2019-2020学年浙江省台州市书生中学高二上学期第一次月考数学试题 word版

2019-2020学年浙江省台州市书生中学高二上学期第一次月考数学试题 word版

‎2019学年 第一学期 台州市书生中学 第一次月高二数学试卷 ‎ （满分：150分 　考试时间：120 分钟） 　　2019.10‎ 选择题部分（共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．直线的倾斜角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．圆与圆的位置关系是 (　 　)‎ A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 ‎3．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．长方体中，是对角线上一点，是底面上一点，若，，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎5．若直线经过点，且原点到直线的距离为，则直线的方程为( )‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎6．若直线 过点，则最小值（ ）‎ A．2 B．‎6 ‎C．12 D．‎ ‎7．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )．‎ A． B．－ C．± D．－‎ ‎8．已知圆，直线，点在直线上，若存在圆 上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则 的最大值为( )‎ A．2 B． C． D．1‎ 10. 已知数列满足.若对任意的，都有，则( )‎ A．3 B． C．5 D．6‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、 填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。‎ ‎11.不等式组表示的区域为 D，Z = x + y 是定义在 D 上的目标函数，则区域 D 的面积为 ； Z 的最大值为 .‎ ‎12．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积 为 ，表面积为 .‎ 13． 设数列的前项和，若，‎ ‎　　则_______，_________．‎ 14． 已知直线 与圆 交于 A，B 两点，‎ 若线段 AB 的中点为 P (1,1) ，则直线 的方程是 ，‎ 直线 被圆 M 所截得的弦长等于 ．‎ ‎15.已知集合与集合,‎ ‎,则的取值范围是 .‎ ‎16．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为 ．‎ ‎17．已知，则，则的最小值为 .‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.（本小题满分14分）已知直线l经过点 ‎（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且△OAB的面积为4，求直线l的方程； ‎ ‎（2）若直线l与原点距离为2，求直线l的方程.‎ ‎19.（本小题满分15分）己知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解关于x的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围.‎ ‎20.（本小题满分15分）设数列的前项和为，它满足条件，数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是一个单调递增数列，求实数的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分15分）已知点为圆内一点，过点的直线交圆于两点，点在直线上， 使得的重心在轴上. 设原点到直线的距离为，的面积为. ‎ ‎（1）求中点的轨迹方程； ‎ ‎（2）求的最大值及此时点的坐标 . ‎ ‎ ‎ ‎22.已知数集具有性质:对任意的，存在 ，使得成立.‎ ‎（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求证；‎ ‎（Ⅲ）若,求数集中所有元素的和的最小值. ‎ ‎ ‎ 参考答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D A D A D D B B B C 二、 填空题 ‎11. ； 12. ； ‎ ‎13. ； 14. ； ‎ ‎15. 16. 17.‎ 三、 解答题 ‎18.（1）设直线方程为 则点，由题意得 解得，所以直线l： 即. …………………………（6分）‎ ‎（2）过P点的直线l2与原点距离为2，而P点坐标为，可见，过垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在,其方程为.……………………（8分）‎ 若斜率存在,设l的方程为,即.‎ 由已知过P点与原点距离为2,得 ,解得.‎ 此时l2的方程为.综上,可得直线l2的方程为 或. ……………………………………………（14分）‎ ‎19.（Ⅰ）由得, 即 ‎ ‎①当，即时，解得；…………………………（2分）‎ ‎②当即时，解得或；…………………………（4分）‎ ‎③当，即时，由于 ，故解得．…………………………（6分）‎ 综上可得：当时，解集为或；‎ 当时，解集为；‎ 当时，解集为．…………………………（7分）‎ ‎（II）不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．即对任意的恒成立，‎ 由于，‎ ‎∴对任意的恒成立．…………………………（10分）‎ 令，‎ ‎∵，‎ 当且仅当，即时等号成立．…………………………（13分）‎ ‎∴，‎ ‎∴实数的取值范围是．…………………………（15分）‎ 另解: ‎ 不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．设 ‎(1)当时,,解得 ‎ (2)当时,, 当时恒小于0,不满足,舍去 ‎ (3)当时,‎ ‎(ⅰ),即,得 ‎(ⅱ),解得 综上可得实数的取值范围是．0‎ ‎20.（1）∵，∴，…………………（2分）‎ ‎∴，即，……………………（4分）‎ 又，且，∴数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴． …………………………（6）‎ ‎（2）由条件得，‎ ‎∵数列是单调递增数列，‎ ‎∴恒成立，‎ 即对恒成立． …………………………（8分）‎ ‎①当时，，∴对恒成立，‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∵，且，∴．…………………………（11分）‎ ‎②当，‎ ‎∴对一切恒成立，∴对恒成立，‎ 令，则单调递增，∴，‎ ‎∴又，∴．由①②可知或．‎ ‎∴实数的取值范围是．…………………………（15分）‎ 21. ‎（1）由题意，，则在以为直径的圆上，所以则的轨迹方程为 ‎；…………………………（5分）‎ 方法二：设直线AB方程为，联立圆的方程化简得 设，由韦达定理得，设，‎ 则，，消去t，得到x,y的关系式 ‎（2）设直线AB方程为，联立圆的方程化简得 ‎…………………………（7分）‎ 设，由韦达定理得，而 ‎，则.…………………………（9分）‎ 原点到直线AB的距离，线段AB的长度，‎ M到直线AB的距离，则，…………………………（12分），由对勾函数单调性可得当t=0时，的最大值为，此时的坐标为.…………………………（15分）‎ 21. ‎（）∵，∴数集不具有性质．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴数集具有性质．…………………………（2分）‎ ‎（）∵集合具有性质即对任意的，，使得成立，‎ 又，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 即，，，，‎ 将上述不等式相加得，‎ 化简得．…………………………（7分）‎ ‎（）最小值为．…………………………（8分）‎ 首先注意到，根据性质，得到，‎ 所以易知数集的元素都是整数，‎ 构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为．‎ 下面，证明是最小的和．‎ 假设数集，满足最小（存在性显然，因为满足的数集只有有限个）．‎ 第一步：首先说明集合中至少有个元素：‎ 由（）可知，，，，‎ 又，‎ ‎∴，，，，，，‎ ‎∴．‎ 第二步：证明，，，‎ 若，设，‎ ‎∵，为了使最小，‎ 在集合中一定不含有元素，使得，‎ 从而；‎ 若，根据性质，对，有，，使得，‎ 显然，‎ ‎∴，‎ 此时集合中至少有个不同于，，的元素，‎ 从而，矛盾，‎ ‎∴，进而，，且．…………………………（11分）‎ 同理可证：若，则．‎ 假设，‎ ‎∵，根据性质，有，，使得，‎ 显然，‎ ‎∴，‎ 此时集合中至少还有个不同于，，，的元素，‎ 从而，矛盾，‎ ‎∴，且，‎ 同理可证：若，则．‎ 假设，‎ ‎∵，根据性质，有，，使得，‎ 显然，‎ ‎∴，‎ 此时集合中至少还有个不同于，，，，的元素，‎ 从而，矛盾，‎ ‎∴，且．…………………………（13分）‎ 至此，我们得到，，，，，‎ 根据性质，有，，使得，我们需要考虑如下几种情形：‎ ‎①，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则；‎ ‎②，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则；‎ ‎③，，此时集合，；‎ ‎④，，此时集合，．‎ 综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是．…………………（15分）‎