四川省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

四川省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

四川省 2020 届高三数学理一轮复习典型题专项训练 圆锥曲线 一、选择、填空题 1、（成都市 2019 届高三第一次（12 月）诊断性检测）已知双曲线 1: 22  yxC 的右焦点为 F ,则 点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为_____. 2、（达州市 2019 届高三第一次诊断性测试）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左右焦点分别 为 1 2F F、 ，抛物线 2 4y cx 2 2 2( , 0)c a b c   与椭圆 C 在第一象限的交点为 P ，若 1 2 4cos 5PF F  ，则椭圆的离心率为 A． 5 1 2  B． 3 2 2  或 3 2 2  C． 3 1 2  D． 4 7 9  或 4 7 9  3、（成都市 2019 届高三第二次诊断）已知双曲线C ： )0(12 2 2 ＞bb yx  的焦距为 4,则双曲线 C 的 渐近线方程为 A． xy 15 B． xy 2 C． xy 3 D． xy 3 4、（成都市 2019 届高三第二次诊断）已知 F 为抛物线 ：C yx 42  的焦点,过点 F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点 BA, ,抛物线 C 在 BA, 两点处的切线分别是 21,ll ,且 21,ll 相交于点 P ,则 PF + AB 32 的小值是___. 5、（树德中学 2019 届高三 11 月阶段性测试）过双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a xE： 的右焦点且垂直 于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点，与双曲线的渐近线交于 C,D 两点，若 |CD|2 3|AB|  ，则 双曲线的离心率是 （A）2 （B） 2 （C） 3 （D）3 6、（广元市 2019 届高三第二次高考适应性统考）已知直线 l 过点（ 3 2 ，0）且与 x 轴垂直，则以 l 为准线，顶点在原点的抛物线的方程是（ ） A．y2＝6x B．y2＝﹣6x C．x2＝6y D．x2＝﹣6y 7 、（ 广 元 市 2019 届 高 三 第 二 次 高 考 适 应 性 统 考 ）平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 双 曲 线 C1 ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的两条渐近线与抛物线 C2： 2 2 ( 0)x py p  交于 O，A，B 三点，若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为（ ） （A） 3 （B） 3 2 （C） 2 （D）2 8、（泸州市 2019 届高三第二次教学质量诊断性考试）双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右 焦点分别为 F1、F2，过 F1 的直线与圆 x2+y2＝a2 相切，与 C 的左、右两支分别交于点 A、B，若|AB| ＝|BF2|，则 C 的离心率为（ ） A． 5 2 3 B．5＋2 3 C． 3 D． 5 9、（绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试）抛物线 2 4 2y x 的焦点为 F，P 是抛物线上 一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，若｜PF｜＝ 4 2 ，则△PQF 的面积为 A、3 B、 4 2 C、3 6 D、 6 3 10、（南充市 2019 届高三第二次诊断考试）P 是双曲线 2 2 13 4 x y  的右支上一点 F1，F2 分别为双 曲线的左右焦点，则△PF1F2 的内切圆的圆心横坐标为（ ） A． 3 B．2 C． 7 D．3 11、（南充市 2019 届高三上学期第一次高考适应性考试）已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     与函 数 ( 0)y x x  的图像交于点 P .若函数 y x 在点 P 处的切线过双曲线左焦点 ( 1,0)F  ，则双 曲线的离心率是 A． 3 2 B． 3 1 2  C. 5 2 2  D． 5 1 2  12、（南充市 2019 届高三上学期第一次高考适应性考试）已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 (1,0)F ，直线 :l y x m  与抛物线交于不同的两点 A ， B .若 0 1m  ，则 FAB 的面积的最大 值是 ． 13 、（ 遂 宁 市 2019 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 考 ） 已 知 抛 物 线 2 4 2y x  的 焦 点 到 双 曲 线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的一条渐近线的距离为 5 10 ，则该双曲线的离心率为 A. 2 5 B． 2 C. 10 3 D. 5 1 14、（棠湖中学 2019 届高三 4 月月考）已知方程 2 2 2 2 13 x y m n m n    表示双曲线,且该双曲线两焦 点间的距离为 4,则 n 的取值范围是 A. 1,3 B. 1, 3 C. 0,3 D. 0, 3 15、（宜宾市 2019 届高三第二次诊断性考试）若 焦 点 在 x 轴上的双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是 2 0x y  ，则该双曲线的离心率是 A. 3 B. 2 C. 5 D. 6 16、（自贡市 2019 届高三上学期第一次诊断性考试）已知直线 0( 0)kx y k k    与抛物线 xy 42  交 于 BA、 两点，过 B 作 x 轴的平行线交 抛 物 线 的 准 线 于 点 M ， O 为 坐 标 原 点 ， 若 : 1: 2OBM OBAS S   ，则 k _____． 17、（成都市 2019 届高三第一次（12 月）诊断性检测）_.设椭圆 )0(1: 2 2 2 2 ＞＞bab y a xC  的左, 右 顶 点 为 A,B 。 P 是 椭 圆 上 不 同 于 A,B 的 一 点 , 设 直 线 BPAP, 的 斜 率 分 别 为 nm, , 则 当 2 2(3 ) 3(ln ln )3 a m nb mn mn     取得最小值时,椭圆C 的离心率为 A. 5 1 B. 2 2 C. 5 4 D. 2 3 18、（泸州市 2019 届高三第二次教学质量诊断性考试）抛物线 y2＝4x 上的点到（0，2）的距离与到 其准线距离之和的最小值是 19、（绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试）已知 F1，F2 是焦距为 8 的双曲线 E： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左右焦点，点 F2 关于双曲线 E 的一条渐近线的对称点为点 A， 若｜AF1｜＝4，则此双曲线的离心率为 A、 2 B、 3 C、2 D、3 20、（棠湖中学 2019 届高三 4 月月考）双曲线 2 2 2 2 1x yE a b  ： ( 0 0a b ， ）的离心率是 5 ，过右 焦点 F 作渐近线l 的垂线，垂足为 M ，若 OFM 的面积是 1，则双曲线 E 的实轴长是 A． 2 B． 2 2 C. 1 D．2 参考答案： 1、1 2、D 3、D 4、6 5、A 6、B 7、B 8、A 9、D 10、A 11、D 12、 8 6 9 13、A 14、A 15、C 16、2 2 17、D 18、 5 19、C 20、D 二、解答题 1、（成都市 2019 届高三第一次（12 月）诊断性检测）已知长度为 4 的线段的两个端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足 3BP PA  ，记动点 P 的轨迹为曲线 C. （I）求曲线 C 的方程； （II）设不经过点 H(0,1)的直线 txy  2 与曲线 C 相交于两点 M,N.若直线 HM 与 HN 的斜率之和 为 1,求实数 t 的值. 2、（成都市 2019 届高三第二次诊断）已知椭圆 C: 12 2 2 2  b y a x (a>b>0)的短轴长为 4 2,离心率为1 3 。 (I)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的左,右焦点分别为 F1,F2,左,右顶点分别为 A,B,点 M,N 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的 两点,且 F1M∥F2N,记直线 AM,BN 的斜率分别为 k1,k2,求 3k1+2k2=0,求直线 F1M 的方程。 3、（树德中学 2019 届高三 11 月阶段性测试）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点 F 在 y 轴的正半轴 上，点 A 是抛物线上的一点，以 A 为圆心，2 为半径的圆与 y 轴相切，切点为 F． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）设直线 m 在 y 轴上的截距为 6，且与抛物线交于 P，Q 两点，连接 QF 并延长交抛物线的准线 于点 R，当直线 PR 恰与抛物线相切时，求直线 m 的方程。 4、（广元市 2019 届高三第二次高考适应性统考）椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的上、下焦点分别为 F1（0，c），F2（0，﹣c），右顶点为 B，且满足 （Ⅰ）求椭圆的离心率 e； （Ⅱ）设 P 为椭圆上异于顶点的点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F2，问是否存在过 F1 的直线与 该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由． 5、（泸州市 2019 届高三第二次教学质量诊断性考试）已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，点 P1 （1，1），P2（0， 3 ），P3（－ 2 ，－ 2 ），P4（ 2 ， 2 ）中恰有三点在椭圆 C 上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 R（x0，y0）是椭圆 C 上的动点，由原点 O 向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2 引两条切线， 分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，试问△OPQ 的面积是否为 定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 6、（绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试）己知椭圆 C： 2 2 18 4 x y  的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点．O 为坐标原点． （1）若直线 l 过点 F1，且｜AF2｜十｜BF2 ｜＝16 2 3 ，求直线 l 的方程； (2)若以 AB 为直径的圆过点 O，点 P 是线段 AB 上的点，满足 OP⊥AB，求点 P 的 轨迹方程． 7、（南充市 2019 届高三第二次诊断考试）已知抛物线 C：y2＝2px（P＞0）的焦点到直线 l：y＝2x+2 的距离为 4 5 5 ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设点 R(x0,2)在抛物线 C 上,过点 Q(1,1)作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A,B, 若直线 AR,BR 分别交直线 l 于 M,N 两点,求|MN |最小时直线 AB 的方程. 8、（南充市 2019 届高三上学期第一次高考适应性考试）已知椭圆的焦点 1( 4,0)F  ， 2 (4,0)F ，过点 2F 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B ，并且 1 2| | | | 10F B F B  ，椭圆上不同的两点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )C x y 满足条件： 2| |F A ， 2| |F B ， 2| |F C 成等差数列. （1）求椭圆的方程； （2）求弦 AC 中点的横坐标. 9、（遂宁市 2019 届高三第三次诊断性考）已知 BA, 是椭圆 C ︰ )0(12 2 2 2  ba b y a x 的左右顶 点， P 点为椭圆C 上一点，点 P 关于 x 轴的对称点为 H ，且 2 1 BHPA kk 。 （1）若椭圆C 经过了圆 4)1( 22  yx 的圆心，求椭圆C 的标准方程； （2）在（1）的条件下，抛物线 D ： )0(22  ppxy 的焦点 F 与点 )2,8 1( 关于 y 轴上某点对 称，且抛物线 D 与椭圆C 在第四象限交于点Q ，过点Q 作抛物线 D 的切线，求该切线方程并求该 直线与两坐标轴围成的三角形面积. 10、（棠湖中学 2019 届高三 4 月月考）如图，椭圆 2 2 2 2: 1x yE a b   ( 0)a b  的左、右焦点分别为 1 2F F、 ， 2MF x 轴，直线 1MF 交 y 轴于 H 点， 2 4OH  ，Q 为椭圆 E 上的动点， 1 2F F Q 的 面积的最大值为 1. （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）过点 (4,0)S 作两条直线与椭圆 E 分别交于 A B C D、 、 、 ，且使 AD x 轴，如图，问四边 形 ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 11、（宜宾市 2019 届高三第二次诊断性考试）已 知 点 M 到 定 点  0,4F 的 距 离 和 它 到 直 线 25 4l x ： 的距离的比是常数 4 5 ． （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）若 直线 l y kx m ： 与 圆 922  yx 相 切， 切 点 N 在 第四 象 限， 直 线与 曲 线 C 交 于 BA、 两点，求证 FAB： 的周长为定值． 12、（成都市 2018 届高三第二次诊断）已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左右焦点分别为 1F ， 2F ，左顶点为 A ，离心率为 2 2 ，点 B 是椭圆上的动点， 1ABF 的面积的最大值为 2 1 2  . （1）求椭圆C 的方程； （2）设经过点 1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点 M ，N ，线段 MN 的中垂线为 'l .若直线 'l 与 直线相交于点 P ，与直线 2x  相交于点 Q ，求 PQ MN 的最小值. 13、（德阳市 2018 届高三二诊考试）已知长度为3 2 的线段 AB 的两个端点 A 、B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足 2BP PA  ，设动点 P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程； （2）过点 (4,0) 且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点 M 、 N ，在 x 轴上是否存在定点T ，使 得直线 MT 与 NT 的斜率之积为常数.若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理 由. 14、（泸州市 2018 届高三第二次教学质量诊断）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a b a b     的左、右焦点分别 为 1 2,F F ，若 2F 到过椭圆左焦点、斜率为 3 的直线的距离为 3 ，连接椭圆的四个顶点得到的四边形 面积为 4． （I）求椭圆 C 的方程； （II）设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A、B，过点 (1,0)M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，证明： 直线 AP 、 BQ 的交点在直线 4x  上． 15、（成都市 2020 届高中毕业班摸底测试）已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左，右焦点分别 为 F1（－ 3 ，0），F2（ 3 ，0），且经过点 A（ 3 ， 1 2 ）． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，记点 P 关于 x 轴 对称的点为 P'．证明：直线 P'Q 经过 x 轴上一定点 D，并求出定点 D 的坐标． 参考答案： 1、 2、 3、解（Ⅰ）设抛物线方程为 2 2 ( 0)x py p  ， ∵以 A为圆心， 2 为半径的圆与 y 轴相切，切点为 F ， ∴ =2p ，∴该抛物线的标准方程为 2 4x y ． ········· 4 分 （Ⅱ）由题知直线 m 的斜率存在，设其方程为 6y kx  ， 由 2 6 4 y kx x y       消去 y 整理得 2 4 24 0x kx   ， 显然 216 96 0k    ．设  1 1P x y， ，  2 2Q x y， ，则 1 2 1 2 4 • 24 x x k x x        ．···· 6 分 抛物线在点 2 1 1 4 xP x      ， 处的切线方程为   2 1 1 14 2 x xy x x   ， 令 1y   ，得 2 1 1 4 2 xx x  ，可得点 2 1 1 4 12 xR x       ， ， ··········8 分 由Q， F ， R 三点共线得 QF FRk k ， ∴ 2 2 2 12 1 1 1 14 4 2 x xx x     ，即   2 2 1 2 1 24 4 16 0x x x x    ， 整理得  22 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 2 16 16 0x x x x x x x x        ， ∴       2 224 4 4 2 24 16 16 24 0k            ， 解得 2 1 4k  ，即 1 2k   ， ∴所求直线 m 的方程为 1 62y x  或 1 62y x   ． ········· 12 分 4、 5、 6、解：（1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8 2 ，则|AB|= 8 2 3 ． ……2 分 因为直线 l 过点 F1(-2,0)，所以 m=2k 即直线 l 的方程为 y=k(x+2). 设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立   2 22 8 0 2 x y y k x       ， ， 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0． ∴ x1+x2= 2 2 8 1 2 k k   ，x1x2= 2 2 21 88 k k   ．……………………………………………4 分 由弦长公式|AB|= 2 2 1 2 1 2 8 2(1 )[( ) 4 ] 3k x x x x    ， 代入整理得 2 2 1 2 1 2 3 k k   ，解得 1k   ． 所以直线 l 的方程为 ( 2)y x   ， 即 2 0x y   或 + 2 0x y   ． ………………………………………………6 分 （2）设直线 l 方程 y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立 2 22 8 0 y kx m x y       ， ， 整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. ∴ x1+x2= 2 4 2 1 km k   ，x1x2= 2 2 2 8 2 1 m k   ． …………………………………………8 分 以 AB 为直径的圆过原点 O，即 0OA OB   ． ………………………………9 分 ∴ OA OB   x1x2+ y1y2=0． 将 y1=kx1+m，y2= kx2+m 代入，整理得 (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． …………………………………………10 分 将 x1+x2= 2 4 2 1 km k   ，x1x2= 2 2 2 8 2 1 m k   代入， 整理得 3m2=8k2+8． …………………………………………………………11 分 ∵ 点 P 是线段 AB 上的点，满足 OP AB ， 设点 O 到直线 AB 的距离为 d， ∴ |OP|=d，于是|OP|2=d2= 2 2 8 1 3 m k  （定值）， ∴ 点 P 的轨迹是以原点为圆心， 8 3 为半径的圆，且去掉圆与 x 轴的交点. 故点 P 的轨迹方程为 2 2 8 3x y  ( 0y  )． ………………………………12 分 7、 8、解：（1）由题意可知 1 22 | | | | 10a F B F B   . 所以 5a  ，又 4c  ， 所以 2 2 3b a c   ， 所以椭圆方程为： 2 2 125 9 x y  . （2）由点 (4, )BB y 在椭圆上，得 2 9| | | | 5BF B y  . 由 2| |F A ， 2| |F B ， 2| |F C 成等差数列，得 2 2 2 2 1 1 2 2 9( 4) ( 4) 2 5x y x y       ① 点 1 1( , )A x y 在椭圆 2 2 1 1 125 9 x y  上， 得 1 2 2 1 9 (25 )25y x  所以 2 2 2 2 1 1 1 1 1 9( 4) 8 16 (25 )25x y x x x       2 1 4(5 )5 x  1 1 (25 4 )5 x  ② 同理可得 2 2 2 2 2 1( 4) (25 4 )5x y x    ③ 将②③代入①式，得： 1 2 1 1 18(25 4 ) (25 4 )5 5 5x x    所以 1 2 8x x  设 AC 中点坐标为 0 0( , )x y ，则横坐标： 1 2 0 42 x xx   . 9、【解析】：（1）设 ),( yxP ，因为 )0,(),0,( aBaA  ，则点 P 关于 x 轴的对称点 H ),( yx  。 ax yk PA  ， xa ykBH  ， 因为 2 2 2 2 1x y a b   ，所以  2 2 2 2 2 2 2 21 x by b a xa a        ，所以 2 2 22 2 a b xa ykk BHPA    ， ……………………2 分 又椭圆C 过圆 4)1( 22  yx 的圆心 )1,0( ， ……………………4 分 所以 1,2 22  ba ，所以椭圆C 的标准方程为 12 2 2  yx ； ……………………5 分 （2）由题意，抛物线 D 焦点为 )0,8 1(F ，故其方程为 2 2 xy  ，联立方程组         12 2 2 2 2 yx xy ，解 得 1x 或 2x （舍去），所以 )2 2,1( Q ， ……………………7 分 设 抛 物 线 2 2 xy  在 )2 2,1( Q 点 处 的 切 线 为 2 2)1(  xky ， 联 立 方 程 组         2 2)1( 2 2 xky xy ，整理得 02 22 2  kyky ，由 0  解之得 4 2k ，所以所求的切 线方程为 2 2)1(4 2  xy 。即是 0122  yx 。 ……………………10 分 令 0x ， 得 4 2y ； 令 0y ， 得 1x 。 故 所 求 三 角 形 的 面 积 为 8 214 2 2 1 S 。 ……………………12 分 10、解：（Ⅰ）设 ( ,0)F c ，由题意可得 2 2 2 2 1c y a b   ，即 2 M by a  . ∵OH 是 1 2F F M 的中位线，且 2 4OH  ， .................2 分 ∴ 2 2| | 2MF  ，即 2 2 2 b a  ，整理得 2 42a b .① 又由题知，当Q 在椭圆 E 的上顶点时， 1 2F F M 的面积最大，.................4 分 ∴ 1 2 12 c b   ，整理得 1bc  ，即 2 2 2( ) 1b a b  ，② 联立①②可得 6 42 1b b  ，变形得 2 4 2( 1)(2 1) 0b b b    ，解得 2 1b  ，进而 2 2a  . ∴椭圆 E 的方程式为 2 2 12 x y  ..................6 分 (Ⅱ)设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则由对称性可知 1 1( , )D x y ， 2 1( , )B x y . 设直线 AC 与 x 轴交于点 ( ,0)t ，直线 AC 的方程为 ( 0)x my t m   ， 联立 2 2 12 x my t x y     ，消去 x ，得 2 2 2( 2) 2 2 0m y mty t     ，.................8 分 ∴ 1 2 2 2 2 mty y m    ， 2 1 2 2 2 2 ty y m   ， 由 A B S、 、 三点共线 AS BSk k ，即 1 2 1 24 4 y y x x   ， 将 1 1x my t  ， 2 2x my t  代入整理得 1 2 2 1( ) ( 4) 0y my t t y my t      ，.................10 分 即 1 2 1 22 ( 4)( ) 0my y t y y    ，从而 2 2 2 ( 2) 2 ( 4) 02 m t mt t m     ，化简得 2 (4 2) 0m t   ，解得 1 2t  ，于是直线 AC 的方程为 1 2x my  ，故直线 AC 过定点 1( ,0)2 .同理可得 BD 过定点 1( ,0)2 ， ∴直线 AC 与 BD 的交点是定点，定点坐标为 1( ,0)2 . ................12 分 11、解：⑴设 ( , )M x y 由题意得 ,5 4 4 25 )4( 22    x yx ……………2 分 1925 22  yx 为轨迹 C 的方程； …………………4 分 ⑵法一：设 1 1( , ),A x y A 到 l 的距设为 d ， 1 1 1 | | 4 4 4 25 4, | | | |, [ 5,5], | | 5 ,5 5 5 4 5 AF AF d x x AF xd          Q ……………6 分 2 2 2 21 1 1 1 1 41 ( ) 925 9 5 x y AN x y x      Q ， ……………8 分 1 1 4 45 5,5 5FA AN x x      ……………10 分 同理 ,5 BNFB 10 ABFBFA  FAB 的周长为定值 .10 …………………12 分 法二：设 ),,(),,( 2211 yxByxA 由题知 ,0,0  mk Q 直线 mkxyl : 与圆 922  yx 相切 ,3 12    k m 即 )1(9 22  km ① …………………5 分 把 mkxy  代入 1925 22  yx 得 02252550)925( 222  mkmxxk 显然 , 925 22525, 925 50,0 2 2 21221     k mxx k kmxx …………………7 分  925 225254) 925 50(11 2 2 2 2 2 21 2     k m k kmkxxkAB 925 1120 2 2   k kk ……9 分 2 1 2 1 2 2 2 4 4 4 40 120 15 5 10 ( ) 10 105 5 5 25 9 25 9 km k kFA FB x x x x k k              …11 分 10 ABFBFA  FAB 的周长为定值 .10 ……………..…………12 分 12、解：（1）由已知，有 2 2 c a  ，即 2 22a c . ∵ 2 2 2a b c  ，∴b c . 设 B 点的纵坐标为 0 0( 0)y y  . 则 1 0 1 ( )2ABFS a c y    1 ( )2 a c b  2 1 2  ， 即 ( 2 ) 2 1b b b   . ∴ 1b  ， 2a  . ∴椭圆C 的方程为 2 2 12 x y  . （2）由题意知直线的斜率不为，故设直线： 1x my  . 设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ， ( , )P PP x y ， (2, )QQ y . 联立 2 22 2 1 x y x my       ，消去，得 2 2( 2) 2 1 0m y my    . 此时 28( 1) 0m    . ∴ 1 2 2 2 2 my y m    ， 1 2 2 1 2y y m    . 由弦长公式，得 21MN m  2 1 2 1y y m   2 2 2 4 4 8 2 m m m    . 整理，得 2 2 12 2 2 mMN m    . 又 1 2 22 2P y y my m    ，∴ 1P Px my  2 2 2m   . ∴ 21 2PPQ m x   2 2 2 2 61 2 mm m     . ∴ 2 2 2 6 2 2 1 mPQ m   2 2 2 3 2 1 m m    2 2 2 2( 1 ) 22 1 m m      ， 当且仅当 2 2 21 1 m m    ，即 1m   时等号成立. ∴当 1m   ，即直线的斜率为 1 时， PQ MN 取得最小值. 13、解：（1）设 ( , )P x y ， ( ,0)A m ， (0, )B n ， 由于 2BP PA  ，所以 ( , ) 2( , )x y n m x y    (2 2 , 2 )m x y   ， 即 2 2 2 x m x y n y       ，所以 3 2 3 m x n y     ， 又 3 2AB  ，所以 2 2 18m n  ，从而 2 29 9 184 x y  . 即曲线C 的方程为： 2 2 18 2 x y  . （2）由题意设直线l 的方程为： 4x my  ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ， 由 2 2 4 18 2 x my x y     得： 2 2( 4) 8 8 0m y my    ， 所以 1 2 2 1 2 2 2 2 8 4 8 4 64 32( 4) 0 my y m y y m m m              . 故 1 2 1 2( ) 8x x m y y    2 32 4m   ， 2 1 2 1 2 1 24 ( )x x m y y m y y   2 2 64 816 4 m m    ， 假设存在定点 ( ,0)T t ，使得直线 MT 与 NT 的斜率之积为常数，则 MT NTk k 1 2 1 2( )( ) y y x t x t    1 2 2 1 2 1 2( ) y y x x t x x t     2 2 2 8 ( 8) 4( 4)t m t     . 当 2 8 0t   ，且 4 0t   时， MT NTk k 为常数，解得 2 2t   . 显然当 2 2t  时，常数为 3 2 2 4  ；当 2 2t   时，常数为 3 2 2 4  ， 所以存在两个定点 1(2 2,0)T ， 2 ( 2 2,0)T  ，使得直线 MT 与 NT 的斜率之积为常数，当定点为 1(2 2,0)T 时，常数为 3 2 2 4  ；当定点为 2 ( 2 2,0)T  时，常数为 3 2 2 4  . 14、解：（Ⅰ） 1 2,F F 的坐标分别为 ( 0)c ， ， ( 0)c， ， 其中 0c ， 过椭圆的左焦点、斜率为 3 的直线的方程为： 3( )y x c  ，····················· 1 分 2F 到直线 AB 的距离为 3，所以有 2 3 3 3 1 c   ， 解得 3c  ，······················· 2 分 所以有 2 2 3a b  ， 由题意知: 1 2 2 42 a b   ， 即 2ab  ，···················································· 3 分 解得： 2a  ， 1b  ， 所求椭圆 C 的方程为 2 2 4 1x y  ；··························································· 4 分 （Ⅱ）设直线 l 的方程为 1x my  ，代入椭圆 C 的方程消去 x 整理得： 2 2(4 ) 2 3 0m y my    ，···································································· 5 分 设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ， 所以 1 2 2 2 4 my y m    ， 1 2 2 3 4 y y m   ，···················································6 分 直线 AP 方程为 1 1 ( 2)2 yy xx   ，直线 BQ 方程为 2 2 ( 2)2 yy xx   ，·············7 分 解法一：要证明直线 AP 、 BQ 的交点在直线 4x  上， 只需证明 1 2 1 2 (4 2) (4 2)2 2 y y x x     ，····················································8 分 即证明 2 1 1 2 1 23 6 2 0x y x y y y    ，······················································· 9 分 只需证明 2 1 1 2 1 23( 1) ( 1) 6 2 0my y my y y y      ，··································· 10 分 即证明 1 2 1 22 3( ) 0my y y y   ，而 2 22 33 2 4 4 0mm m m        成立， 所以直线 AP 、 BQ 的交点在直线 4x  上．·········································· 12 分 解法二： 1 2 1 2 ( 2) ( 2)2 2 y yx xx x     ，···························································· 8 分 解得： 1 2 1 2 1 2 4 2 6 3 my y y yx y y    ·································································· 9 分 因为 1 2 1 2 2 3 y y m y y   ，············································································ 10 分 即 1 2 1 22 3( )my y y y  ···········································································11 分 所以 1 2 1 2 1 2 4 2 6 3 my y y yx y y    12 2 1 1 2 26 6( ) 43 y y y y y y     .····································································12 分 15、