2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高一下学期期中考试数学试题(解析版)

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2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高一下学期期中考试数学试题(解析版)

‎2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1.已知等差数列,,则公差( )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用通项得到关于公差d的方程,解方程即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的通项的基本量的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2.已知向量满足,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用向量坐标运算的加法法则求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量加法的坐标运算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.在数列中,,则的值为( )‎ A. B. C. D.以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】先通过列举找到数列的周期,再根据周期求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得,‎ 所以数列的周期为3,‎ 又2019=3×673,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的递推公式和数列的周期性,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4.已知向量,若,则实数 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得,解方程即得解.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量垂直的坐标表示,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.在中,若,则是( )‎ A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:由tanAtanB>1及A、B是三角形的内角知,A、B为锐角,所以即,所以角C也是锐角,故三角形是锐角三角形.选A.‎ ‎【考点】判断三角形的形状.‎ ‎6.在中,角所对的边分别为,下列结论不正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ 选项A,是余弦定理,所以该选项正确;‎ 选项B,实际上是正弦定理的变形,所以该选项是正确的;‎ 选项C,由于,所以该选项正确;‎ 选项D,,不一定等于sinC,所以该选项是错误的.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把120个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小一份面包是  ‎ A.2个 B.13个 C.24个 D.35个 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可设五个人所分得的面包数为:,,a,,其中,然后由已知列式求得a,d的值,则答案可求.‎ ‎【详解】‎ 解:设五个人所分得的面包数为:,,a,,其中,‎ 则有,‎ ‎,得.‎ 又,‎ ‎,得.‎ 最小的一份为个,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式,是基础的计算题.‎ ‎8.已知数列满足,,是数列的前项和,则( )‎ A. B.‎ C.数列是等差数列 D.数列是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】分析:由,可知数列隔项成等比,再结合等比的有关性质即可作出判断.‎ 详解:数列满足,,‎ 当时,‎ 两式作商可得:,‎ ‎∴数列的奇数项,成等比,‎ 偶数项,成等比,‎ 对于A来说,,错误;‎ 对于B来说,‎ ‎,正确;‎ 对于C来说,数列是等比数列 ,错误;‎ 对于D来说,数列是等比数列,错误,‎ 故选:B 点睛:本题考查了由递推关系求通项,常用方法有:累加法,累乘法,构造等比数列法,取倒数法,取对数法等等,本题考查的是隔项成等比数列的方法,注意偶数项的首项与原数列首项的关系.‎ ‎9.平面向量满足,当取得最小值时,( )‎ A.0 B.2 C.3 D.6‎ ‎【答案】A ‎【解析】设;;,再利用坐标法和向量的数量积求解即可.‎ ‎【详解】‎ 根据题意设;;‎ 不妨设则,,‎ 当时上式取最小值此时,.‎ ‎,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查坐标法和平面向量数量积的运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析 推理能力.‎ ‎10.设数列的前项和为,若存在实数,使得对于任意的,都有,则称数列为“数列”( )‎ A.若是等差数列,且首项,则数列是“数列”‎ B.若是等差数列,且公差,则数列是“数列”‎ C.若是等比数列,也是“数列”,则数列的公比满足 D.若是等比数列,且公比满足,则数列是“数列”‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出等差数列的前项和公式,取即可判断错误;举例首项不为0判断错误;举 例说明错误;求出等比数列的前项和,由绝对值不等式证明正确.‎ ‎【详解】‎ 对于,若是等差数列,且首项,当时,,当时,‎ ‎,则不是“数列”,故错误;‎ 对于,若是等差数列,且公差,,当时,当时,,‎ 则不是“数列”,故错误;‎ 对于,若是等比数列,且是“数列”,则的公比或,故错误;‎ 对于,若是等比数列,且公比,,则是“数列”,故正确;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题是新定义题,考查了等差数列和等比数列的应用,对题意的理解是解答此题的关键,属 中档题.‎ 二、填空题 ‎11.已知向量满足.若,则 _______; ______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先根据求出m的值,再求得解.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以(1)×m4=0,所以m=4.‎ 所以.‎ 故答案为:(1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量平行的坐标表示和向量的模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12.已知数列的前项和,,则_________;__________.‎ ‎【答案】1 ‎ ‎【解析】令n=1即得的值,再求出数列的通项,即得的值.‎ ‎【详解】‎ 令n=1即得.‎ 由题得,适合n=1.‎ 所以是一个以1为首项,以2为公差的等差数列.‎ ‎.‎ 故答案为:(1). 1 (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查项和公式,考查等差数列通项的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎13.在中,边所对的角分别为,若,,则______;_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先根据求出A的值,再根据求出B的值即得C的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得,‎ 所以.‎ 因为,所以,‎ 所以C=.‎ 故答案为: (1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理解三角形和三角恒等变换,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14.已知数列满足,若为单调递增的等差数列,其前项和为,则__________;若为单调递减的等比数列,其前项和为,则__________.‎ ‎【答案】370 6 ‎ ‎【解析】(1)为单调递增的等差数列,则公差.由数列满足,,可得,,可得,为一元二次方程的两个实数根,且,解得再利用通项公式与求和公式即可得出.②设等比数列的公比为,根据已知可得,是一元二次方的两个实数根,又为单调递减的等比数列,可得,.再利用通项公式与求和公式即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎①为单调递增的等差数列,则公差.‎ 数列满足,,‎ ‎,,‎ 则,为一元二次方程的两个实数根,且,‎ 解得,,‎ 可得,,解得.‎ ‎.‎ ‎②设等比数列的公比为,数列满足,,‎ ‎,是一元二次方程的两个实数根,‎ 又为单调递减的等比数列,,.‎ ‎,解得.‎ ‎,解得.‎ ‎,解得.‎ 故答案为:(1). 370 (2). 6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其单调性,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题.‎ ‎15.已知向量,其中、均为非零向量,则的取值范围为 _________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量三角形不等式即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 的取值范围是,;‎ 故答案为:,.‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握向量三角形不等式是解题的关键.‎ ‎16.若锐角的面积为,则边上的中线为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用三角形的面积公式求出A的值,进一步利用余弦定理求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解:锐角的面积为,,,‎ 则:,‎ 解得:,‎ 所以:,‎ 所以:,‎ 解得:.‎ 在中,‎ 利用余弦定理:,‎ 在中,‎ 利用余弦定理:‎ 得:,‎ 解得:‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理及三角形面积公式,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.‎ ‎17.在同一个平面内,向量的模分别为与的夹角为,且与的夹角为,若,则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为轴,建立直角坐标系,则,由的模为与与的夹角为,且知, ,可得 ,,由可得 ,,故答案为.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系,属于难题.向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何问题解答,这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便.‎ 三、解答题 ‎18.已知为单位向量,. ‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求与的夹角的余弦值;‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)利用向量的模的公式求;(2)利用向量的夹角公式求与的夹角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 由题得;‎ 由题得与的夹角的余弦值为 故答案为:(1);(2).‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的模和数量积的计算,考查向量夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19.如图,在圆内接中,角所对的边分别为,满足.‎ ‎(1)求的大小;‎ ‎(2)若点是劣弧上一点,,求线段长.‎ ‎【答案】(1);(2)1.‎ ‎【解析】(1)利用正弦定理化简即得B的值;(2)先利用余弦定理求出AC的长,再利用三角公式求出,再利用正弦定理求出AD的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1),‎ ‎,‎ 因为 ‎,因为,‎ ‎.‎ ‎(2)在中,由余弦定理可得,‎ 由可得,‎ ‎,‎ 在中,由正弦定理可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角恒等变换,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知公差不为零的等差数列的前9项和,且成等比数列.‎ ‎(1)若数列满足,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)根据已知条件求出,再利用累加法求数列 的通项公式;(2)利用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 由得,,化简得.‎ 由成等比数列,得,‎ 化简得,‎ 因为 ,所以 ,‎ 所以 , ‎ 因此数列的通项公式 ,‎ ‎,‎ ‎,‎ 的通项公式为;‎ ‎(2)由题意,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列通项的求法,考查累加法求数列的通项,考查错位相减法求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.在中,角,,所对的边为,,,.‎ ‎(1)若,,求的面积;‎ ‎(2)若,求的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】分析:(1)利用余弦定理求出,进而得到,再利用求值即可;(2)由可得,转求二次函数的最值即可.‎ 详解:(1)∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵.‎ 又,∴.‎ ‎∴ ‎ ‎ .‎ ‎∴(当且仅当时取等号).‎ 所以面积的最大值为 点睛:点睛:解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化变;求三角形面积的最大值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值.‎ ‎22.已知数列的各项均不为零,其前项和为,设,数列的前项和为.‎ ‎(1)比较与的大小;‎ ‎(2)证明:.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】(1)先求出,再求出,再证明;(2)利用放缩法证明 ‎【详解】‎ ‎(1)由得:,‎ 两式相减得:,‎ ‎, ‎ 又,∴, ‎ ‎∴‎ ‎,‎ 即:; ‎ ‎(2)由(1)知:,,‎ 因此当时,,‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查项和公式求数列的通项,考查不等式的放缩和数列求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎
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