2017-2018学年新疆石河子第二中学高二下学期第一次月考数学试题 解析版

2017-2018学年新疆石河子第二中学高二下学期第一次月考数学试题 解析版

‎2017-2018学年新疆石河子第二中学高二下学期第一次月考数学 一、单选题 ‎1．“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎2．下列命题中，假命题的是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎3．方程表示的曲线是（ ）‎ A. 一个圆和一条直线 B. 一个圆和一条射线 C. 一个圆 D. 一条直线 ‎4．已知椭圆的长轴长是8，焦距为6，则此椭圆的标准方程是（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎5．若方程（是常数），则下列结论正确的是（ ）‎ A. ，方程表示椭圆 B. ，方程表示双曲线 C. ，方程 表示椭圆 D. ，方程表示抛物线 ‎6．已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．过椭圆的左焦点作与x轴垂直的直线与椭圆交于不同的两点A,B，则|AB|=（ ）‎ A． B．‎1 C．2 D．3‎ ‎8．已知椭圆（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是x﹣y+5=0，弦的中点坐标是 M（﹣4，1），则椭圆的离心率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．若双曲线 （，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎10．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是 A．1 B．‎2 C．3 D. 4‎ ‎11．设抛物线上一点到此抛物线准线的距离为，‎ 到直线的距离为，则的最小值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为: （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．点P是圆C:上一动点，A(-2,0),线段AP的中垂线与PC交于M，当点P在圆上运动时，M的轨迹方程为_________________‎ ‎14．已知复数，则的共轭复数是_______________‎ ‎15．椭圆和双曲线的公共焦点， 是两曲线的一个交点，那么的值是___________.‎ ‎16．如图所示，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ．‎ 三、解答题 ‎17．已知,命题:对,不等式恒成立;命题,使得成立.‎ ‎(1)若为真命题,求的取值范围;‎ ‎(2)当时,若假, 为真,求的取值范围.‎ ‎18．（Ⅰ）已知某椭圆的左右焦点分别为，且经过点，求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ） 已知某椭圆过点，求该椭圆的标准方程.‎ ‎19．在直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，记的轨迹为．又直线的斜率为2且过点，与交于两点，求的长．‎ ‎20．已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程．‎ ‎（Ⅱ）经过点作直线交双曲线于， 两点，且为的中点，求直线的方程并求弦长．‎ ‎21．设动点到定点的距离比它到轴的距离大，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若圆心在曲线上的动圆过点，试证明圆与轴必相交，且截轴所得的弦长为定值.‎ ‎22．已知椭圆C： （）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.‎ ‎（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；‎ ‎（ii）当最小时，求点T的坐标.‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】试题分析：因为，所以，即，因而“”是“”的必要而不充分条件 考点：1.对数的运算；2.充要条件.‎ 视频 ‎2．B ‎【解析】，将指数视为整体，利用指数函数性质判断为正确；，利用正弦函数的有界性，判断为错误；，，可知，判断为正确；，方程的解是，判断为正确，故选．‎ ‎3．D ‎【解析】由题意可化为或），‎ 在的右方，‎ ‎）不成立，，‎ 方程表示的曲线是一条直线.‎ 故本题正确答案为 ‎4．B ‎【解析】由于 则， ，则椭圆的方程为=1或，选.‎ ‎5．B ‎【解析】对于A，当时，方程表示圆，故A不正确。‎ 对于B，当为负数时，方程表示双曲线，故B正确。‎ 对于C，当为负数时，方程表示双曲线，故C不正确。‎ 对于D，当时，方程表示椭圆、圆或双曲线，故方程不会表示抛物线。故D不正确。‎ 综上，选B。‎ ‎6．A ‎【解析】由题意得，，则，即.‎ 所以双曲线的渐近线方程为，即.‎ 故选A.‎ ‎7．C ‎8．B ‎【解析】设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，选C.‎ ‎9．A ‎【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，‎ 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．‎ 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(‎ 不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎10．A ‎【解析】双曲线焦点在x轴上，所以又椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，即解得（舍去）。故选A ‎11．A ‎【解析】∵点到准线的距离等于点到焦点的距离，‎ ‎∴过焦点作直线的垂线，则点到直线的距离为最小值，‎ ‎∵，直线，‎ ‎∴．‎ ‎12．A ‎【解析】由题得：设周长为 ‎ ‎ 当且仅当M、A、B共线时，周长的最小 点睛：考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB、BN、AM、AN的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案 ‎15．‎ ‎【解析】不妨假设，则：‎ 椭圆方程中， ，①‎ 双曲线方程中， ，②‎ ‎①②联立可得： ,‎ 而，‎ 结合余弦定理有：‎ ‎17．(1) 1≤m≤2.(2) (﹣∞,1)∪(1,2].‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查简易逻辑，恒成立问题，不等式的解法．(1)由题意得出，然后解不等式即可．(2)由题意得出，再根据p且q为假，p或q为真，得出p与q必然一真一假，即可解答．‎ 试题解析：‎ ‎(1)设，则在[0，1]上单调递增，‎ ‎∴．‎ ‎∵对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣‎3m恒成立，‎ ‎∴，即，‎ 解得1≤m≤2．‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎(2)a=1时， 区间[﹣1，1]上单调递增，‎ ‎∴．‎ ‎∵存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立，‎ ‎∴m≤1．‎ ‎∵假， 为真，‎ ‎∴p与q一真一假，‎ ‎①当p真q假时，‎ 可得，解得1＜m≤2；‎ ‎②当p假q真时，‎ 可得，解得．‎ 综上可得1＜m≤2或m＜1．‎ ‎∴实数m的取值范围是(﹣∞，1)∪(1，2]．‎ 点睛：根据命题的真假求参数的取值范围的方法 ‎(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；‎ ‎(2)判断命题p，q的真假性；‎ ‎(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．‎ ‎18．（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：求椭圆方程可采用待定系数法，首先根据焦点位置设出椭圆方程，将已知条件代入方程求得参数值，从而确定椭圆方程 试题解析：（Ⅰ）‎ ‎，又椭圆焦点为，所以椭圆方程为.‎ ‎（Ⅱ）设椭圆方程为，则有，解得，所以椭圆方程为.‎ 考点：椭圆方程与性质 ‎19．5‎ ‎【解析】试题分析：根据抛物线的定义得动点P的轨迹Γ是抛物线，求出其方程为．由直线方程的点斜式，算出直线AB的方程为，再将直线方程与抛物线方程联解，并结合抛物线的定义加以计算，可得线段AB的长．‎ 试题解析：由抛物线的定义知，动点的轨迹是抛物线，方程．‎ 直线的方程为，即．‎ 设、，代入，‎ 整理，得．‎ 所以．‎ 考点：抛物线的标准方程；两点间的距离公式 ‎20．(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）设双曲线方程为，由题意得，结合，可得，故可得， ，从而可得双曲线方程。（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，与双曲线方程联立消元后根据根与系数的关系可得，解得 可得直线方程。‎ 试题解析：‎ ‎（I）由题意得椭圆的焦点为， ，‎ 设双曲线方程为，‎ 则，‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ 解得，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 双曲线方程为．‎ ‎（II）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即。‎ 由消去x整理得 ‎，‎ ‎∵直线与双曲线交于， 两点，‎ ‎∴，‎ 解得。‎ 设， ,‎ 则，‎ 又为的中点 ‎∴ ，‎ 解得．满足条件。‎ ‎∴ 直线，即.‎ 点睛：‎ 解决直线与双曲线位置关系的问题的常用方法是设出直线方程，把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．当直线与双曲线有两个交点的时候，不要忽视消元后转化成的关于x(或y)的方程的（或）项的系数不为0，同时不要忘了考虑判别式，要通过判别式对求得的参数进行选择．‎ ‎21．(1) ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据抛物线定义判断点的轨迹，再根据抛物线几何条件求标准方程，（2）结合题意设出圆心的坐标，并根据圆过点A得到圆的标准方程，在圆方程中令后可得关于x的二次方程，根据此方程判别式可判断圆与x轴相交，同时并根据数轴上两点间的距离求出弦长．‎ 试题解析：（1）依题意知，动点到定点 的距离等于到直线的距离，‎ ‎∴曲线是以原点为顶点， 为焦点的抛物线．‎ 设曲线C的方程为,‎ 则， ∴，∴曲线方程是 ．‎ ‎（2）‎ 设圆心为，则， ‎ ‎∵圆过 ，∴圆的方程为，‎ 令得．‎ ‎∵∴圆与轴必相交，‎ 设圆M与轴的两交点分别为E ，G ‎ 则， ，　‎ ‎∴ ，‎ ‎∴=4．‎ 故圆截轴所得的弦长为定值．‎ ‎22．(1) ；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得： .（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得： .‎ 再根据取等号的条件，可得T的坐标.‎ 试题解答：（1），又.‎ ‎（2）椭圆方程化为.‎ ‎（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得： .‎ 设PQ的中点为，则 又TF的方程为，则得，‎ 所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.‎ ‎（ⅱ），又，所以 ‎.‎ 当时取等号，此时T的坐标为.‎ ‎【考点定位】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.‎ 视频