高考数学 17-18版 第2章 热点探究训练1
热点探究训练(一)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．(2017·镇江期中)函数f(x)＝的定义域是________．
(0，] [由－lg x≥0得lg x≤，即0
0，
∴f(－x)＝2－x－2，
即f(x)＝2－x－2.
∵f(x－1)≤6，
∴当x－1≥0，即x≥1时，
2x－1－2≤6，
解得1≤x≤4；
当x－1<0，即x<1时，21－x－2≤6，
解得－2≤x<1.
综上可知，f(x－1)≤6的解集为[－2,4]．]
8．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 019)的值为________．
0 [g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分别是偶函数与奇函数，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，则
f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0.]
9．已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f，c＝f(2)，则a，b，c
的大小关系是________．
b＞a＞c [由函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，得函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，即y＝f(x)是偶函数．当x∈(0,1)时，f(x)＝f＝|log2x|，且x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f＝f(4)，所以b＞a＞c.]
10．(2017·南京一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋，设g(x)＝若函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是________．
[由f(x)为R上的奇函数可知，f(0)＝0，即1＋m＝0，m＝－1，
∴f(x)＝2x－，
∴g(x)＝
又当x＞1时，g(x)为增函数，
∴g(x)＞g(1)＝2－＝，
当x≤1时，g(x)为减函数，
∴g(x)≥g(1)＝－＝－.
要使g(x)－t＝0有且只有一解，即函数y＝g(x)与y＝t的图象只有一个交点(图略)，故－≤t≤.]
二、解答题
11．(2017·镇江期中)已知函数f(x)＝log2log22x.
(1)解不等式f(x)>0；
(2)当x∈[1,4]时，求f(x)的值域．
[解] (1)函数f(x)＝log2·log22x＝(log2x－log24)(log22＋log2x)
＝(log2x)2－log2x－2，x∈(0，＋∞)．
令f(x)＝(log2x)2－log2x－2>0，
则log2x>2或log2x<－1，故x>4或00，n>0，在(2)的条件下，求不等式f(f(x))＋f<0的解集．
[解] 证明：(1)f(x)＝，∴f(1)＝＝－，
f(－1)＝＝，
∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数．
(2)由f(x)是奇函数得f(－x)＝－f(x)，
即＝－对定义域内任意实数x都成立，化简整理得关于x的恒等式(2m－n)·22x＋(2mn－4)·2x＋(2m－n)＝0，
∴即或
(3)由题意得m＝1，n＝2，
∴f(x)＝＝，易判断f(x)在R上递减，∵f(f(x))＋f<0，
∴f(f(x))<－f＝f，
∴f(x)>－，
∴2x<3，∴x0)，则称y＝f(x)为k倍值函数．若f(x)＝ln x＋x是k倍值函数，则实数k的取值范围是________．
[由题意得ln x＋x＝kx有两个不同的解，k＝＋1，则k′＝＝0⇒x＝e，因此当0e时，k∈，从而要使ln x＋x＝kx有两个不同的解，需k∈.]
3．函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
[解] (1)由得
解得m＝－1，a＝2，
故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x.
(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)
＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]
＝log2－1(x＞1)．
∵＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
则log2－1≥log24－1＝1，
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.
4．已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|.
(1)若当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求函数h(x)＝|f(x)|＋g(x)在区间[0,2]上的最大值．
[解] (1)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立，即x2－1≥a|x－1|(*)对x∈R恒成立．
①当x＝1时，(*)显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，(*)可变形为a≤，
令φ(x)＝＝
因为当x>1时，φ(x)>2，当x<1时，φ(x)>－2，
所以φ(x)>－2，故此时a≤－2.
综合①②，得所求实数a的取值范围是(－∞，－2]．
(2)h(x)＝
①当－≤0，即a≥0时，
(－x2－ax＋a＋1)max＝h(0)＝a＋1，
(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3.
此时，h(x)max＝a＋3.
②当0<－≤1，
即－2≤a<0时，(－x2－ax＋a＋1)max
＝h＝＋a＋1，(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3.此时h(x)max＝a＋3.
③当1<－≤2，
即－4≤a<－2时，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0，(x2＋ax－a－1)max＝max{h(1)，h(2)}＝max{0,3＋a}
＝
此时h(x)max＝
④当－>2，
即a<－4时，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0，
(x2＋ax－a－1)max＝h(1)＝0.
此时h(x)max＝0.
综上：h(x)max＝
