北京市首都师范大学附属中学2019届高三下学期三模数学（理科）试题

北京市首都师范大学附属中学2019届高三下学期三模数学（理科）试题

首师大附中高三三模理科试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，那么( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ ‎【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，‎ B＝{x|x2≤5}＝{x|}，‎ ‎∴A∩B＝{﹣2，0，2}．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.若复数满足，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：．故应选C．‎ 考点：1、复数的概念；2、复数的运算.‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（　　）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】解：模拟程序的运行，可得： ‎ m=1 ‎ 满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3 ‎ 满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7 ‎ 满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15 ‎ 满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31 ‎ 满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63 ‎ 满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127 ‎ 此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束． ‎ 可得输出数据的总个数为6．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，‎ ‎ 由，解得，同理可得，‎ ‎ 设目标函数，则，‎ ‎ 当直线过点时取得最小值，最小值，‎ ‎ 所以恒成立，故选C．‎ ‎5.为非零向量，“”为“共线”的（）‎ A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.‎ ‎【详解】分别表示与同方向的单位向量，‎ ‎，则有共线，‎ 而共线，则是相等向量或相反向量，‎ ‎“”为“共线”的充分不必要条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.‎ ‎6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（　　）‎ A. 12种 B. 15种 C. 17种 D. 19种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.‎ 考点：排列组合，分类分步记数原理.‎ ‎7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.‎ ‎【详解】,‎ 令，‎ 函数在区间内没有零点，‎ 解得，‎ ‎，‎ 的最大值是.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.‎ ‎【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，‎ 所以在正方体中，‎ 平面与线所成的角是相等的，‎ 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，‎ 同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，‎ 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，‎ 且过棱的中点的正六边形，且边长为，‎ 所以其面积为，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.‎ ‎【详解】设双曲线的焦距为，‎ 双曲线得，‎ 渐近线方程的斜率为，‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，‎ x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.‎ ‎【详解】消去参数化为，‎ 化为，‎ 即，圆心，‎ 圆心到直线的距离为. 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题 ‎11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，‎ 高为，所以体积为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.‎ ‎12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.‎ ‎【答案】 (1). (2). .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，，‎ ‎，‎ 或（舍去），‎ ‎，，‎ 当，‎ 数列的前n项和的最小值是.‎ 故答案为:；-6.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.‎ ‎13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.‎ ‎【答案】1,1（答案不唯一）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.‎ ‎【详解】“”为假命题,‎ 其命题否定“”为真命题，‎ ‎，‎ 命题的否定为真的充分条件为，‎ 取.‎ 故答案为：1,1（答案不唯一）‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.‎ ‎14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）‎ ‎①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；‎ ‎②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.‎ ‎【详解】①设,则，‎ 由于,,‎ 所以,,即最大；‎ ‎②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是 ‎【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）设a=2，c=3，求b和的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，‎ 又由，得，‎ 即，可得．‎ 又因为，可得B=．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，‎ 有，故b=．‎ 由，可得．因为a

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