江苏省苏州市外国语学校2019-2020学年高二上学期自主学习检查（一）数学

江苏省苏州市外国语学校2019-2020学年高二上学期自主学习检查（一）数学

苏州市外国语学校 2019-2020 学年第一学期自主学习检查（一）‎ 高二数学2019.10‎ 一、单选题（每题 5 分，共计 60 分）‎ ‎1.已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是（　　）‎ A. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd B. 若a＞b，则 C. 若a＞b＞0，则（a﹣b）c＞0 D. 若a＞b，则a﹣c＞b﹣c ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质判断．‎ ‎【详解】当时，A不成立；当时，B不成立；当时，C不成立；由不等式的性质知D成立．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质中，不等式两边乘以同一个正数，不等式号方向不变，两边乘以同一个负数，不等式号方向改变，这个性质容易出现错误：一是不区分所乘数的正负，二是不区分是否为0．‎ ‎2.不等式x2+ax+4＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A. （﹣4，4） B. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）‎ C. （﹣∞，+∞） D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的性质求解．‎ ‎【详解】不等式x2+ax+4＞0对任意实数x恒成立，则，∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可借助二次函数的图象求解．‎ ‎3.设数列的通项公式为，则（ ）‎ A. 153 B. 210 C. 135 D. 120‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的通项公式，判断数列为等差数列，并求得数列的前3项均小于，从第4项起均大于，对所求式子去掉绝对值，利用等差数列前项和，求得式子值.‎ ‎【详解】因为，所以数列是均小于，均大于的等差数列，‎ 所以 ‎.选A.‎ ‎【点睛】本题考查数列中的基本量法求数列的前项和，解题的关键在于判断各项的正负.‎ ‎4.若实数满足，则的最大值是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，将等式转化为不等式，求的最大值.‎ ‎【详解】,‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，，‎ 的最大值是.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.‎ ‎5.已知数列成等差数列，成等比数列，则 A. 1 B. C. - D. ±‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差中项和等比中项的概念来计算、的值.‎ ‎【详解】因为成等差数列，所以，所以；‎ 因为成等比数列，所以，且和的正负号相同，则.‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差中项和等比中项的计算，难度较易.一般的，若成等差数列，则称是与的等差中项；若成等比数列，则称是与的等比中项.‎ ‎6.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ）‎ A. B. C. D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质以及前项和公式，逆向构造得，从而求出其比值.‎ ‎【详解】因为,‎ 故答案选.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质应用，以及前项和公式的应用，属于中档题.‎ ‎7.关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把不等式化为，分类讨论和，求出不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，确定的取值范围。‎ ‎【详解】不等式，即，若，不等式解集为；若，不等式解集为，要保证恰含有两个整数，则或，所以正确选项为C。‎ ‎【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论是解决本题的关键。‎ ‎8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（　　）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】∵等差数列{an}中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选B．‎ ‎9.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）‎ ‎（结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771．）‎ A. 2.6天 B. 2.2天 C. 2.4天 D. 2.8天 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．．‎ ‎【详解】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．‎ 莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，‎ 其前n项和为Bn．则An，Bn，‎ 由题意可得：，化为：2n7，‎ 解得2n＝6，2n＝1（舍去）．‎ ‎∴n12.6．‎ ‎∴估计2.6日蒲、莞长度相等，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎10.设等差数列的前项和为，公差为，已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用等差数列的前项和公式代入分类讨论.‎ ‎【详解】由得 ‎ ‎ 化简：，即，‎ 又因为，所以，‎ 所以符号相反.‎ 若，则，，‎ 所以，，，；‎ 若，则，，‎ 所以，，，.‎ 综上，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的综合应用.‎ ‎11.设正实数满足，则当取得最大值时， 的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用基本不等式分析取得最大值的条件，然后再去计算的最大值.‎ ‎【详解】因为，所以，且，则，即，取等号时有：，且；，当且仅当时取得最大值：，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式以及二次函数类型问题的最值，难度一般.注意基本不等式求解最值的时候，取等号的条件一定要判断好.‎ ‎12.数列中，，且，则数列前2019项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，化为：，利用“累加求和”方法可得 ‎，再利用裂项求和法即可得解．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ 整理得：，‎ ‎∴，又 ‎∴，‎ 可得：．‎ 则数列前2019项和为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（每题 4 分，共计 16 分）‎ ‎13.若不等式kx2－2x＋1－k＜0对满足的所有k都成立，则x的取值范围为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原不等式可化为，设，则是关于的一次函数，且是单调函数，列出相应的不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】原不等式可化，‎ 设，则是关于k的一次函数，且是单调函数，‎ 根据题意可得，即，‎ 解得，故x取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，对于不等式的恒成立问题，可通过构造新的函数，利用函数的单调性与最值求解是解答此类问题的关键，着重考查了转化思想和推理、计算能力.‎ ‎14.设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.‎ 考点：等比数列及其应用 ‎15.已知函数，项数为的等差数列满足，且公差，若，则当（ ）时，．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析函数的性质，利用函数性质来分析条件中所给的等式，然后得出结论.‎ ‎【详解】因为定义域为关于原点对称且，所以是奇函数；又因为在上单调递增，且且，则有：，则，所以.‎ ‎【点睛】本题考查数列与函数性质相结合的问题，难度一般.解答数列与函数的综合问题，一般都需要先分析函数的奇偶性和单调性，然后根据所给条件将问题转化为求解值或者范围的问题.‎ ‎16.已知，，则的最小值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把整理为完全平方式，利用三角换元法可求.‎ ‎【详解】因为，所以令，‎ 解得，‎ 所以 ‎.‎ 因为，所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查多元变量的最值问题，主要处理策略是消元减参，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.‎ 三、解答题（共计 74 分）‎ ‎17.解关于的不等式．‎ ‎【答案】时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为： . ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将不等式因式分解，然后再对参数分类讨论，最后求解不等式解集.‎ ‎【详解】因为，所以；‎ 当时，，解得：；‎ 当时，若，解得：；‎ 若，，解得：；‎ 若，，解得：；‎ 若，，解得：或；‎ 综上：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为： . ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法问题，难度一般.‎ 对于含有参数的一元二次不等式，如果在二次项上含有参数，一定要注意是否一定是一元二次；含参数时注意对参数分类讨论.‎ ‎18.设实数x，y满足．‎ 若，求x的取值范围；‎ 若，，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等式，用x表示y，代入不等式中，通过分类讨论解不等式即可。‎ ‎（2）根据“1”的代换，结合基本不等式即可证明。‎ ‎【详解】由，得，‎ 所以不等式，即为，‎ 所以有或或 解得 或或 ，‎ 所x的取值范围为．‎ ‎，，‎ 所以 当且仅当，即时取等号．‎ 又，当且仅当时取等号，‎ 所以，当且仅当时取等号．‎ ‎【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题。‎ ‎19.某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为元，每生产件，需另投入成本为元，每件产品售价为元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）．‎ ‎（1）写出每天利润关于每天产量的函数解析式；‎ ‎（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．‎ ‎【答案】（1）；（2）每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据（利润）（总售价）（总成本），将利润写成分段函数的形式；（2）计算利润的分段函数的每一段的最值，然后再进行比较求得利润最大值.‎ ‎【详解】（1）因为每件产品售价为元，所以件产品售价为元；当时， ；当时，；‎ 所以： ；‎ ‎（2）当时，，当时有最大值；‎ 当时，，取等号时，即时，有最大值；‎ 且，所以当每天产量为 件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大.‎ ‎【点睛】本题考查函数的实际应用，难度一般.求解分段函数的最值时，必须要考虑到每一段函数的最值，然后再比较每段最值的大小，取得最后的结果；运用基本不等式的时候，要注意取等号的条件.‎ ‎20.已知函数，且的解集为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）解关于的不等式，；‎ ‎（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据韦达定理即可。‎ ‎（2）分别对三种情况进行讨论。‎ ‎（3）带入，分别对时三种情况讨论。‎ ‎【详解】（1）解集为可得1，2是方程的两根，‎ 则，‎ ‎（2）‎ 时，‎ 时，‎ 时，‎ ‎（3），为上的奇函数 当时，‎ 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，在时，取得最大值，即；‎ 当时，，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，，在时，取得最小值，即；‎ 对于任意的都有则等价于 或（）‎ 则的最小值为1‎ ‎【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式，以及绝对值不等式，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论。本题属于难题。‎ ‎21.设数列前项和为, 满足 ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令 求数列的前项和 ；‎ ‎（3）若不等式对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）;（2）;（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；‎ ‎（2）bn=nan=2n×4n﹣1，利用“错位相减法”、等比数列前n项和公式即可得出．‎ ‎（3）不等式n∈N*恒成立，化为a＞ ，利用二次函数的单调性即可得出．‎ 试题解析：‎ 解：（1） ‎ 两式相减，得 .‎ 所以，‎ 又，即 是首项为，公比是的等比数列.‎ 所以 . ‎ ‎（2）‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎- ②,得 ‎ ‎ 故 ‎ ‎（3）由题意，再结合（2），知 ‎ 即 .‎ 从而 设 ，‎ ‎.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn ‎”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎22.已知常数且，在数列中，首项，是其前项和，且，.‎ ‎（1）设，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；‎ ‎（2）设，，证明数列是等差数列，并求出的通项公式；‎ ‎（3）若当且仅当时，数列取到最小值，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；‎ ‎（2）证明见解析，；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，求出的值，再令，由，得出，将两式相减得，再利用等比数列的定义证明为常数，可得出数列为等比数列，并确定等比数列的首项和公比，可求出；‎ ‎（2）由题意得出，再利用等差数列的定义证明出数列为等差数列，确定等差数列的首项和公差，可求出数列的通项公式；‎ ‎（3）求出数列的通项公式，由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，再利用参变量分离法可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，有，即，；‎ 当时，由，可得，将上述两式相减得，‎ ‎，，‎ 且，‎ 所以，数列是以，以为公比的等比数列，；‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，由等差数列的定义得，‎ 且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，‎ 因此，；‎ ‎（3）由（2）知，，，‎ 由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，‎ 由，得，‎ 得在时恒成立，‎ 由于数列在时单调递减，则，此时，；‎ 由，得，‎ 得在时恒成立，‎ 由于数列在时单调递减，则，此时，.‎ 综上所述：实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎