2017-2018学年四川省眉山高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版
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四川省眉山2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试卷
评卷人
得分
一、单选题
1．已知为虚数单位，实数满足，则
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：利用复数相等求出值，再由复数模的定义求得模．
详解：由已知，∴，
∴．
故选D．
点睛：本题考查复数相等的概念的模的计算．解题时把等式两边的复数都化为形式，然后由复数相等的定义得出方程组，即可求得实数．
2．高二（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】C
【解析】试题分析：由系统抽样的特点—等距离可得，∴3号、17号、号、号同学在样本中.
考点：系统抽样.
3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么， ， 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A. 假设， ， 都是偶数 B. 假设， ， 都不是偶数
C. 假设， ， 至少有一个是偶数 D. 假设， ， 至多有两个是偶数
【答案】B
【解析】“至少有一个”的否定是“都不是”，故选.
4．设，计算得，观察上述结果，可推测一般结论为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：把已知结论化为相同的形式，然后可归纳出一般结论．
详解：已知为，，，，
因此一般结论为．
故选D．
点睛：本题考查归纳推理，解题关键是寻找规律，本题规律的寻找就是把已知结论等式或不等式化为与自然数有关的相同的形式，从而可归纳出一般结论．
5．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点第四象限”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：先把复数化为形式，得出对应点的坐标，由点在第四象限得出的范围，再根据充分必要条件进行判断．
详解：由已知，对应点 ，若在第四象限，则，解得，因此题中应是充分不必要条件．
故选A．
点睛：本题考查复数的几何意义，复数对应的点为，考查充分必要条件的判断．解题时可求出在第四象限的的范围，再根据集合的包含关系进行判断充分必要条件．
6．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为、，则满足复数的实部大于虚部的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子点数分别为x、y得到复数x+yi的数是36，
满足条件的事件是复数x+yi的实部大于虚部，当实部是2时，虚部是1；当实部是3时，虚部是1，2；
当实部是4时，虚部是1，2，3；当实部是5时，虚部是1，2，3，4；当实部是6时，虚部是1，2，3，4，5；
共有15种结果，
∴实部大于虚部的概率是：
故选B．
7．已知函数，则函数的大致图象是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分析：研究函数的奇偶性，函数值的正负．
详解：由题意，即函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D，又，排除B．
故选A．
点睛：由函数解析式选函数的图象，可根据解析式研究函数的一些性质：如单调性、奇偶性、对称性、函数值的正负、函数值的变化趋势，特殊点（如与坐标轴的交点，抛物线的顶点）等等，通过这些性质利用排除法一般可选得正确结论．
8．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC、CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设AC="x" cm (0
2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
点睛：本题考查等可能事件的概率及独立性检验，用列举法求此概率是常用方法，由所给公式计算出即知有无关系的结论，因此本题还考查了运算求解能力．
19．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
（1）请根据表中提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据: ）
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
参考公式：，；相关系数；
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4
【解析】分析：（1）计算出相关系数即得；
（2）根据所给公式计算出回归直线方程的系数可得回归直线方程；
（3）代入（2）中回归直线方程可得预测值．
详解：（1）6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝4，
62＋82＋102＋122＝344．
，线性相关性非常强.
(2)158， =9，＝4，344．
＝＝＝0.7，＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3．
（3）由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4．
点睛：本题考查回归分析，考查回归直线方程，解题时只要根据所给数据与公式计算相应的系数就可得出所要结论，本题考查学生的运算求解能力．
20．为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．
（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；
（2）（i）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（ii）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率．
【答案】(1)600；(2)(i)72.5；(ii).
【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图，频率=（频数）/(样本容量)，通过的频率，可求得优秀人数。（2）由平均数公式求得平均成绩，）由分层抽样抽起成绩在，，间分别抽取了3人，2人，1人．再由枚举法列举出6选3的所有情况，最后用古典概型公式求得概率。
试题解析;（1）由直方图可知，样本中数据落在的频率为，
则估计全校这次考试中优秀生人数为．
（2）（i）设样本数据的平均数为，
则，
则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5．
（ii）由分层抽样知识可知，成绩在，，间分别抽取了3人，2人，1人．
记成绩在的3人为，，，成绩在的2人为，，成绩在的1人为，
则从这6人中抽取3人的所有可能结果有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，
其中恰好抽中2名优秀生的结果有，，，，，，，，共9种，
所以恰好抽中2名优秀生的概率为．
【点睛】
统计中的四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝ (x1＋x2＋…＋xn).
（其中频率分布直方图中，用每组数据中点数表示）
(4)方差与标准差.
s2＝ [(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
21．已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数的值及函数的最大值；
（2）证明：对任意的.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】分析：（1）求出导函数，已知切线方程说明，，代入后可得，然后确定函数的单调区间，得出最大值；
（2）不等式为，可用导数求得的最小值，证明这个最小值大于0，即证得原不等式成立．
详解：（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以解得，所以，故．令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，取得最大值．
（2）证明：原不等式可变为则
，可知函数单调递增，
而，
所以方程在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即．
当x∈（0，x0）时，，函数h（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，，函数h（x）单调递增；所以
.
即在（0，+∞）上恒成立，
所以对任意x＞0，成立．
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．
22．设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）不存在
【解析】分析：（1）求得导函数，判断二次方程的根的情况得出＝0的解及在上的正负值变化，从而得单调性；
（2）假设存在，由（1）知，先表示出化简为，从而，再由消元，（），设出新函数，通过导数研究出此方程无解，因此得不存在．
详解： (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋1，则方程x2－ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4.
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝，
当00；当x1x2时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．
(2)由(1)知，a>2.
因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，
所以k＝＝1＋－a·.
又由(1)知，x1x2＝1.于是k＝2－a·.
若存在a，使得k＝2－a.则＝1.
即ln x1－ln x2＝x1－x2.
亦即x2－－2ln x2＝0(x2>1)． (*)
再由(1)知，函数h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，
所以x2－－2ln x2>1－－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．
故不存在a，使得k＝2－a.
点睛：对于导数的应用问题，要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此题第二问的类型，把斜率用极值点表示，与结论比较后发现只要研究方程（）有无实根，这样问题又转化为用导数研究函数的单调性与极值问题，这类问题的解决就在于不断的转化．
