2018-2019学年河南省豫西名校高二下学期第一次联考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年河南省豫西名校高二下学期第一次联考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 河南省豫西名校2018-2019学年高二下学期第一次联考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知函数，且），若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，将代入即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 函数且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于中档题.‎ ‎2．设曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义，即表示曲线在处的切线斜率，列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为曲线在点处的切线方程为，‎ 所以，切线斜率为2，‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，属于简单题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎3．已知函数在处的导数为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式化为，利用导数的定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 在处的导数为，‎ 所以 ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.‎ ‎4．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原函数的单调性，判断出导函数的正负，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由原函数图像可得，在时，原函数是先增后减,‎ ‎ 导函数是先正后负 在时，原函数图像单调递增,‎ ‎ 导函数是负值,‎ 由此得出导函数图像为A图,‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了原函数的单调性与导函数的正负的关系,属于基础题.‎ ‎5．若在是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，在是减函数等价于在上恒成立，从而确定的范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为在递减，‎ 所以在恒成立，‎ 即,因为，‎ 所以，的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，是一道中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.‎ ‎6．已知空间四边形，其对角线为，，，分别是，的中点，点在线段上，且，现用基底表示向量，有，则，，的值分别为（ ）‎ A．，， B．，， C．，， D．，，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量运算的三角形法则和向量共线定理、平行四边形法则可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，‎ 因为，分别是，的中点，点在线段上，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又有，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的三角形法则和向量共线定理、平行四边形法则，属于基础题. 向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.‎ ‎7．定积分的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 表示以为圆心，以为半径的圆，定积分等于该圆的面积的四分之一，定积分，故选A.‎ ‎8．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原题可转化为，则对函数求导，可求出，再根据单调性，进而可求出最大值，进而可求出m的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，则在为单调递减函数，则，所以在为单调递减函数，所以，又恒成立，即，所以可得，故选C ‎【点睛】‎ 恒成立问题若，即转化为，若，即转化为 ‎，再根据单调性求最大（小）值即可。‎ ‎9．如图，在空间四边形中，，，，，则异面直线与所成角的大小是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算出的数量积，然后利用夹角公式计算出与所成角的余弦值，进而得出所成角的大小.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知, .设直线与所成角为，则，故.所以本小题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用空间向量的数量积，计算空间两条异面直线所成角的大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.要求两条异面直线所成的角，可以通过向量的方法，通过向量的夹角公式先计算出夹角的余弦值，再由此得出所成角的大小.‎ ‎10．已知函数对任意都有，且导函数满足，现有，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得在上递增，利用，结合即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，时，，在上递减；‎ 时，，在上递增，‎ 因为，所以，‎ ‎，，，‎ 可得，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数对称性的应用，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性、周期性与对称性，将，，，通过等值变形，将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小.‎ ‎11．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离 .‎ ‎【详解】‎ 以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 点到平面的距离为 ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎12．已知函数，下列关于的四个命题；‎ ‎①函数在上是增函数 ②函数的最小值为0‎ ‎③如果时，则的最小值为2‎ ‎④函数有2个零点 其中真命题的个数是( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵函数 ‎∴‎ ‎∴令，得，即函数在上为增函数；‎ 令，得或，即函数在，上为减函数.‎ ‎∵函数在上恒成立 ‎∴当时，，且函数的零点个数只有一个.‎ 当时，，则要使时，则的最小值为2，故正确.‎ 综上，故①②③正确.‎ 故选C.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若函数在上为减函数，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】(－∞，－1]‎ ‎【解析】‎ 因为是R上的减函数，所以恒成立，即，即恒成立，因为，所以，故答案为.‎ ‎14．曲线与直线及轴所围成的封闭图形的面积为 ____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积分，从而可求出所围成的图形的面积.‎ ‎【详解】‎ 由曲线与直线构成方程组，解得，‎ 由直线与构成方程组，解得；‎ 曲线与直线及x轴所围成的封闭图形的面积为：‎ ‎．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线 以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.‎ ‎15．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则直线与侧面所成角的正弦值等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，取A1C1的中点E，则连B1E，B1E垂直于A1C1，所以B1E垂直于平面ACC1A1，连AE，则角B1AE就是AB1与侧面ACC1A1所成角。由正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，不难得到，AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于。‎ 考点：本题主要考查正三棱柱的几何特征，垂直关系，角的计算。‎ 点评：基础题，本题主要运用了正三棱柱的几何特征，正三角形的几何特征，直角三角形的边角关系。一般的，在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。‎ ‎16．已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 至少存在一个，使得成立等价于不等式在 上有解,即在上有解，令，利用导数求出的最大值，由能求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 至少存在一个，使得成立等价于 不等式在上有解,‎ ‎，即在上有解，‎ 只需，‎ 令，则，‎ ‎，‎ 所以在上递增，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于中档题. 不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数 ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程；（2）先求出函数的导数，分为和两种情形讨论的取值范围求出函数的单调区间．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，函数，，.‎ ‎∴，‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为即 ‎（2）.‎ 当时，，的单调递减区间为；‎ 当时，时，；时，，‎ ‎∴在递减，在递增.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究切线方程、导数与函数的单调性的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎18．设函数在点处有极值.‎ ‎(1)求常数的值;‎ ‎(2)求曲线与轴所围成的图形的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，利用函数在处有极值，由且,解方程组，即可求得的值；（2）利用定积分的几何意义，先确定确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，利用微积分基本定理，结合函数的对称性即可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知,‎ 且,‎ 即,解得.‎ ‎(2)如图,由1问知.作出曲线的草图,所求面积为阴影部分的面积.‎ ‎    ‎ 由得曲线与轴的交点坐标是,和,‎ 而是上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.‎ 所以轴右侧阴影面积与轴左侧阴影面积相等.‎ 所以所求图形的面积为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的极值、定积分的几何意义以及微积分基本定理的应用，属于中档题. 已知函数的极值求参数的一般步骤是：（1）列方程求参数；（2）检验方程的解的两边导函数符号是否相反.‎ ‎19．已知函数在处有极值.‎ ‎（1）求的值和函数的单调区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最值.‎ ‎【答案】（1）；单增区间为；单减区间为； （2）最大值为；最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数和函数的极值得关系即可求出，的值；再让导函数大于0‎ 对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间 ‎（2）由（1）可知区间函数单调递减，在区间函数单调递增，即可求出最值，特别注意最大值要比较和的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 由题意；‎ 所以，定义域为 ‎ 令，单增区间为；‎ 令，单减区间为 ‎（2）由（1）知在区间函数单调递减，在区间函数单调递增，‎ 所以，而，，显然，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数和函数的极值最值的关系，属于中档题．‎ ‎20．设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由 ‎，可得，，令，利用导数可得 的减区间为，增区间为，求得函数的极值与最值，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以函数的定义域为，‎ 当时，，‎ 令，得或（舍去）.‎ 当时，，当时，，‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）令，，，‎ 令，其中，‎ 则，令，得，‎ 当时，，当时，，‎ 的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ ‎， ‎ 又，，且，‎ 由于函数在上有两个零点，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎ ‎21．如图，在梯形中，，，，四边形是直角梯形，，，，平面平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）为线段的中点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦定理，结合勾股定理可证明，再利用面面垂直的性质定理可得结论；（2）先证明，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，取平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式求得,从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在梯形中，， ， ，‎ ‎， ，‎ ‎，，‎ 平面平面，平面平面，‎ 平面.‎ ‎（2）平面，.如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，，，，.设，‎ 则，取平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，‎ 由，得，‎ 令，得，，‎ 为平面的一个法向量，‎ ‎，解得，‎ 即当为线段的中点时满足题意.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 令，求出函数的最大值即可；‎ ‎(2) 不等式恒成立，即恒成立，令，研究函数的单调性与极值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，即，‎ 所以 ，‎ 令，得，‎ 当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，所以.‎ ‎（2）因为不等式恒成立，即恒成立，‎ 令，则，‎ 令，则.‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 故只需，即，‎ 令，单调性与（1）中一致，‎ 即在上单调递增，在上单调递减，又，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 ‎.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎