陕西省西安中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

陕西省西安中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

西安中学高2020届高三期中考试 数学(文科)试题 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.）‎ ‎1．已知集合，，则集合（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．下列四个结论：‎ ‎①若是真命题，则可能是真命题；‎ ‎②命题“”的否定是“”；‎ ‎③“且”是“”的充要条件；‎ ‎④当时，幂函数在区间上单调递减.‎ 其中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知是等差数列，是正项等比数列，且，，，‎ ‎，则（ ）‎ A．2027 B．‎2028 ‎C．2275 D．2531‎ ‎6．已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A．的最大值为1 B．的最小正周期为 C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称 ‎8．如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．在直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为（ ）‎ A．30° B．60° C． 90° D． 120°‎ ‎10．已知函数对定义域内任意都满足 ，且在上单调递减，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数（）的图像不可能是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将正确答案填写在答题纸相应位置.）‎ ‎13．函数的图象在处的切线斜率为_________．‎ ‎14．已知向量，，，，则与夹角的余弦值为__________．‎ ‎15．将函数= (其中)的图象向右平移个长度单位，所得图象经过点（，0），则的最小正值是_________．‎ ‎16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为4 ，则球的表面积为____________．‎ 三、解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.)‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）设数列的前项和为，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎18．（12分）在平面四边形中，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求和四边形的面积；‎ ‎（Ⅱ）若E是BD的中点，求CE.‎ ‎19．（12分）从2013年落实精准扶贫政策以来，我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例．2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：‎ 年份（t）‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 贫困发生率y（%）‎ ‎10.2‎ ‎8.5‎ ‎7.2‎ ‎5.7‎ ‎4.5‎ ‎3.1‎ ‎1.4‎ ‎（Ⅰ）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；‎ ‎（Ⅱ）设年份代码x＝t﹣2015，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y关于年份代码x的变化情况，并预测2019年贫困发生率．‎ 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：‎ ‎， ‎ ‎20.（12分）已知椭圆经过点，左焦点 ‎，直线l：y＝2x+m与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若△OAB面积为1，求直线的方程．‎ ‎21．（12分）设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的极小值；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若关于的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围.‎ （二） 选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.‎ ‎22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线交曲线于，两点，求的值.‎ ‎23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ 西安中学高2020届高三第二次月考 ‎ 数学(文科)试题答案 一. 选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D C C B D C B D A B 二.填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三.解答题（本大题包括6小题，共70分.）‎ ‎17. 解：（1）因为，所以（，且），‎ 则（，且）.‎ 即（，且）.‎ 因为，所以，即.‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列.‎ 故. …………… ………………………………6分 ‎（2），所以.‎ 所以，‎ 故 . ………………12分 ‎18. 解：（1）由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C，①‎ BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C，②‎ 由①②得cos C= ，故∠C=60°. ‎ 四边形ABCD的面积：S=AB·DA·sin A+BC·CD·sin C ‎=×1×2 ×sin 120°+×3×2×sin 60°=. …………6分 （2） 由得==，‎ 所以. ……………………………………………12分 ‎19．解：（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为a、b、c、d，均大于5%，  设2016至2018年贫困发生率分别为E、F、G，均小于5%，  从2012至2018年贫困发生率的7个数据中任选2个，可能的基本事件为：  ab、ac、ad、aE、aF、aG、bc、bd、bE、bF、bG、cd、cE、cF、cG、dE、dF、dG、EF、EG、FG共21个，  其中2个都低于5%的基本事件为EF、EG、FG，  ∴所求概率P； …………………………………………………4分 ‎（2）由x＝t﹣2015，得7组对应数据为：‎ ‎（﹣3，10.2），（﹣2，8.5），（﹣1，7.2），‎ ‎（0，5.7），（1，4.5），（2，3.1），（3，1.4）．‎ ‎，5.8，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎∴线性回归方程为．‎ ‎∴2012年至2018年贫困发生率在逐年下降，平均每年下降1.425%．‎ 当x＝4时，．‎ ‎∴预测2019年底我国贫困发生率为0.1%． ……………………………12分 20． 解：（1）依题意可得解得，右焦点 ，0），‎ ‎，‎ 所以a＝2，则b2＝a2﹣c2＝1，‎ 所以椭圆C的标准方程为． ………………………………4分 ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得17x2+16mx+‎4m2‎﹣4＝0，‎ 则△＝（‎16m）2﹣4×17×4（m2﹣1）＝﹣‎16m2‎+16×17‎ 由△＞0得m2＜17，则，‎ 所以 因为O到AB的距离，‎ 所以 得，直线l的方程为． …………………………12分 21. 解：（1）依题意知的定义域为，‎ ‎∵，∴，‎ ‎，‎ 则单调递增，‎ ‎，单调递减．‎ ‎∴所以当时函数取得极小值，且极小值为．………5分 ‎（2）由得，，‎ ‎，所以，‎ 要使方程在区间上有唯一实数解，‎ 只需．‎ 令，则,‎ 由，得；由，得 ‎∴ 在区间上是单调递增，在区间上是单调递减.‎ ‎∴当时函数有最大值，且最大值为，‎ 又，‎ ‎∴ 当或时，方程，‎ ‎∴实数的取值范围为． ……………12分 21. 解（1）的普通方程为，‎ 化为极坐标方程为.‎ 由于直线过原点且倾斜角为，故其化为极坐标方程为. ……5分 ‎（2）由 知，‎ 设两点对应的极径分别为，则，，‎ 则 ‎ . ……………………………10分 ‎23. 解：（1）不等式化为, ‎ 则，或，或，‎ 解得,所以不等式的解集为. …………5分 ‎（2）不等式等价于， ‎ 即，由基本不等式知，‎ 若存在实数，使得不等式成立，则， ‎ 解得，所以实数的取值范围是. ……………………10分