2017-2018学年天津市部分区县高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 天津市部分区县2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知，且，由“若是等差数列，则”可以得到“若是等比数列，则”用的是（ ）‎ A. 归纳推理 B. 演绎推理 C. 类比推理 D. 数学证明 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据类比推理的定义，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，可得结论.‎ 详解：根据类比推理的定义，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，故选C.‎ 点睛：本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：①找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性．②用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．‎ ‎2．水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中，则此容器里水的高度与时间的函数关系图象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图像分析判别可得结论.‎ 详解：A、B选项中：函数图象是单调递增的，与与题干不符，故排除；C、当注水开始时，函数图象往下凸，可得出下方圆台容器下粗上细，符合题意．；D、当注水时间从0到t时，函数图象往上凸，可得出下方圆台容器下细上粗，与题干不符，故排除．‎ 故选C .‎ 点睛：本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h和时间t之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想．‎ ‎3．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 以下判断正确的是（ ）‎ A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系 B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量没有关系 C. 有的把握说变量有关系 D. 有的把握说变量没有关系 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据所给的观测值，对照临界值表中的数据，即可得出正确的结论．‎ 详解：∵观测值， 而在观测值表中对应于3.841的是0.05， ∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系． 故选：A．‎ 点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎4．全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用分布计数乘法原理解答即可.‎ 详解：全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是 ‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查分布计数乘法原理，属基础题.‎ ‎5．为虚数单位，复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．‎ 详解： 则复数的共轭复数是.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．‎ ‎6．的展开式中的常数项是（ ）‎ A. 192 B. C. 160 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用二项展开式的通项公式 令 的幂指数为0，求得的值，从而可得的展开式中的常数项．‎ 详解：设二项展开式的通项为， 则 ‎ 令得： ， ∴展开式中的常数项为 故选D．‎ 点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎7．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．‎ 详解：的导数为 可得曲线在点处的切线斜率为 ， 即曲线在点处的切线方程为 ‎ 即为． 故选A.．‎ 点睛：本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．‎ ‎8．在复平面内复数对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题意，设复数 ，根据复数的模长公式进行计算即可．‎ 详解：根据题意，复平面内复数对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，设复数， 复数.‎ 故选D.‎ 点睛：本题主要考查复数的基本运算以及复数的几何意义的应用，考查学生的运算能力．‎ ‎9．随机变量的分布列如右表，若，则（ ）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题目条件中给出的分布列，可以知道和之间的关系，根据期望为，又可以得到一组关系，这样得到方程组，解方程组得到的值.‎ 进而求得.‎ 详解：根据题意， 解得 ‎ 则 ‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，属基础题.‎ ‎10．已知函数在其定义域内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意可得即有两个不等的实数解．令，求出导数和单调区间、极值和最值，画出图象，通过图象即可得到结论．‎ 详解：函数在其定义域内有两个零点， 等价为即有两个不等的实数解．令， ， 当 时，递减；当 时，递增． 在处取得极大值，且为最大值 ．当 ． 画出函数 的图象， 由图象可得 时， 和有两个交点， 即方程有两个不等实数解，有两个零点． 故选A．‎ 点睛：本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合的思想方法，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．设一个回归方程为，则当时，的估计值是_______.‎ ‎【答案】8.2‎ ‎【解析】分析：直接利用回归方程，将代入，即可求得的估计值．‎ 详解：∵回归方程为， ∴当时，的估计值为 ‎ 故答案为8.2．‎ 点睛：本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎12．为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_______.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．‎ 详解：∵复数是纯虚数， ， 解得 ． 故答案为：-3．‎ 点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．‎ ‎13．_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：利用微积分基本定理直接求解即可.‎ 详解： ‎ 即答案为4.‎ 点睛：本题考查微积分基本定理的应用，属基础题.‎ ‎14．要对如图所示的四个部分进行着色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，现有五种不同的颜色可供选择，则共有_______种不同的着色方法.（用数字作答）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎④‎ ‎③‎ ‎【答案】180‎ ‎【解析】分析：需要先给①着色，有5种结果，再给②着色，有4种结果，再给③着色有3种结果，最后给④着色，有3种结果，相乘得到结果．‎ 详解：需要先给①着色，有5种结果，再给②着色，有4种结果，再给③着色有3种结果，最后给④着色，有3种结果，则共有种不同的着色方法.．‎ 即答案为180.‎ 点睛：本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏．‎ ‎15．若展开式的各二项式系数和为16，则展开式中奇数项的系数和为______.‎ ‎【答案】353‎ ‎【解析】分析：由题意可得 ，由此解得，分别令和 ，两式相加求得结果．‎ 详解：由题意可得 ，由此解得， 即 则令得 ‎ 令得，两式相加可得展开式中奇数项的系数和为 ‎ 即答案为353.‎ 点睛：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中奇数项的系数和，解题时注意赋值法的应用，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎16．用0，1，2，3，4五个数字组成五位数.‎ ‎（1）求没有重复数字的五位数的个数；‎ ‎（2）求没有重复数字的五位偶数的个数.‎ ‎【答案】（1）96（2）60‎ ‎【解析】分析：（1）首位有种选法，后四位所剩四个数任意排列有种方法 根据分部乘法计数原理，可求没有重复数字的五位数的个数；‎ ‎（2）由题意，分2类：末尾是0的五位偶数 ； 末尾不是0的五位偶数，最后根据分类加法计数原理，可求没有重复数字的五位偶数个数.‎ 详解： ‎ ‎（I）首位有种选法，后四位所剩四个数任意排列有种方法 根据分部乘法计数原理，所求五位数个数为 ‎（II）由题意，分2类 末尾是0的五位偶数个数有个 ‎ 末尾不是0的五位偶数个数有个 ‎∴根据分类加法计数原理，没有重复数字的五位偶数个数为 个 点睛：本题考查排列组合知识的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎17．已知数列，…的前项和为.‎ ‎（1）计算的值，根据计算结果，猜想的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的表达式.‎ ‎【答案】（1），（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）计算可求得，由此猜想的表达式； （2）利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，再假设当时，等式成立，即，去证明当时，等式也成立即可．‎ 详解：‎ ‎（I） ‎ 猜想 ‎ ‎（II）①当时，左边=，右边=，‎ 猜想成立． ‎ ‎②假设当时猜想成立，即 ‎，那么 ‎， ‎ 所以，当时猜想也成立． ‎ 根据①②可知，猜想对任何都成立．‎ 点睛：本题考查归纳推理的应用，着重考查数学归纳法，考查运算推理能力，属于中档题．‎ ‎18．某射击运动员每次击中目标的概率是，在某次训练中，他只有4发子弹，并向某一目标射击.‎ ‎（1）若4发子弹全打光，求他击中目标次数的数学期望；‎ ‎（2）若他击中目标或子弹打光就停止射击，求消耗的子弹数的分布列.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）他击中目标次数可能取的值为0，1，2，3，4 ，由题意，随机变量服从二项分布，即~ ，则可求 4发子弹全打光，击中目标次数的数学期望； ‎ ‎ （2）由题意随机变量可能取的值是1，2，3，4 ‎ ‎，由此可求他击中目标或子弹打光就停止射击，求消耗的子弹数的分布列 详解：‎ ‎（1）他击中目标次数可能取的值为0，1，2，3，4 ‎ 由题意，随机变量服从二项分布，即~ ‎ ‎ ‎ ‎（若列出分布列表格计算期望，酌情给分）‎ ‎（2）由题意随机变量可能取的值是1，2，3，4 ‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0．9‎ ‎0．09‎ ‎0．009‎ ‎0．001‎ 点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．‎ ‎19．已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）极小值为 （2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据利用导数求函数极值的一般步骤求解即可；‎ ‎（2）,由于函数在区间上是增函数，所以，令，则即在上恒成立，由此可求的取值范围.. ‎ 详解：‎ ‎（1）当时，， ‎ ‎，令，解得， ‎ 当变化时，，的变化情况如下表 ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 ‎1‎ 单调递增 因此，当时，有极小值，并且极小值为 ‎ ‎（2）,由于函数在区间上是增函数 所以，令，则 即在上恒成立 ‎ 设，则在上为增函数， ‎ ‎∴ ‎ ‎∴，即的取值范围是．‎ 点睛：本题考查利用到时研究函数的单调性，极值，考查分析问题解决问题的能力．是圣.‎ ‎20．盒子有大小和形状完全相同的3个红球、2个白球和2个黑球，从中不放回地依次抽取2个球.‎ ‎（1）求在第1次抽到红球的条件下，第2次又抽到红球的概率；‎ ‎（2）若抽到1个红球记0分，抽到1个白球记1分，抽到1个黑球记2分，设得分为随机变量，求随机变量的数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据条件概率进行计算即可；‎ ‎（2）随机变量可能取的值为0，1，2，3，4 ，由此可求随机变量的分布列，进而求得数学期望.‎ 详解：‎ ‎（1）设“第1次抽到红球”为事件A，“第2次抽到红球”事件B，则“第1次和2次都抽到红球”就是事件AB．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）随机变量可能取的值为0，1，2，3，4 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎．‎ 点睛：本题考查条件概率，离散型随机变量的分布列及其期望，是圣.‎