数学卷·2018届山东省济南市平阴一中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届山东省济南市平阴一中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年山东省济南市平阴一中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设a∈R，则a＞1是＜1的（　　）‎ A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（　　）‎ A．x＞2 B．x＜2 C． D．‎ ‎3．等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则其前13项和为（　　）‎ A．13 B．26 C．52 D．156‎ ‎4．已知点A（2，3）与B（﹣1，2），在直线ax+2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．{a|a＞2} B．{a|a＜﹣6} C．{a|a＞2或a＜﹣6} D．{a|﹣6＜a＜2}‎ ‎5．各项均为正数的等比数列{an}中，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5等于（　　）‎ A．16 B．27 C．36 D．﹣27‎ ‎6．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]‎ ‎8．下列函数中，最小值为4的函数是（　　）‎ A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）‎ C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+4logx3‎ ‎9．在直角坐标系内，满足不等式x2﹣y2≤0的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（　　）‎ A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1‎ ‎11．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎12．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是　　．‎ ‎14．设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a100的“理想数”为101，那么数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为　　．‎ ‎15．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是　　．‎ ‎16．在直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．‎ ‎17．（12分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的周长；‎ ‎（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．‎ ‎19．（12分）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．‎ ‎20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．‎ ‎（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．‎ ‎21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．‎ ‎（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？‎ ‎（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．‎ ‎22．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣3n（n∈N*）．‎ ‎（1）证明数列{an+3}是等比数列，求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=an，求数列{bn}的前n项和Tn；‎ ‎（3）数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省济南市平阴一中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设a∈R，则a＞1是＜1的（　　）‎ A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】不等关系与不等式；充要条件．‎ ‎【分析】根据 由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论．‎ ‎【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），‎ 故a＞1是＜1 的充分不必要条件，‎ 故选 B．‎ ‎【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单 有效的方法．‎ ‎　‎ ‎2．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（　　）‎ A．x＞2 B．x＜2 C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】△ABC 有两组解，所以asinB＜b＜a，代入数据，求出x的范围．‎ ‎【解答】解：当asinB＜b＜a时，三角形ABC有两组解，‎ 所以b=2，B=60°，设a=x，如果三角形ABC有两组解，‎ 那么x应满足xsin60°＜2＜x，‎ 即．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查三角形的应用，计算能力，注意基本知识的应用，是解题的关键，常考题型．‎ ‎　‎ ‎3．等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则其前13项和为（　　）‎ A．13 B．26 C．52 D．156‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由已知，根据通项公式，能求出a7=2，S13运用求和公式能得出S13=13a7，问题解决．‎ ‎【解答】解：∵2（a1+a1+3d+a1+6d）+3（a1+8d+a1+10d）‎ ‎=2（3a1+9d）+3（2a1+18d）‎ ‎=12a1+72d=24，‎ ‎∴a1+6d=2，‎ 即a7=2‎ S13===2×13=26‎ 故选B ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，注意简单性质的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎4．已知点A（2，3）与B（﹣1，2），在直线ax+2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．{a|a＞2} B．{a|a＜﹣6} C．{a|a＞2或a＜﹣6} D．{a|﹣6＜a＜2}‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及A，B在直线两侧，建立不等式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵点A（2，3）与B（﹣1，2），在直线ax+2y﹣a=0的两侧，‎ ‎∴A，B两点对应式子ax+2y﹣a的符号相反，‎ 即（2a+6﹣a）（﹣a+4﹣a）＜0，‎ 即（a+6）（4﹣2a）＜0，‎ ‎∴（a+6）（2a﹣4）＞0，‎ 解得a＞2或a＜﹣6，‎ 即实数a的取值范围是{x|a＞2或a＜﹣6}，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用A，B在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．各项均为正数的等比数列{an}中，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5等于（　　）‎ A．16 B．27 C．36 D．﹣27‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，得a1+a2=1，a3+a4=9，由等比数列的性质可得，a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a5依次构成等比数列，由此能求出a4+a5．‎ ‎【解答】解：由a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，‎ 得a1+a2=1，a3+a4=9，‎ 由等比数列的性质，得a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a5依次构成等比数列，‎ 又等比数列{an}中各项均为正数，‎ 所以a2+a3===3，‎ ‎∴a4+a5=27．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎6．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】‎ 通过正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，设出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC即可．‎ ‎【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=2：3：4‎ 所以a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k 由余弦定理可知：‎ cosC===﹣．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]‎ ‎【考点】函数最值的应用．‎ ‎【分析】分类讨论，结合不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：a=2时，不等式可化为﹣4＜0对任意实数x均成立；‎ a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，等价于，‎ ‎∴﹣2＜a＜2．‎ 综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．下列函数中，最小值为4的函数是（　　）‎ A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）‎ C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+4logx3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：A．x＜0时，y＜0，不成立；‎ B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．‎ C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．‎ D．x∈（0，1）时，log3x，logx3＜0，不成立．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．在直角坐标系内，满足不等式x2﹣y2≤0的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】把原不等式转化为二元一次不等式组，再由线性规划方法画出即可．‎ ‎【解答】解：x2﹣y2≤0⇔（x+y）（x﹣y）≤0⇔或 则可画出选项D所表示的图形．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域，线性规划的方法及化归思想．‎ ‎　‎ ‎10．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（　　）‎ A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1，两者相减，根据Sn﹣Sn﹣1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．‎ ‎【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），‎ 两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，‎ 则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，‎ 得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，‎ 所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）‎ 则a6=3×44．‎ 故选A ‎【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎11．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题判断真假；‎ 写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假；‎ 通过若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误．‎ 利用原命题与逆否命题同真同假判断即可．‎ ‎【解答】解：对于①，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y=0．它是真命题．‎ 对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．‎ 对于③，若q≤1，则△=4﹣4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题．‎ 对于④，原命题为假，故逆否命题也为假．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查四种命题的真假判断以及命题的否定，解题时要注意四种命题的相互转化，和真假等价关系，属基础题．‎ ‎　‎ ‎12．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用；基本不等式．‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．‎ ‎【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，‎ ‎∴4a+6b=12，即2a+3b=6，‎ ‎∴=（）×=（12+）≥4‎ 当且仅当时，的最小值为4‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，确定a，b的关系是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是　（﹣，﹣）　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】根据不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，得到一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，利用根据根与系数的关系可得a=5，b=﹣6，因此不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，解之即得﹣＜x＜﹣，所示解集为（﹣，﹣）．‎ ‎【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，‎ ‎∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，‎ 根据根与系数的关系可得：，所以a=5，b=﹣6；‎ 不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，‎ 整理，得6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解之得﹣＜x＜﹣‎ ‎∴不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）‎ 故答案为：（﹣，﹣）‎ ‎【点评】本题给出含有字母参数的一元二次不等式的解集，求参数的值并解另一个一元二次不等式的解集，着重考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根与系数的关系等知识点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a100的“理想数”为101，那么数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为　102　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】据“理想数”的定义，列出a1，a2，…，a100的“理想数”满足的等式及2，a1，a2，…，a100的“理想数”的式子，两个式子结合求出数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”．‎ ‎【解答】解：∵为数列a1，a2，…，an的“理想数”，‎ ‎∵a1，a2，…，a100的“理想数”为101‎ ‎∴‎ 又数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为：‎ ‎=‎ 故答案为102‎ ‎【点评】‎ 本题考查的是新定义的题型，关键是理解透新定义的内容，是近几年常考的题型．‎ ‎　‎ ‎15．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是　15km　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，如图所示，求出∠CAB与∠ACB的度数，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入即可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，‎ 可得∠DAB=60°，∠DAC=30°，AB=45km，‎ ‎∴∠CAB=30°，∠ACB=120°，‎ 在△ABC中，利用正弦定理得： =，‎ 即=，‎ ‎∴BC===15（km），‎ 则这时船与灯塔的距离是15km．‎ 故答案为：15km ‎【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．在直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是　（﹣1，1）　．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】①画x≥0，x﹣y≤0的公共区域②y=k（x+1）+‎ ‎1表示过（﹣1，1）的直线系，其斜率为k，③旋转该直线观察k取何值可以构成三角形区域．‎ ‎【解答】解：①画x≥0，x﹣y≤0的公共区域，‎ ‎②y=k（x+1）+1表示过（﹣1，1）的直线系．‎ 当k=﹣1时，直线y=（x+1）+1经过原点O，‎ ‎③旋转该直线观察当直线旋转至平行于直线x﹣y=0时不构成三角形 旋转过（0，0）即y=﹣（x+1）+1时也不构成三角形，‎ 只有在y=﹣（x+1）+1，y=（x+1）+1之间可以；‎ 则斜率k的取值范围是（﹣1，1）‎ 故答案为（﹣1，1）．‎ ‎【点评】本题考查线性规划问题可行域画法，以及过定点直线系问题，本题解决问题的关键是要能由不等式組做出平面区域，结合图形求解三角形区域时一定要注意斜率的不同引起的边界直线的位置特征的不同，这也是线性规划中的易错点 ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．‎ ‎17．（12分）（2015秋•福建期末）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】由ax2+ax+1＞0恒成立可得 ‎，可求P的范围；由a2+8a﹣20＜0解不等式可求Q的范围，然后由P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，可知P，Q为一真一假，可求 ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：命题P：ax2+ax+1＞0恒成立 当a=0时，不等式恒成立，满足题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ 当a≠0时，，解得0＜a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴0≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 命题Q：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎∵P∨Q为真命题，P∧Q为假命题 ‎∴P，Q有且只有一个为真，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ 如图可得﹣10＜a＜0或2≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的判断，解题的关键是准确求出每个命题为真时的范围 ‎　‎ ‎18．（12分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的周长；‎ ‎（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．‎ ‎【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；‎ ‎（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，‎ ‎∴c=2，‎ ‎∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．‎ ‎（II）∵cosC=，∴sinC===．‎ ‎∴sinA===．‎ ‎∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，‎ ‎∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2011•新课标）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6‎ ‎，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；‎ ‎（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．‎ 由条件可知各项均为正数，故q=．‎ 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．‎ 故数列{an}的通项式为an=．‎ ‎（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，‎ 故=﹣=﹣2（﹣）‎ 则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，‎ 所以数列{}的前n项和为﹣．‎ ‎【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•山东）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．‎ ‎（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．‎ ‎【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．‎ ‎【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证 ‎（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．‎ ‎【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC ‎∴sinB（）=‎ ‎∴sinB•=‎ ‎∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc ‎∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，‎ ‎∵A+B+C=π ‎∴sin（A+C）=sinB 即sin2B=sinAsinC，‎ 由正弦定理可得：b2=ac，‎ 所以a，b，c成等比数列．‎ ‎（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，‎ ‎∴，‎ ‎∵0＜B＜π ‎∴sinB=‎ ‎∴△ABC的面积．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2012•莱州市校级模拟）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．‎ ‎（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？‎ ‎（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．‎ ‎（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米 ‎∵，∴‎ ‎∴‎ 由SAMPN＞32得 又x＞0得3x2﹣20x+12＞0‎ 解得：0＜x＜或x＞6‎ 即DN的长取值范围是 ‎（Ⅱ）矩形花坛的面积为 当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．‎ ‎【点评】本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2016秋•平阴县校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn ‎，Sn=2an﹣3n（n∈N*）．‎ ‎（1）证明数列{an+3}是等比数列，求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=an，求数列{bn}的前n项和Tn；‎ ‎（3）数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由已知数列递推式可得数列{an+3}是等比数列，结合等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）把数列{an}的通项公式代入bn=an，然后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn；‎ ‎（3）设存在s、p、r∈N*，且s＜p＜r，使得as、ap、ar成等差数列，则2ap=as+ar，得2（3•2p﹣3）=3•2s﹣3+3•2r﹣3，结合2p﹣s+1为偶数，1+2r﹣s为奇数，可知2p+1=2s+2r不成立，故不存在满足条件的三项．‎ ‎【解答】（1）证明：∵Sn=2an﹣3n，∴Sn+1=2an+1﹣3（n+1），‎ 则an+1=2an+1﹣2an﹣3，∴an+1=2an+3，‎ 即，‎ ‎∴数列{an+3}是等比数列，‎ a1=S1=3，a1+3=6，则，‎ ‎∴；‎ ‎（2）解：，‎ ‎，‎ 令，①‎ ‎，②‎ ‎①﹣②得，，‎ ‎，‎ ‎∴；‎ ‎（3）解：设存在s、p、r∈N*，且s＜p＜r，使得as、ap、ar成等差数列，则2ap=as+ar，‎ 即2（3•2p﹣3）=3•2s﹣3+3•2r﹣3，‎ 即2p+1=2s+2r，2p﹣s+1=1+2r﹣s，‎ ‎∵2p﹣s+1为偶数，1+2r﹣s为奇数，‎ ‎∴2p+1=2s+2r不成立，故不存在满足条件的三项．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的和，考查数列的函数特性，训练了学生的逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．‎ ‎　‎