高考数学专题复习：抛物线的简单几何性质

高考数学专题复习：抛物线的简单几何性质

‎2.4.2抛物线的简单几何性质 一、选择题 ‎1、设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于(　　)‎ A．4 B．‎8 ‎‎ C．8 D．16‎ ‎2、过抛物线y2＝ax (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于(　　)‎ A．‎2a B. C．‎4a D. ‎3、设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ ‎4、设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)‎ A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x ‎5、已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)‎ A. B．‎3 ‎‎ C. D. ‎6、若抛物线y2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(　　)‎ A．成等差数列 B．既成等差数列又成等比数列 C．成等比数列 D．既不成等比数列也不成等差数列 ‎7、顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是(　　)‎ A．x2＝－y或y2＝x B．y2＝－x或x2＝y C．y2＝－x D．x2＝y 二、填空题 ‎8、过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则＝________.‎ ‎9、已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．‎ ‎10、已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．‎ 三、解答题 ‎11、已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．‎ ‎(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；‎ ‎(2)求线段AB的长的最小值．‎ ‎12、过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．‎ ‎13、设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、‎ B　[如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．‎ 设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，‎ ‎∴|PF|＝x0＋2＝8，选B.]‎ ‎2、D　[可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，‎ ‎|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.]‎ ‎3、C　[∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．]‎ ‎4、B　[y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x ＝0得y＝－.‎ ‎∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]‎ ‎5、A　[‎ 如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 ＝.]‎ ‎6、A　[设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，‎ 则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，‎ 因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，‎ 即|P‎1F|－＋|P‎3F|－＝2，‎ 所以|P‎1F|＋|P‎3F|＝2|P‎2F|.]‎ ‎7、B　[由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．]‎ 二、填空题 ‎8、 解析　抛物线x2＝2py (p>0)的焦点为F，则直线AB的方程为y＝x＋，‎ 由消去x，得12y2－20py＋3p2＝0，‎ 解得y1＝，y2＝.‎ 由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，‎ 可知＝＝＝.‎ ‎9、2‎ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2.‎ ‎∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．‎ ‎∵x1≠x2，∴＝＝1.‎ ‎∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.‎ 将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．‎ ‎∴|AB|＝4.又F(1,0)到y＝x的距离为，‎ ‎∴S△ABF＝××4＝2.‎ ‎10、y2＝4x 解析　设抛物线方程为y2＝ax.将y＝x代入y2＝ax，‎ 得x＝0或x＝a，∴＝2.∴a＝4.‎ ‎∴抛物线方程为y2＝4x.‎ 三、解答题 ‎11、解　由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.‎ ‎(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，‎ 从而x1＝4－1＝3.‎ 代入y2＝4x，解得y1＝±2.‎ ‎∴点A的坐标为 ‎(3,2)或(3，－2)．‎ ‎(2)当直线l的斜率存在时，‎ 设直线l的方程为y＝k(x－1)．‎ 与抛物线方程联立，‎ 消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，‎ 因为直线与抛物线相交于A、B两点，‎ 则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋.‎ 由抛物线的定义可知，‎ ‎|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，‎ 所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.‎ ‎12、解　方法一　设以Q为中点的弦AB端点坐标为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，‎ 则有y＝8x1，①‎ y＝8x2，②‎ ‎∵Q(4,1)是AB的中点，‎ ‎∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③‎ ‎①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④‎ 将③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，‎ 即4＝，∴k＝4.‎ ‎∴所求弦AB所在的直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.‎ 方法二　设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4)＋1.‎ 由消去x，‎ 得ky2－8y－32k＋8＝0，‎ 此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，‎ 得y1＋y2＝，又y1＋y2＝2，∴k＝4.‎ ‎∴所求弦AB所在的直线方程为4x－y－15＝0.‎ ‎13、解　由y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，‎ 其准线方程为y＝－.‎ 由题意知－＝－2或－＝4，‎ 解得m＝或m＝－.‎ 则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.‎