高中数学选修2-2课件2_1_1

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第二章　推理与证明 2.1 　合情推理与演绎推理 2.1.1 　合情推理 问题 引航 1. 归纳推理的含义是什么 ? 有怎样的特征 ? 2. 类比推理的含义是什么 ? 有怎样的特征 ? 3. 合情推理的含义是什么 ? 1. 归纳推理和类比推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的 _________ 具 有某些特征 , 推出该类事物 的 _________ 都具有这些特 征的推理 , 或者由 _________ 概括出一般结论的推理 , 称 为归纳推理 ( 简称 _____) 由两类对象具有 _________ _____ 和其中一类对象的 _____________, 推出另一 类对象也具有 _________ 的 推理称为类比推理 ( 简称 _____) 特征 归纳推理是由 _____ 到 _____ 、 由 _____ 到 _____ 的推理 类比推理是由 _____ 到 _____ 的推理 部分对象 全部对象 个别事实 归纳 某些类似 特征 某些已知特征 这些特征 类比 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 2. 合情推理 含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 , 经过 _____ 、 _____ 、比较、 _____, 再进行 _____ 、 _____, 然后提出 _____ 的推理 . 我们把它们统称为合情推理 . 通俗地说 , 合情推理是指“合乎情理”的推理 过程 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 → 提出 _____ → 观察 分析 联想 归纳 类比 猜想 猜想 1. 判一判 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 统计学中 , 从总体中抽取样本 , 然后用样本估计总体 , 这种估计属于类比推理 . 　 ( 　　 ) (2) 类比推理得到的结论可以作为定理应用 . 　 ( 　　 ) (3) 归纳推理是由个别到一般的推理 . 　 ( 　　 ) 【 解析 】 (1) 错误 . 它符合归纳推理的定义特征 , 应该为归纳推理 . (2) 错误 . 类比推理不一定正确 . (3) 正确 . 由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理 . 答案 : (1)× 　 (2)× 　 (3)√ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 已知数列 {a n } 中 ,a 1 =1,a n+1 = (n∈N * ), 则可归纳猜想 {a n } 的通项公式为 　　　　 . (2) 数列 5,9,17,33,x, … 中的 x 等于 　　　　 . (3) 等差数列 {a n } 中有 2a n =a n-1 +a n+1 (n≥2 且 n∈N * ), 类比以上结论 , 在等比数列 {b n } 中类似的结论是 　　　　 . 【 解析 】 2.(1) 由条件可知 答案 : (2)5=2 2 +1,9=2 3 +1,17=2 4 +1,33=2 5 +1, 猜想 x=2 6 +1=65. 答案 : 65 (3) 类比等差数列 , 可以类比出结论 =b n-1 · b n+1 (n≥2 且 n∈N * ). 答案 : =b n-1 · b n+1 (n≥2 且 n∈N * ) 【 要点探究 】 知识点 1 归纳推理 归纳推理的四个特点 (1) 前提 : 几个已知的特殊现象 , 归纳所得的结论是尚属未知的一般现象 , 该结论超越了前提所包括的范围 . (2) 结论 : 具有猜测的性质 , 结论是否真实 , 还需经过逻辑证明和实践检验 , 因此 , 归纳推理不能作为数学证明的工具 . (3) 步骤 : 先搜集一定的事实资料 , 有了个别性的、特殊性的事实作为前提 , 然后才能进行归纳推理 , 因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行 . (4) 作用 : 具有创造性的推理 , 通过归纳推理能够发现新事实 , 获得新结论 , 是科学发现的重要手段 . 【 微思考 】 你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗 ? 提示 : 其思维过程为 : 实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 . 【 即时练 】 1.(2014 · 太原高二检测 ) 用火柴棒摆 “ 金鱼 ” , 如图所示 : 按照上面的规律 , 第 n 个 “ 金鱼 ” 图需要火柴棒的根数为 ( 　　 ) A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2 2. 根据归纳推理 , 数列 … , 括号中应该填 　　　　 . 【解析】 1. 选 C. 由图形的变化规律可以看出 , 后一个图形比 前一个图形多 6 根火柴棒 , 第一个图形为 8 根 , 可以写成 a 1 =8=6+2. 又 a 2 =14=6×2+2,a 3 =20=6×3+2, … , 所以 可以猜测 , 第 n 个 “ 金鱼 ” 图需要火柴棒的根数为 6n+2. 2. 因为 2=3×1-1,5=3×2-1,8=3×3-1,14=3×5-1,17= 3×6-1, … , 由此归纳 a n =3n-1, 故 a 4 =3×4-1=11, 所以应填 . 答案 : 知识点 2 类比推理 类比推理的三个特点 (1) 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征 , 推测正在被研究的事物的特征 , 所以类比推理的结果具有猜测性 , 不一定可靠 . (2) 类比在数学发现中具有重要作用 . 例如 , 通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比 , 发现可以研究的问题及其研究方法 . (3) 由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征 , 所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征 . 【知识拓展】 类比推理的基本逻辑形式及适用前提 (1) 类比推理的基本逻辑形式 A 类事物具有性质 a,b,c,d B 类事物具有性质 a′,b′,c′ 所以 B 类事物可能具有性质 d′.(a,b,c,d 与 a′,b′,c′,d′ 相似或相同 ) (2) 类比推理的适用前提 ①两类对象在某些性质上有相似性或一致性 , 关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来 , 再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性 . ② 运用类比推理常常先寻找合适的类比对象 . 【 微思考 】 类比推理和归纳推理有何本质的不同 ? 提示 : 类比推理是由特殊到特殊的推理 , 而归纳推理是由部分到整体 , 由个别到一般的推理 . 【 即时练 】 类比平面内正三角形的 “ 三边相等 , 三内角相等 ” 的性质 , 可推知正四面体的性质 , 下列性质中 , 你认为可类比得到的是 　　　　 . ① 各棱长相等 , 同一顶点上的任两条棱的夹角相等 ; ② 各个面都是全等的正三角形 , 相邻两个面所成的二面角都相等 ; ③ 各个面都是全等的正三角形 , 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 . 【 解析 】 由正三角形与正四面体的相似性可知①②③都可以类比得到 . 答案 : ①②③ 【 题型示范 】 类型一 归纳推理 【典例 1】 (1)(2013 · 陕西高考 ) 观察下列等式 : (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=2 2 ×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=2 3 ×1×3×5 … 照此规律 , 第 n 个等式可为 　　　　　　　　　　 . (2) 根据下图中线段的排列规则 , 试猜想第 8 个图形中线段的条数为 　　　　 . (3) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a 1 =- , 且 S n + +2=a n (n≥2), 计算 S 1 ,S 2 ,S 3 ,S 4 并猜想 S n 的表达式 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中第 n 个等式等号左侧共多少项相乘 ? 等号右边的数有何特点 ? 2. 题 (2) 中相邻的两个图形之间有何联系 ? 3. 题 (3) 中 n≥2 时 a n 与 S n 及 S n-1 的关系是什么 ? 怎样求 S n 的值 . 【 探究提示 】 1. 题 (1) 左侧共有 n 项相乘 , 等号右边分为两部分 : 一部分为 2 n , 另一部分为 1,3,5, … 的乘积 . 2. 题 (2) 中第 n+1 个图形比第 n 个图形多 2 n+1 条线段 . 3. 题 (3) 中 n≥2 时 a n =S n -S n-1 , 利用 a n =S n -S n-1 来化简递推关系 , 然后求解 . 【 自主解答 】 (1) 观察规律可知 , 左边为 n 项的乘积 , 最小项和 最大项依次为 (n+1),(n+n), 右边为连续奇数之积乘以 2 n , 则 第 n 个等式为 :(n+1) · (n+2) · (n+3) ·…· (n+n)=2 n ×1×3× 5× … ×(2n-1). 答案 : (n+1) · (n+2) · (n+3) ·…· (n+n)=2 n ×1×3×5× … ×(2n-1) (2) 分别求出前 4 个图形中线段的数目 , 发现规律 , 得出猜想 , 图形①到④中线段的条数分别为 1,5,13,29, 因为 1=2 2 -3,5=2 3 -3,13=2 4 -3,29=2 5 -3, 因此可猜想第 8 个图形中线段的条数应为 2 8+1 -3=509. 答案 : 509 (3) 因为 S n + +2=a n (n≥2), 所以 S n + +2=S n -S n-1 (n≥2), 所以 =-2-S n-1 (n≥2). 当 n=1 时 ,S 1 =a 1 =- ; 当 n=2 时 , =-2-a 1 =- ， 所以 S 2 =- ; 当 n=3 时 , 所以 S 3 = 当 n=4 时 , =-2-S 3 = 所以 S 4 = 由此猜想 S n = 【方法技巧】 1. 由已知数式进行归纳推理的方法 (1) 要特别注意所给几个等式 ( 或不等式 ) 中项数和次数等方面的变化规律 . (2) 要特别注意所给几个等式 ( 或不等式 ) 中结构形式的特征 . (3) 提炼出等式 ( 或不等式 ) 的综合特点 . (4) 运用归纳推理得出一般结论 . 2. 归纳推理在图形中的应用策略 通过一组平面或空间图形的变化规律 , 研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理 . 解答该类问题的一般策略是： 【变式训练】 1.(2014· 陕西高考 ) 观察分析下表中的数据： 猜想一般凸多面体中， F ， V ， E 所满足的等式是 _____. 多面体 面数 (F) 顶点数 (V) 棱数 (E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 2. 根据如图的 5 个图形及相应的圆圈个数的变化规律 , 试猜测第 n 个图形有多少个圆圈 . 【解析】 1. 因为 5+6-9=2 ， 6+6-10=2 ， 6+8-12=2 ， 所以 V+F-E=2. 答案： V+F-E=2 2. 方法一 : 图 (1) 中的圆圈数为 1 2 -0, 图 (2) 中的圆圈数为 2 2 -1, 图 (3) 中的圆圈数为 3 2 -2, 图 (4) 中的圆圈数为 4 2 -3, 图 (5) 中的圆圈数为 5 2 -4, … , 故猜测第 n 个图形中的圆圈数为 n 2 -(n-1)=n 2 -n+1. 方法二 : 第 2 个图形 , 中间有一个圆圈 , 另外的圆圈指向两个方向 , 共有 2×(2-1)+1 个圆圈 ; 第 3 个图形 , 中间有一个圆圈 , 另外的圆圈指向三个方向 , 每个方向有两个圆圈 , 共有 3×(3-1)+1 个圆圈 ; 第 4 个图形 , 中间有一个圆圈 , 另外的圆圈指向四个方向 , 每个方向有三个圆圈 , 共有 4×(4-1)+1 个圆圈 ; 第 5 个图形 , 中间有一个圆圈 , 另外的圆圈指向五个方向 , 每个方向有四个圆圈 , 共有 5×(5-1)+1 个圆圈 ; …… 由上述的变化规律 , 可猜测第 n 个图形中间有一个圆圈 , 另外的圆圈指向 n 个方向 , 每个方向有 (n-1) 个圆圈 , 因此共有 n(n-1)+1=(n 2 -n+1) 个圆圈 . 【补偿训练】 已知数列 {a n } 满足 a 1 =1,a n+1 =2a n +1(n=1,2,3, … ). (1) 求 a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 . (2) 归纳猜想通项公式 a n . 【 解析 】 (1) 当 n=1 时 , 知 a 1 =1, 由 a n+1 =2a n +1 得 a 2 =3,a 3 =7,a 4 =15,a 5 =31. (2) 由 a 1 =1=2 1 -1,a 2 =3=2 2 -1,a 3 =7=2 3 -1,a 4 =15=2 4 -1,a 5 =31=2 5 -1. 可以归纳猜想出 a n =2 n -1(n∈N * ). 类型二 类比推理 【典例 2】 (1) 在公比为 4 的等比数列 {b n } 中 , 若 T n 是数列 {b n } 的前 n 项积 , 则有 , , 也成等比数列 , 且公比为 4 100 ; 类比上述结论 , 相应地 , 在公差为 3 的等差数列 {a n } 中 , 若 S n 是 {a n } 的前 n 项和 . 可类比得到的结论是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 . (2) 在 Rt△ABC 中 ,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D, 求证 : 那么在四面体 ABCD 中 , 类比上述结论 , 你能得到怎样的猜想 , 并说明理由 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中等比数列的商在等差数列中类比什 么 ? 2. 题 (2) 中 中的三条线段有什么特点 ? 【 探究提示 】 1. 类比等差数列中的差 . 2.AD,AB,AC 这三条线段都出自同一顶点 A, 且 AD 为三角形的高 .AB,AC 为共顶点的两直角边 . 【 自主解答 】 (1) 因为等差数列 {a n } 的公差 d=3, 所以 (S 30 -S 20 )-(S 20 -S 10 ) =(a 21 +a 22 + … +a 30 )-(a 11 +a 12 + … +a 20 ) = =100d=300, 同理可得 :(S 40 -S 30 )-(S 30 -S 20 )=300, 所以数列 S 20 -S 10 ,S 30 -S 20 ,S 40 -S 30 是等差数列 , 且公差为 300. 即结论为 : 数列 S 20 -S 10 ,S 30 -S 20 ,S 40 -S 30 也是等差数列 , 且公差为 300. 答案 : 数列 S 20 -S 10 ,S 30 -S 20 ,S 40 -S 30 也是等差数列 , 且公差为 300 (2) 如图①所示，由射影定理得 AD 2 =BD · DC ， AB 2 =BD · BC,AC 2 =CD · BC ， 所以 又 BC 2 =AB 2 +AC 2 ， 所以 类比猜想： 四面体 ABCD 中， AB ， AC ， AD 两两垂直， AE⊥ 平面 BCD ， 则 如图②，连接 BE 交 CD 于 F ，连接 AF ， 因为 AB⊥AC ， AB⊥AD ， AC∩AD=A ， 所以 AB⊥ 平面 ACD ， 而 AF 平面 ACD ，所以 AB⊥AF ， 在 Rt△AEF 中， AE⊥BF ， 所以 易知在 Rt△ACD 中， AF⊥CD ， 所以 所以 猜想正确 . 【 延伸探究 】 题 (1) 条件不变 , 试写出一个更为一般的结论 ( 不必证明 ). 【 解析 】 对于任意 k∈N * , 都有数列 S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,S 4k -S 3k 是等差数列 , 且公差为 k 2 d. 【 方法技巧 】 运用类比推理的一般步骤 (1) 找出两类事物之间的相似性或一致性 . (2) 用一类事物的性质推测另一类事物的性质 , 得出一个明确的结论 . ① 如果类比的两类事物的相似性越多 , 相似的性质与推测的性质之间越相关 , 那么由类比得出的结论就越可靠 . ② 事物之间的各个性质并不是孤立存在的 , 而是相互联系 , 相互制约的 , 如果两个事物在某些性质上相同或相似 , 那么它们在另一些性质上也可能相同或相似 , 因而类比的结论可能是真的 , 类比也可能具有必然性 . ③ 类比的结论具有偶然性 , 即可能真 , 也可能假 . 【 变式训练 】 已知 O 是△ ABC 内任意一点，连接 AO ， BO ， CO 并延长，分别交对边于 A′ ， B′ ， C′ ，则 这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”，即 请运用类比推理，猜想对空间四面体 VBCD 存在什么类似的结论，并用“体积法”证明其正确性 . 【 解题指南 】 将边长的比扩展为面积的比，将面积的比扩展为体积的比，得到一个类似的结论并证明 . 【 解析 】 如图所示， 在四面体 VBCD 内，任取一点 O ， 连接 VO ， DO ， BO ， CO 并延长， 分别交四个面于点 E ， F ， G ， H ， 则 证明如下：在四面体 OBCD 与四面体 VBCD 中， 设点 O 到平面 BCD 的距离为 h 1 ，点 V 到平面 BCD 的距离为 h ， 【 补偿训练 】 如图所示 , 在三棱锥 S - ABC 中 , SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC, 且 SA,SB,SC 和底 面 ABC 所成的角分别为 α 1 ,α 2 ,α 3 , 三侧面 △ SBC,△SAC,△SAB 的面积分别为 S 1 ,S 2 ,S 3 , 类比三角形中的正弦定理 , 给出空间情形的一个猜想 . 【 解析 】 在一个三角形中，各边长和它所对角的正弦的比 相等，即 类比三角形，我们可以猜想 在三棱锥中，各侧面的面积和它所对角的正弦的比相等， 即 【 易错误区 】 对归纳推理的特征掌握不准而致误 【 典例 】 对任意正整数 n, 猜想 2 n 与 n 2 的大小关系是 　　　　 . 【 解析 】 当 n=1 时 ,2 1 >1 2 ; 当 n=2 时 ,2 2 =2 2 ; 当 n=3 时 ,2 3 <3 2 ; 当 n=4 时 ,2 4 =4 2 ; 当 n=5 时 ,2 5 >5 2 ; 当 n=6 时 ,2 6 >6 2 , 所以可以猜想 : 当 n=3 时 ,2 n n 2 n=2 时 2 n =n 2 n≥3 时 2 n

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