天津市红桥区2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

天津市红桥区2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 第Ⅰ卷（共 36 分）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，本卷共 12 题， 每小题 3 分，共36 分．‎ ‎1.在复平面内表示复数的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把展开即得.‎ ‎【详解】，复数对应的点的坐标为，在第一象限.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎2.已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ）‎ A. 2 B. C. D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把复数展开，由实部为0，虚部不为0，即求实数.‎ ‎【详解】复数为纯虚数，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的分类，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以=（5，7），故选A.‎ 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.‎ ‎4.已知向量，若，则实数（ ）‎ A. 2 B. C. - 2 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线的坐标表示，可求.‎ ‎【详解】由，可得.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.‎ ‎5.已知是虚数单位，，，则等于（ ）‎ A. -1 B. ‎1 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法化简，再根据复数相等的充要条件求出，即得答案.‎ 详解】，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.‎ ‎6.若为虚数单位，则复数的模是（ ）‎ A. B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算把化成的形式，则模为.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.‎ ‎7.复数满足，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求出复数，把写出的形式，即求.‎ ‎【详解】，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.‎ ‎8.已知向量，，则＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的坐标运算表示，再由数量积的坐标运算即可得解.‎ ‎【详解】解：因为，则；‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．‎ ‎9.已知点 ，则线段的中点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线段的中点坐标公式即得.‎ ‎【详解】线段的中点坐标为，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查线段的中点坐标公式，属于基础题.‎ ‎10.设向量，若，则实数（ ）‎ A. ±1 B. ‎0 ‎C. D. ±2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出向量的坐标，由，得，即求.‎ ‎【详解】.‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的性质，属于基础题.‎ ‎11.已知，，且，则向量与夹角的大小为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可知，，由向量夹角的公式求解即可 ‎【详解】可知，，，所以夹角为，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查向量的模的定义和向量夹角的计算公式．‎ ‎12.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数乘法运算的三角表示，即得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.‎ 第Ⅱ卷（共 64 分）‎ 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分．‎ ‎13.是虚数单位，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算即得答案.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎14.是虚数单位，则复数的实部为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把展开，代入即得.‎ 详解】,‎ 复数的实部为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.‎ ‎15.计算：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则进行运算，即得答案.‎ ‎【详解】由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量加减法的运算法则和向量加法的交换律，属于基础题.‎ ‎16.已知，且向量的夹角为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数量积的定义即求.‎ ‎【详解】,且向量的夹角为，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的定义，属于基础题.‎ ‎17.已知，且三点共线，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三点共线，得，根据向量共线坐标表示求.‎ ‎【详解】三点共线，.‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.‎ ‎18.若向量，则的夹角的度数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设向量的夹角为.由，得，再根据数量积的定义求夹角.‎ ‎【详解】设向量的夹角为.‎ ‎，‎ 又.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的性质和数量积的定义，属于基础题.‎ ‎19.已知，是虚数单位．若与互为共轭复数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据共轭复数的定义，求出，再把展开即得.‎ ‎【详解】与互为共轭复数，,‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题.‎ ‎20.在平行四边形中，若，则向量的坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法的平行四边形法则可知，可求的坐标.‎ ‎【详解】平行四边形中，.‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题.‎ 三、解答题：本大题共 4 个小题，共 40 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21.已知是虚数单位，复数．‎ ‎（Ⅰ）当复数为实数时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当复数为虚数时，求的值；‎ ‎（Ⅲ）当复数为纯虚数时，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）0或3；（Ⅱ）且；（Ⅲ）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据虚部为0，求；‎ ‎（Ⅱ）根据虚部不为0，求；‎ ‎（Ⅲ）根据实部为0，虚部不为0，求.‎ ‎【详解】复数.‎ ‎（Ⅰ）当复数为实数时，有或.‎ ‎（Ⅱ）当复数为虚数时，有且.‎ ‎（Ⅲ）当复数为纯虚数时，有，解得.‎ ‎【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.‎ ‎22.在中，内角所对的边分别为．已知．‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由余弦定理求.根据平方关系式求，再根据正弦定理求；‎ ‎（Ⅱ）根据三角形中大边对大角，得为锐角.由（Ⅰ）知，根据平方关系式求 ‎，再根据两角和的余弦公式求.‎ ‎【详解】（Ⅰ）中，已知．‎ 由余弦定理得，‎ ‎．‎ 又．‎ 由正弦定理，‎ 可得.‎ ‎（Ⅱ）为锐角.‎ 由（Ⅰ）知.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理、同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式，属于基础题.‎ ‎23.设的内角所对边的长分别是，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理和倍角公式可求；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.根据平方关系式求出，根据倍角公式求出 ‎，最后根据两角差的正弦公式求.‎ ‎【详解】（Ⅰ）中，.‎ 由正弦定理,可得，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式和两角差的正弦公式，属于中档题.‎ ‎24.已知分别为三个内角的对边，．‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为 ，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理把化为，约去，利用辅助角公式，可求；‎ ‎（Ⅱ）根据面积公式和余弦定理求 ‎【详解】（Ⅰ），‎ 由正弦定理可得.‎ 又，‎ 由辅助角公式得.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）的面积为，‎ ‎，由（Ⅰ）知.‎ 又，由余弦定理得，‎ 即，‎ 又.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式和面积公式，属于中档题.‎ ‎ ‎