黑龙江省牡丹江市爱民区第三高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

黑龙江省牡丹江市爱民区第三高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

‎2019-2020学年度第一学期期末试题 高二文科数学试卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】,‎ 对应的点为,在第四象限，故选D.‎ ‎2.函数f（x）＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为（ ）‎ A. 10 B. 5 C. －1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，切线方程为：，令得，选D．‎ 考点：导数几何意义 ‎3. 类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是 ‎①平行于同一直线的两条直线平行；‎ ‎②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；‎ ‎③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．‎ A. ①②③ B. ①③ C. ① D. ②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：对于①空间内的类比结论为：平行于同一平面的两个平面平行，成立；‎ 对于②空间内的类比结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；．‎ 对于③空间内的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，也成立．‎ 故选A．‎ 考点：类比推理．‎ ‎4.函数有（ ）‎ A. 极大值，极小值 B. 极大值，极小值 C. 极大值，无极小值 D. 极小值，无极大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减 当时，函数取极大值，极大值为；无极小值 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数极值的求解问题，关键是能够根据导函数的符号准确判断出原函数的单调性，属于基础题.‎ ‎5.. 函数y＝4x2单调递增区间是（ ）‎ A. （0，+∞） B. C. （，+∞） D. （，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 先对函数求导，然后由y’＞0可得x的 范围，从而可求函数的单调递增区间．‎ ‎【详解】解析：y′＝8x，令y′＞0，解得x，‎ 则函数的单调递增区间为（，+∞）．‎ 故答案：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用，属于基础试题．‎ ‎6.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程化为标准方程,再分类讨论,求出抛物线的准线方程.‎ ‎【详解】解：因为抛物线,‎ 将方程化为标准方程 当时,,,则准线方程为；‎ 当时,,,则准线方程为；‎ 所以抛物线的准线方程是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查抛物线的准线方程,注意要先转化为标准方程再求准线方程.‎ ‎7.设双曲线的离心率为，且它的一个焦点在抛物线的准 线上，则此双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的准线为，焦点为 双曲线方程为 考点：双曲线方程及性质 ‎8.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由椭圆，可得，则，且点到椭圆一焦点的距离为，由定义得点到另一焦点的距离为，故选C.‎ ‎9.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据双曲线的对称性得，∵中，，∴是等腰直角三角形，且被分成两个全等的等腰直角三角形，因此，Rt中，，∵，，可得，由此可得，双曲线的离心率 考点：双曲线性质 ‎10.设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为(　　)‎ A. B. p C. 2p D. 无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】设方程为，代入抛物线y2＝2px可得，‎ ‎，‎ ‎∴|AB|的最小值为2p.‎ ‎11.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.‎ ‎【详解】依题意可设，所以.‎ 所以函数在上单调递增，又因为.‎ 所以要使，即，只需要，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12.已知抛物线x2＝4y的焦点F和点A(－1,8)，点P为抛物线上一点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　 　)‎ A. 16 B. 6 C. 12 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 抛物线标准方程，焦点，准线方程为，设到准线的距离为，（即垂直于准线，为垂足），则，（当且仅当共线时取等号）故选D.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解答的.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点，离心率为 ，则椭圆的标准方程为_____.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆经过点和离心率,分焦点所在的轴的情况,求出,即可得到椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】解：因为椭圆中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,‎ 且椭圆经过点,离心率为.‎ 当焦点在轴时,设方程为,‎ 则,解得,‎ 所以椭圆方程为；‎ 当焦点在轴时,‎ 则,解得,‎ 所以椭圆方程为；‎ 所以椭圆的方程为或.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程,分情况讨论焦点所在的轴是重点.‎ ‎14.垂直于直线并且与曲线相切的直线方程是 _______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出切点，求出与直线垂直的直线斜率，再求出曲线的导函数在切点处的函数值，求得切点坐标后根据点斜式方程可得答案．‎ ‎【详解】设切点为．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又切线垂直于直线，‎ ‎∴切线的斜率为，‎ 整理得，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴切点坐标为，‎ ‎∴所求切线方程为，‎ 即．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别．第一种类型中的点P为切点，求解时直接根据导数的几何意义求解即可；第二种类型中的点P不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定为切点，此种类型需要转化成第一种类型求解．‎ ‎15.若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长半轴长的最小值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 本试题主要是考查了运用三角形的面积公式得到bc的值，然后结合a2=b2+c2，求解2a的最值．‎ 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc=1，因为a2=b2+c2=b2+，那么运用均值不等式，所以a故长轴长的最小值为，答案为．‎ 解决该试题的关键是利用均值不等式得到最值．‎ ‎16.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，则________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由椭圆与双曲线有共同的焦点得到；再根据点为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出与的表达式,‎ 代入即可求出的值.‎ ‎【详解】因为椭圆与双曲线有共同的焦点,‎ 所以有：；‎ 设在双曲线的右支上左右焦点,‎ 利用椭圆以及双曲线的定义可得：‎ ‎①‎ ‎②‎ 由①②得： ，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥曲线的综合问题,解决本题的关键在于根据椭圆与双曲线有共同的焦点,得到其分母之间的关系式,进而求解,本题属中档题题.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知曲线y=5,求:‎ ‎(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程.‎ ‎(2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程.‎ ‎【答案】（1）16x-8y+25=0；（2）5x-4y+20=0.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求导数，利用曲线与直线y=2x﹣4平行，求出切点坐标，即可求出曲线与直线y=2x﹣4平行的切线的方程．‎ ‎（2）设切点，可得切线方程，代入P，可得切点坐标，即可求出过点P（0，5）且与曲线相切的直线的方程．‎ 试题解析：‎ ‎(1)设切点为(x0,y0),由y=5,得y′=.‎ 所以切线与y=2x-4平行,‎ 所以=2,所以x0=,所以y0=.‎ 则所求切线方程为y-=2,‎ 即16x-8y+25=0.‎ ‎(2)因为点P(0,5)不在曲线y=5上,‎ 故需设切点坐标为M(x1,y1),‎ 则切线斜率为.‎ 又因为切线斜率为,‎ 所以==,‎ 所以2x1-2=x1,得x1=4.‎ 所以切点为M(4,10),斜率为,‎ 所以切线方程为y-10=(x-4),‎ 即5x-4y+20=0.‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎18.已知直线经过点P（1，1），倾斜角．‎ ‎（1）写出直线的参数方程；‎ ‎（2）设 与圆 相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程为，即(t为参数)‎ ‎（2）把直线代入 得 ‎，则点到两点的距离之积为 ‎19.已知函数的图象经过点且在处，取得极值．求：‎ ‎（1）函数的解析式；‎ ‎（2）的单调递增区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）单调递增区间为．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）分析题目,由函数的图象经过点,可将点代入函数,由在处,取得极值,得,即可求出；‎ ‎（2）根据,可得,再利用导数研究函数的单调性的方法,由,解出的范围,即可解答此题.‎ ‎【详解】(1)由的图象过点得,‎ ‎,‎ 又,‎ 由得,‎ ‎.‎ ‎(2),‎ 由得或,‎ 的单调递增区间为．‎ ‎【点睛】本题是一道关于利用函数求导数的题目,关键掌握利用导数研究函数的单调性的方法.‎ ‎20‎ ‎⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为.‎ ‎（Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）为⊙O1的直角坐标方程.为⊙O2的直角坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）⊙O1，⊙O2交于点（0，0）和. 过交点的直线的直角坐标方程为.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎（Ⅰ），由得 ‎，‎ 所以.‎ 即为⊙O1的直角坐标方程.‎ 同理为⊙O2的直角坐标方程 ‎（Ⅱ）由 解得 即⊙O1，⊙O2交于点（0，0）和. 过交点的直线的直角坐标方程为.‎ ‎21.已知函数 ‎⑴解不等式；⑵若对于恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 解：⑴，（i）当时，，；‎ ‎(ii)当时，1>3，显然不成立；‎ ‎(iii)当时，，‎ 综上，不等式的解集为 ‎⑵容易得到，都有，因此，若对于恒成立，‎ 则有，所以实数的取值范围 ‎22.已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用点在椭圆上求解基本量得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）设出直线的方程,代入椭圆的方程,利用韦达定理、中点坐标公式以及斜率公式建立方程求解.‎ ‎【详解】解：（1）将代入,‎ 得,.‎ 故椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时不合题意,‎ 故设直线,,的中点为,‎ 由得,‎ ‎,,‎ 直线经过弦的中点,则,,‎ ‎,,即直线的斜率为.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系.‎ ‎ ‎ ‎ ‎