取值范围为(-∞， 1 2 ]. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22.以直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=x，圆 C： 1 2 x cos y sin          (φ为参数)，以坐标原点为 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求直线 l 与圆 C 的极坐标方程； (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 的交点为 M，N，求△CMN 的面积. 解析：(Ⅰ)利用三种方程的互化方法，求直线 l 与圆 C 的极坐标方程； (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 的交点为 M，N，求出圆心到直线的距离，|MN|，即可求△CMN 的面积. 答案：(Ⅰ)将 C 的参数方程化为普通方程为(x+1)2+(y+2)2=1，极坐标方程为ρ2+2ρcosθ+4 ρsinθ+4=0 直线 l：y=x 的极坐标方程为θ= 4  (ρ∈R)， (Ⅱ)圆心到直线的距离 d= 12 2 22   ，∴|MN|= 12 1 22 ， ∴△CMN 的面积 S= 1 2 122 2 2   . [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x-a|- 1 2 x，(a＞0). (Ⅰ)若 a=3，解关于 x 的不等式 f(x)＜0； (Ⅱ)若对于任意的实数 x，不等式 f(x)-f(x+a)＜a2+ 2 a 恒成立，求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)将 a 的值带入 f(x)，两边平方求出不等式的解集即可； (Ⅱ)求出 f(x)=|x-a|-|x|+ ，原问题等价于|a|＜a2，求出 a 的范围即可. 答案：(Ⅰ)a=3 时，f(x)=|x-3|- x＜0， 即|x-3|＜ x， 两边平方得：(x-3)2＜ 1 4 x2， 解得：2＜x＜6， 故不等式的解集是{x|2＜x＜6}； (Ⅱ)f(x)-f(x+a)=|x-a|- x-|x|+ (x+a)=|x-a|-|x|+ ， 若对于任意的实数 x，不等式 f(x)-f(x+a)＜a2+ 恒成立， 即|x-a|-|x|+ ＜a2+ 对 x∈R 恒成立， 即 a2＞|x-a|-|x|，而|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|， 原问题等价于|a|＜a2，又 a＞0， ∴a＜a2，解得 a＞1.