数学理·湖北省部分重点中学2017届高三上学期月考数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·湖北省部分重点中学2017届高三上学期月考数学试卷（理科）+Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年湖北省部分重点中学高三（上）月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）‎ ‎2．已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．3 B．3 C．2 D．2‎ ‎3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n ‎4．己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．（﹣∞，]‎ ‎5．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有（　　）种．‎ A．12 B．24 C．36 D．48‎ ‎6．若a=ln2，b=，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a ‎7．己知等比数列{an}满足a1=2，a1+a3+a5=14，则++=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在（x﹣）5的展开式中x3的系数等于﹣5，则该展开式项的系数中最大值为（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎9．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．40 D．80‎ ‎10．如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A、B，若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为（　　）‎ A．8 B．8 C．8 D．16‎ ‎11．若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B． C．（0，2） D．‎ ‎12．设定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有三个不同的解x1，x2，x3，则的值是（　　）‎ A．1 B．3 C．5 D．10‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 ‎13．已知向量，的夹角为，且丨丨=，丨丨=2，则丨﹣丨=　　．‎ ‎14．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是　　．‎ ‎15．已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为　　．‎ ‎16．已知 f（x）=（x＞0），f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N*，则 fs（x）在[，1]上的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，．‎ ‎（1）若△ABC的面积为，求a，b；‎ ‎（2）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，求a，b．‎ ‎18．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎（Ⅰ）求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．‎ ‎（1）求证：AB⊥BC；‎ ‎（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．‎ ‎20．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．‎ ‎21．已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R）‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；‎ ‎（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2＞2．‎ ‎　‎ ‎[选修：几何证明选做题]‎ ‎22．如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．‎ ‎（1）证明：PA=PD；‎ ‎（2）求证：PA•AC=AD•OC．‎ ‎　‎ ‎[选修：极坐标与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ﹣2cosθ．‎ ‎（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：‎ ‎（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|，其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜1；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省部分重点中学高三（上）月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，‎ B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，‎ 则A∩B={x丨1≤y＜3}，‎ 故选：C ‎　‎ ‎2．已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．3 B．3 C．2 D．2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】根据复数的运算法则和复数的模计算即可．‎ ‎【解答】解：z=﹣2i=﹣2i=3﹣i﹣2i=3﹣3i，‎ 则|z|=3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n ‎【考点】平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；‎ B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；‎ C、α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；‎ D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．‎ 故选 D．‎ ‎　‎ ‎4．己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．（﹣∞，]‎ ‎【考点】全称命题．‎ ‎【分析】利用参数分离法和函数的单调性，求出命题P为真命题时的等价条件，由全称命题与其否定真假之间的关系，求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若“∀x∈（2，3），x2+5＞ax恒成立，则a＜（x+）min，x∈（2，3）．‎ ‎∵f（x）=x+在（2，）上是减函数，（，3）上为增函数，‎ ‎∴函数f（x）的最小值是f（）=2，‎ 则a＜2，‎ ‎∵命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，‎ ‎∴a≥2，实数a的取值范围是[2，+∞），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有（　　）种．‎ A．12 B．24 C．36 D．48‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．‎ ‎【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A44种方法，‎ 而A、B可交换位置，所以有2A44=48种摆法，‎ 又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2A33=12种摆法，‎ 故满足条件的摆法有48﹣12=36种．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．若a=ln2，b=，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a ‎【考点】定积分；不等关系与不等式．‎ ‎【分析】利用定积分求解c，判断a，b与c的大小即可．‎ ‎【解答】解：，，，所以a＞c＞b，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．己知等比数列{an}满足a1=2，a1+a3+a5=14，则++=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质求出q2的值，从而求出++的值即可．‎ ‎【解答】解：∵a1=2，a1+a3+a5=14，‎ ‎∴q4+q2+1=7，q2=2，‎ ‎∴++=（1++）=•=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．在（x﹣）5的展开式中x3的系数等于﹣5，则该展开式项的系数中最大值为（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】在（x﹣）5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，可得x3的系数．再根据x3的系数等于﹣5，求得r的值，可得该展开式项的系数中最大值．‎ ‎【解答】解：由于（x﹣）5的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣a）r•x5﹣2r，‎ 令5﹣2r=3，求得r=1，故x3的系数等于=﹣5，a=1．‎ 则该展开式项的系数中最大值为=10，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．40 D．80‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，结合直观图判断棱锥的高及底面相关线段的长，把数据代入棱锥的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，如图：‎ 其中SA⊥平面ABCD，SA=4，底面ABCD为直角梯形，且AD=4，BC=1，AB=4，‎ ‎∴几何体的体积V=××4×4=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A、B，若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为（　　）‎ A．8 B．8 C．8 D．16‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，可得a=2，即可求出△BF1F2的面积 ‎【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，‎ ‎∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|‎ ‎∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a 又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，‎ ‎∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，‎ ‎∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°‎ ‎∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°‎ 即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，‎ ‎∴a2+24=7a2，∴a=2，‎ ‎∴△BF1F2的面积为﹣=﹣=8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B． C．（0，2） D．‎ ‎【考点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【分析】由函数是单调减函数，则有a﹣2＜0，且注意2（a﹣2）≤．‎ ‎【解答】解：∵函数是R上的单调减函数，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B ‎　‎ ‎12．设定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有三个不同的解x1，x2，x3，则的值是（　　）‎ A．1 B．3 C．5 D．10‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】做出f（x）的函数图象，判断f（x）=t的解的情况，根据f2（x）+bf（x）+c=0的解得个数判断f（x）的范围，得出x1，x2，x3．‎ ‎【解答】解：令f（x）=t，做出f（x）的函数图象如下：‎ 由图象可知当t=1时，f（x）=t有三解，‎ 当0＜t＜1或t＞1时，f（x）=t有两解，‎ 当t≤0时，方程f（x）=t无解．‎ ‎∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有三个不同的解x1，x2，x3，‎ ‎∴f（x）=1，‎ 当x＜1时，令=1解得x=0，‎ 当x＞1时，令解得x=2，‎ 当x=1时，显然x=1是f（x）=1的解．‎ 不妨设x1＜x2＜x3，则x1=0，x2=1，x3=2，‎ ‎∴=5．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 ‎13．已知向量，的夹角为，且丨丨=，丨丨=2，则丨﹣丨=　1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．‎ ‎【分析】利用数量积的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵向量，的夹角为，且丨丨=，丨丨=2，‎ ‎∴===3．‎ ‎∴===1，‎ 故答案为1．‎ ‎　‎ ‎14．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是　20　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，‎ ‎∴，‎ 解得a1=﹣4，d=3，‎ ‎∴a9=﹣4+8×3=20．‎ 故答案为：20．‎ ‎　‎ ‎15．已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为　13π　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，‎ 正六棱柱的体积V==≤=，‎ 当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，‎ 可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，‎ ‎∴外接球的表面积为=13π．‎ 故答案为：13π．‎ ‎　‎ ‎16．已知 f（x）=（x＞0），f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N*，则 fs（x）在[，1]上的最小值是　　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】易知f（x）=在[，1]上是增函数，且f（x）＞0；从而依次代入化简即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=在[，1]上是增函数，且f（x）＞0；‎ f1（x）=f（x）=，在[，1]上递增，‎ 故f1（x）min=，‎ f2（x）min=f（f1（x）min）=f（）=，‎ f3（x）min=f（f2（x）min）=f（）=，‎ f4（x）min=f（f3（x）min）=f（）=，‎ f5（x）min=f（f4（x）min）=f（）=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，．‎ ‎（1）若△ABC的面积为，求a，b；‎ ‎（2）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，求a，b．‎ ‎【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】（1）由余弦定理可得：4=a2+b2﹣ab，①，由△ABC的面积公式可得： =absinC，解得：ab=4，②，②代入①可解得：a+b=4，③，由②③可解得b，a的值．‎ ‎（2）利用两角和与差的正弦函数化简已知等式可得cosA（sinB﹣sinA）=0，可得：cosA=0或sinB=sinA，当cosA=0时，结合0＜A＜π，可得A为直角，结合已知即可求得a，b的值，当sinB=sinA时，由正弦定理可得a=b，由余弦定理即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）∵c=2，．‎ ‎∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣ab，①‎ ‎∵△ABC的面积为=absinC=ab，解得：ab=4，②‎ ‎∴②代入①可得：a2+b2=8，从而（a+b）2=a2+b2+2ab=16，解得：a+b=4，③‎ ‎∴由②③可解得：b=2，a=2．‎ ‎（2）∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，sinC=sin（A+B）‎ ‎∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcosA，整理可得：cosA（sinB﹣sinA）=0，‎ ‎∴可得：cosA=0或sinB=sinA，‎ ‎∴当cosA=0时，由0＜A＜π，可得A=，又c=2，，可得：b=，a=，‎ 当sinB=sinA时，由正弦定理可得：a=b，又c=2，，由余弦定理可得：4=2a2﹣a2，解得：a=b=2．‎ ‎　‎ ‎18．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎（Ⅰ）求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．‎ ‎（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．‎ ‎（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，‎ P（X=16）=（）2=，‎ P（X=17）=，‎ P（X=18）=（）2+2（）2=，‎ P（X=19）==，‎ P（X=20）==，‎ P（X=21）==，‎ P（X=22）=，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 16‎ ‎ 17‎ ‎ 18‎ ‎ 19‎ ‎ 20‎ ‎ 21‎ ‎ 22‎ ‎ P ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）‎ ‎==．‎ P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）‎ ‎=+=．‎ ‎∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）‎ ‎=+=．‎ 买19个所需费用期望：‎ EX1=200×+×+×+×=4040，‎ 买20个所需费用期望：‎ EX2=+×+×=4080，‎ ‎∵EX1＜EX2，‎ ‎∴买19个更合适．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．‎ ‎（1）求证：AB⊥BC；‎ ‎（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．‎ ‎（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ ‎（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…‎ 因AA1=AB，则AD⊥A1B…‎ 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，‎ 且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…‎ 得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，‎ 所以AD⊥BC．…‎ 因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ 则AA1⊥底面ABC，‎ 所以AA1⊥BC．‎ 又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，‎ 又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…‎ ‎（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，‎ 则CD是AC在平面A1BC内的射影 ‎∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…‎ 在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点 ‎∴，且，‎ ‎∴…‎ 过点A作AE⊥A1C于点E，连DE 由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A ‎∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…‎ 且直角△A1AC中：‎ 又，‎ ‎∴，‎ 且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角 ‎∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…‎ ‎　‎ ‎20．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的应用；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，由此能够推导出椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，由题意知恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．‎ ‎（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：x=my+1，代入，‎ 由题设条件能够推导出=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2＜0恒成立．由此入手能够推导出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，‎ 因为△MNF为正三角形，所以，‎ 即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，‎ ‎|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），‎ 因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．‎ ‎（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，‎ 设直线AB的方程为：，‎ 整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，‎ 所以 因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．‎ 即恒成立．‎ x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1‎ ‎=‎ ‎=．‎ 又a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，‎ 即a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2对m∈R恒成立．‎ 当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2﹣a2b2+b2＜0．‎ a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4，‎ 因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2﹣a﹣1＞0，‎ 解得a＞或a＜（舍去），即a＞，‎ 综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R）‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；‎ ‎（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2＞2．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先求导求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值．‎ ‎（2）先利用对称性求出g（x）的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得．‎ ‎（3）通过题意分析先讨论，可设x1＜1，x2＞1，利用第二问的结论可得f（x2）＞g（x2），根据对称性将g（x2）换成f（2﹣x2），再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：f′（x）=（1﹣x）e﹣x 令f′（x）=0，解得x=1‎ 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表 x ‎（﹣∞，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎ f（x）‎ ‎ 极大值 所以f（x）在（﹣∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．‎ 函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=．‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2﹣x），得g（x）=（2﹣x）ex﹣2‎ 令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x+（x﹣2）ex﹣2‎ 于是F'（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x 当x＞1时，2x﹣2＞0，从而e2x﹣2﹣1＞0，又e﹣x＞0，所以f′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数．‎ 又F（1）=e﹣1﹣e﹣1=0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）．‎ ‎（Ⅲ）证明：（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1．与x1≠x2矛盾．‎ ‎（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．与x1≠x2矛盾．‎ 根据（1）（2）得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1．‎ 由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2），‎ 则g（x2）=f（2﹣x2），‎ 所以f（x2）＞f（2﹣x2），‎ 从而f（x1）＞f（2﹣x2）．‎ 因为x2＞1，所以2﹣x2＜1，‎ 又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（﹣∞，1）内是增函数，‎ 所以x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．‎ ‎　‎ ‎[选修：几何证明选做题]‎ ‎22．如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．‎ ‎（1）证明：PA=PD；‎ ‎（2）求证：PA•AC=AD•OC．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）连结OA，由已知条件推导出∠PAD=∠PDA，即可证明PA=PD．‎ ‎（2）连结OA，由已知条件推导出△PAD∽△OCA，由此能证明PA•AC=AD•OC．‎ ‎【解答】（1）证明：连结AC，‎ ‎∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，‎ ‎∴∠C+∠B=90°，∠ODB+∠B=90°，‎ ‎∴∠C=∠ODB，‎ ‎∵直线PA为圆O的切线，切点为A，‎ ‎∴∠C=∠BAP，‎ ‎∵∠ADP=∠ODB，∴∠BAP=∠ADP，‎ ‎∴PA=PD．‎ ‎（2）连结OA，由（1）得∠PAD=∠PDA=∠ACO，‎ ‎∵∠OAC=∠ACO，∴△PAD∽△OCA，‎ ‎∴，∴PA•AC=AD•OC．‎ ‎　‎ ‎[选修：极坐标与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ﹣2cosθ．‎ ‎（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：‎ ‎（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中，即可得出直线l的直角坐标方程．由ρ=2cosθ+4sinθ，得ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ，把代入即可得出曲线C的直角坐标方程．‎ ‎（2）分别求出P、A、B的坐标，根据两点之间的距离公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中得：y=x+3，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x﹣y+3=0．‎ 由ρ=4sinθ﹣2cosθ，得ρ2=4ρsinθ﹣2ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2=4y﹣2x，即x2+y2+2x﹣4y=0，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣4y=0；‎ ‎（2）由l：y=x+3，得P（0，3），‎ 由，‎ 解得或，‎ ‎∴|PA||PB|=•=3．‎ ‎　‎ ‎[选修：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|，其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜1；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，解出各个阶段上的x的范围，取并集即可；‎ ‎（Ⅱ）求出f（x）的最大值，问题等价于|a+3|≤2a，解出即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）＜1就是|x﹣3|﹣|x+2|＜1．‎ 当x＜﹣2时，3﹣x+x+2＜1，得5＜1，不成立；‎ 当﹣2≤x＜3时，3﹣x﹣x﹣2＜1，得x＞0，所以0＜x＜3；‎ 当x≥3时，x﹣3﹣x﹣2＜1，即﹣5＜1，恒成立，所以x≥3．‎ 综上可知，不等式f（x）＜1的解集是（0，+∞）．…‎ ‎（Ⅱ） 因为f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|≤|（x﹣3）﹣（x+a）|=|a+3|，‎ 所以f（x）的最大值为|a+3|．‎ 对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立等价于|a+3|≤2a．‎ 当a≥﹣3时，a+3≤2a，得a≥3；‎ 当a＜﹣3时，﹣a﹣3≤2a，a≥﹣1，不成立．‎ 综上，所求a的取值范围是[3，+∞）…‎ ‎　‎ ‎2016年10月20日