高三数学同步辅导教材(第1讲)

高三数学同步辅导教材(第1讲)

高三数学同步辅导教材（第 1 讲） 一、本讲进度 §1.1—§1.4. 统计 课本 P4—P27. 二、学习指导 统计就是通过对样本的研究来估计总体的相关情况。这种估计的可靠性，取决于两个方面：一是对 样本恰当的采集，二是对样本进行适当的分析. 1．在可能的情况下，样本容量越大越好．在确定样本容量后，对样本的采集的原则只有一条：公平 性．即使每个个体被采入的概率相等（即若总体容量为 N，样本容量为 n，应使每个个体被采入的概率 均为 N n ）．为此，我们常用以下三种样本采集法： （1）简单随机抽样法．传统常用抽签法和随机数表法，一般适用于样本容量较小者. 其中随机数表法初学者易产生一些误解，故应指出： ①第二步中“任选一数”才能保证公平性，不必也不能每次都仿课本中例题那样选“5”, ②课本例题中“向右”他是照顾阅读习惯而已，从理论上说，也可向左、向上、向下、 向左下、向右上等方向，甚至可以有规律地“跳读”．但这不意味着“随意读”，如 之类的读法， 就人为地破坏了“公平性”．（前一句话中“有规律”的说法也是为了避免无意间破坏了这种“公平性”） ③不需以为随机数表中两数一节，只适用于二位数，这只是便于你阅读的一种印刷方式而已，一位 数，三位数等也适用； ④统计工作者现在常用计算机来产生随机数，我们这两年耳熟能详“计算机派位”就是一例，又快 又方便。 （2）分层抽样．当总体由差异明显的几部分构成时，为了充分利用已有信息，同时也是为了更好地 用样本估计总体，应采用分层抽样。但要注意：①每层中抽取的样本数应为 n1· N n （n1 为该层总个数， n 为样本容量，N 为总体个数）； ②在每层中应采用简单随机抽样。 （3）系统抽样．当总体个数较多，且分成均衡的几个部分时，可采用系统抽样，这样省时省力，但 应注意，在每个部分中的抽取规则必须对每一个体“公平”. 2．用样本估计总体，一般应做如下几件事： （1）频率分布．先求样本数据中最大值与最小值的差，（称为极差），再确定合适的组数和组距，决 定分点（每个分点只能属于一组，故一般采用半开半闭区间），然后列出频率分布表（准确，查数据容易）， 画频率分布直方图（直观）． （2）总体期望值的估计，计算样本平均值 x =   n i ix 1 . （3）总体方差（标准差）的估计： 方差= n 1 2 1 )(   n i i xx 标准差 S= 方差 方差（标准差）较小者较稳定。 本章内容实践性很强，建议在弄清原理和频率的基础上从实习作业为龙头带动学习. 三、典型例题讲评 例 1．某学院有四个饲养房、分别养有 18、54、24、48 只白鼠供实验用．某项实验需抽取 24 只， 你认为最合适的抽样方法为（ ） （A）在每个饲养房各抽取 6 只； （B）把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随机取样法确定 24 只； （C）在四个饲养房分别随手提出 3、9、4、8 只； （D）先确定这四个饲养房应分别抽取 3、9、4、8 只样品，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简单 随机取样法确定各自己捕出的对象. 依据公平性原则，根据实际情况确定适当的取样方法，是本题的灵魂. （A）中对四个饲养房平均摊派，但由于各饲养房所养数量不一，反而造成了各个体入选概率的不 均衡，是错误的方法； （B）中保证了各个体入选概率的相等，但由于没有注意到处在四个不同环境会产生不同差异，不 如采有分层抽养可靠性高，且统一偏号统一选择加大了工作量； （C）中总体用采了分层抽样，但在每个层次中没有考虑到个体的差异（如健壮程度，灵活程度） 貌似随机，实则各个体概率不等。 各饲养房必然会造成不同的差异，及同一饲养房中各个体的差异是初学者忽视的. 例 2．对某种新品电子元件进行寿命终极度实验. 情况如下： 寿命（h） 100—200 200—300 300—400 400—500 500—600 个数 20 30 80 40 30 （1）列出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布图. （2）估计合格品（寿命 100—400h 者）的概率和优质品（寿命 40h 以上者）的概率. （3）估计总体的数学期望值. 通过此题初步体会统计在现实生产，生活中的作用，并了解相关步骤. 例 3．设 nx 、 2 nS 分别表示样本（x1，x2，…，xn）的平均值和方差， 1nx 、 2 1nS 分别表示样本 （x1，x2，…，xn+1）的平均值和方差，求证：（n－1） 2 1nS =n + )1( n n 2 1)(  nn xx 本题是探求样本容量由 n 增大到 n+1 时，平均值及方差的变化情况． 寻求 与 关系中遇到的第一个问题是，如何把 － ix 转换为 － ？所以我们应选探求 与 间的关系。且不难由 = 1 11    n xxx nn = 1n n + 1 1 n 1nx 知 － = － + 1 1 n = － + 1 1   n xx nn .或 ( － )+ 1 1   n xx in ． 用哪一个形式好？看要证结论的形式便知应用前一种形式. 于是，( － )2=( － )2+ 2 2 1 )1( )(   n xx nn + 1 2 n ( － )( 1nx － )， （n+1） =n +( － )2+(n+1)· + 1 )(2 1   n xx nn [（n+1） －（ x1+…+xn+xn+1）] =n + 1 )( 2 1   n xx nn +（ － ）2+ （ － ） =n + 1 )( 2 1   n xxn nn ． 前 n 项和与平均值，前 n+1 项和与平均值的关系虽然不复杂，但对初学者是生疏的，尝试着推出结论， 对思维的发展不无益处． 例 4．某市农科所为寻找适合本市的优良油菜品种，在本市 5 个乡各选了条件相近的 3 块地，试种 A、B、C 三种油菜.每块试验田面积均为 0.7 公顷，试根据下表所列产量情况作一评选：（表中产量单位 为 kg） 1 2 3 4 5 A 21.5 20.4 22.0 21.2 19.9 B 21.3 23.69 18.9 21.4 19.8 C 17.8 23.3 21.4 19.7 20.8 为评定优劣，我们只须每块地（0.7 公顷）的平均产量以估计产量的期望值及计算相应的标准差，以 估计产量的稳定性即可. 例 5．为考察某地区 12 个行政村 3000 名适龄青年的踽齿发病情况，欲从中抽取 300 人为样本进行 分析，应采用哪种抽样较为合理？并简述抽样过程. 一般来说，各行政村人数差异是不能忽略的，为保证每个适龄青年等可能入选，应采用分层抽样法， 对每个村抽取其适龄人数的 10 1 ．具体地可用简单随机抽样法产生，先把每个个青年编号制签，抽取即可. 例 6．在例 5 中，如果我们决定先从 12 个村中选抽 3 个村再从这三个村中抽取 300 个样本，为使 12 个村的每个适龄青年被抽取的概率相同，又应怎样取样？ 在三个村选定后，从这三个村选样本的情况应与例 5 类似（不过 12 改成了 3 而已）关键在于三个村怎 样确定. 做 12 个签，随意抽取 3 个显然是不公平的，设第 m 个村适龄人数为 mi，该村每个适龄青年入选概率 为 12 3 ( i kji mmmm  300 )· im 1 = )(4 100 kji mmm  (mj、mk 为另两种签的村的适龄个数)而不再是 （mi · 300 300 ）· = . 所以，为了保证每个适龄青年入选概率相等，选行政村时就不能等概率，而应让其中签的概率为 121 mm mi  = 3000 im ，这样每个适龄青年入围的概率仍是 ·300· = . 当然，具体操作时，不可能那样精细，比方说，如果这 12 个村的适龄人数大约是 1 ：1 ：1 ：1 ： 2 ：2 ：2 ：2 ：2 ：3 ：3 ：3，则可制 1×4+2×5+3×3=23 个签，其中有 3 个是“中”，其余 20 个 是“不中”，让村长抽签，比例是 1 的抽 1 个.比例是 2 的抽 2 个，比例是 3 的抽 3 个. 例 7．某次考试，某班的成绩写累积频率分布图如下，据此图，你能得到哪些结论？ 巩固练习 1．A ①教育局督学组到学校检查工作，临时需在每个班各抽调二人参加座谈；②某班期中考试有 15 人在 85 分以上，40 人在 60～84 分，1 人不及格，现欲从中抽出八人研讨进一步改进教和学；③某班 元旦聚会，要产生两者“幸运者”对这三件事，合适的抽样方法为（ ） （A）分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 （B）系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 （C）分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 （D）系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 2A 已知一个样本：25、21、23、25、27、29、25、28、30、29、26、24、25、27、26、22、24、 25、26、28、试以 2 为组矩，列出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布图，并由此估计总 累积频率 成绩10090 1 40302010 1 8 4 80706050 4 1 2 3 1 体在 22～28 间的概率. 3A 实习作业，题目：我校毕业班的周作业量调查. 要求：写出样本采集过程及全部样本数据，写出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布 图，算出数学期望. 参考答案： 1．D 2．极差=30－21=9。组矩 2，故分为 5 组。 频率分布表 频数 频率 累积频率 20.5～22.5 2 0.1 0.1 22.5～24.5 3 0.15 0.25 24.5～26.5 8 0.4 0.65 26.5～28.5 4 0.2 0.85 28.5～30.5 3 0.15 1 频率分布直与图 累积频率分布图 22～28 间的概率约为 0.85－0.1=0.75 附录 例 1．总体个数为 18+54+24+48=144 144 24 = 6 1 18× =3 54× = 4 48× =8 故各饲养房各采集容量为 3、9、4、8 的样本，由于各个体易捕捉程度不一，故不能随手抓捕.选（ D） 例 2． 频率分布表 寿命（h） 频数 频率 累积频率 100—200 20 0.10 0.10 200—300 30 0.15 0.25 300—400 80 0.40 0.65 400—500 40 0.20 0.85 500—600 30 0.15 1 30.520.5 26.522.5 24.5 28.5 组矩 频率 0.2 24.520.50 22.5 30.528.526.5 1 0 合计 200 1 寿命 100～400h 的频率为 0.65， 400～600h 的频率为 0.35 估计总体均值 2 200100  × 0.01+ 2 300200  × 0.15+ 2 400300  × 0.40 + 2 500400  × 0.20+ 2 600500  ×0.15=365（h） 例 3． 1nx = 1 11    n xxx nn = 1 1    n xxn nn = 1n n nx + 1 1   n xn ∴ 1nx － kx = x － － 1 1    n xx nn ∴（ － ）2=（ － ）2－ 1 ))((2 1    n xxxx nnkn + 2 2 1 )1( )(    n xx nn ∴（n+1） 2 1nS =（ － 1x ）2+…+（ － nx ）2+（ － 1nx ）2 － 1 )(2 1    n xx nn （（ － ）+…+（ － ）+（ + ）） + 1 )( 2 1    n xx nn = 2 nnS + 1 2   n n （ － ）2－ （ － ） = + 1n n （ － ）2 例 4． Ax =21 Bx =20.8 Cx =20.6 2 AS =2.86 2 BS =13.63 2 CS =16.62 A 品种平均产量期期望最值高，且稳定，应入选． 例 5．（略） 例 6．（略） 例 7．没有 50 分以下，没有 90 分以上。 50～60 占 16 1 ， 0.4 寿命(t) 频率分布直方图 200100 0.2 500400300 600 频率 组矩 0.4 累积频率分布图 400 0.2 200100 300 寿命 500 600 (h) 1 0.8 0.6 累积频率 60～70 占 16 3 ， 70～80 占一半， 80～90 占 4 1 ．