【数学】2020届一轮复习人教B版 直线与圆 学案

【数学】2020届一轮复习人教B版 直线与圆 学案

直线与圆 ‎[全国卷3年考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2018‎ 直线方程、圆的方程、点到直线的距离·T6‎ ‎2017‎ 圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质·T15‎ 圆的弦长问题、双曲线的几何性质·T9‎ 直线与圆的位置关系、点到直线的距离、椭圆的几何性质·T10‎ 直线与圆的方程、直线与抛物线的位置关系·T20‎ ‎2016‎ 圆的方程、点到直线的距离·T4‎ 点到直线的距离、弦长问题·T16‎ ‎(1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．‎ ‎(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．‎ 保分考点·练后讲评 ‎1.已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)‎ A．1或3　　　　　　　 　B．1或5‎ C．3或5 D．1或2‎ 解析：选C　当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，所以两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必须满足≠(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件．‎ ‎2．[两直线垂直]已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是(　　)‎ A．24 B．20‎ C．0 D．－4‎ 解析：选B　∵直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，‎ ‎∴×＝－1，∴m＝10.‎ 直线mx＋4y－2＝0，即5x＋2y－1＝0，‎ 将垂足(1，p)代入，得5＋2p－1＝0，∴p＝－2.‎ 把P(1，－2)代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，‎ ‎∴m－n＋p＝20，故选B.‎ ‎3.坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　直线x－2y＋2＝0的斜率k＝，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.‎ ‎4.已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_________________．‎ 解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1,2)．显然直线x＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0,4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.‎ 答案：y＝2或4x－3y＋2＝0‎ ‎[解题方略]‎ ‎1．两直线的位置关系问题的解题策略 求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．‎ ‎2．轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)‎ 直线关于直线的对称 有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决 保分考点·练后讲评 ‎[大稳定]‎ ‎1.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋‎2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2)　　　　　　 B. C．(－2,0) D. 解析：选D　若方程表示圆，则a2＋(‎2a)2－4(‎2a2＋a－1)>0，化简得‎3a2＋‎4a－4<0，解得－20)，由题意知＝，解得a＝2，所以r＝ ＝3，故圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ 答案：(x－2)2＋y2＝9‎ ‎[解题方略]　求圆的方程的2种方法 几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 ‎[小创新]‎ ‎1.已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且·＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径为(　　)‎ A. B. C. D．2 解析：选C　圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a<1)，圆心M(1,0)，则|OM|＝1，圆的半径r＝，因为AB为圆M的任意一条直径，所以＝－，且||＝||＝r，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圆的半径为，故选C.‎ ‎2.向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．‎ 解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为×π×2－×2×＝π－，所以向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝＝－.‎ 答案：－ 增分考点·广度拓展 ‎[分点研究]‎ 题型一　圆的切线问题 ‎[例1]　(1)(2019届高三·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________.‎ ‎(2)设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBMC面积的最小值为________．‎ ‎[解析]　(1)由题意得，直线l的斜率存在，设过点M(1,1)的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0.因为直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l的距离d＝＝，整理得k2－4k＋4＝0，解得k＝2.又直线l与直线ax＋y－1＝0垂直，所以－‎2a＝－1，解得a＝.‎ ‎(2)圆心O到直线3x＋4y＝25的距离d＝＝5，‎ 则|OM|≥d＝5，‎ 所以切线长|MB|＝≥ ＝，‎ 所以S四边形OBMC＝2S△OBM≥2×××＝.‎ ‎[答案]　(1)　(2) ‎[变式1]　本例(2)变为：过点A(1,3)，作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBAC的面积为________．‎ 解析：由相切可得S四边形OBAC＝2S△OBA，‎ 因为△OAB为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝，‎ 所以|AB|＝2，‎ 即S△OBA＝×2×＝2，‎ 所以S四边形OBAC＝2S△OBA＝4.‎ 答案：4‎ ‎[变式2]　本例(2)变为：设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线l1，l2，则l1与l2的最大夹角的正切值是________．‎ 解析：设一个切点为B，圆心O到直线3x＋4y＝25的距离为d＝＝5，‎ 则tan∠OMB＝≤，‎ 所以tan 2∠OAB＝ ‎＝≤.‎ 故所求最大夹角的正切值为.‎ 答案： ‎[解题方略]　直线与圆相切问题的解题策略 直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．‎ 题型二　圆的弦长问题 ‎[例2]　已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P，Q两点．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点(0,1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，‎ 即＝ ＝r，‎ 解得a＝0，r＝2，‎ 故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.‎ 因为直线l，l1都经过点(0,1)，且l1⊥l，‎ 根据勾股定理，有d＋d2＝1.‎ 又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，‎ 所以S＝|PQ|·|MN|，‎ 即S＝×2××2× ‎＝2 ‎＝2≤2 ‎＝2＝7，‎ 当且仅当d1＝d时，等号成立，‎ 所以四边形PMQN面积的最大值为7.‎ ‎[解题方略]　求解圆的弦长的3种方法 关系法 根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)‎ 公式法 根据公式l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)‎ 距离法 联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解 ‎[多练强化]‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ 解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.‎ ‎∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，‎ ‎∴|AB|＝2＝2＝2.‎ 答案：2 ‎2．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝，则直线l的方程为________．‎ 解析：直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝＝，‎ 由R2＝d2＋2，得1＝＋，‎ 解得k＝2或，‎ 故所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1.‎ 答案：y＝2x＋1或y＝x＋1‎ ‎3．已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为________．‎ 解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(－1,2)，半径r＝.因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．当PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x＋y＝0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，则解得 故当|PM|取最小值时点P的坐标为.‎ 答案： 数学建模——直线与圆最值问题的求解 ‎[典例]　已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为(　　)‎ A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0‎ B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0‎ C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0‎ D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0‎ ‎[解析]　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P(2，)，Q(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，则圆心到直线l的距离d＝，所以|PQ|＝2，S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2×d＝ ≤＝，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值，因为2＜，所以S△OPQ的最大值为，此时＝，解得k＝－1或k＝－7，此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎[素养通路]‎ 本题考查了直线与圆的最值问题，结合题目的条件，设元、列式、建立恰当的函数，利用基本不等式模型解决相关的最值问题．考查了数学建模这一核心素养．‎