2019届二轮复习第31练　几何证明选讲、不等式选讲课件（38张）（全国通用）

2019届二轮复习第31练　几何证明选讲、不等式选讲课件（38张）（全国通用）

第三篇 　 附加题专项练 ， 力保选做拿满分 第 31 练　几何证明选讲、不等式选讲 明晰 考 情 1. 命题角度： 三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理； 圆内接四边形的性质与判定；含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用 . 2 . 题目难度：中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 高考押题冲刺练 考点一　三角形相似的判定及应用 方法技巧 　证明三角形相似可以结合圆的某些性质、定理，要注意等量的代换 . 核心考点突破练 1.(2016· 江苏 ) 如图，在 △ ABC 中，已知 ∠ ABC ＝ 90° ， BD ⊥ AC ， D 为垂足， E 是 BC 的中点，求证： ∠ EDC ＝ ∠ ABD . 证明 证明 　 在 △ ADB 和 △ ABC 中， 因为 ∠ ABC ＝ 90° ， BD ⊥ AC ， ∠ A 为公共角， 所以 △ ADB ∽△ ABC ，所以 ∠ ABD ＝ ∠ C . 在 Rt △ BDC 中，因为 E 是斜边 BC 的中点， 所以 ED ＝ EC ，从而 ∠ EDC ＝ ∠ C ， 所以 ∠ EDC ＝ ∠ ABD . 证明 2.(2017· 江苏 ) 如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C ， AP ⊥ PC ， P 为垂足 . (1) 求证： ∠ PAC ＝ ∠ CAB ； 证明 　 因为 PC 切半圆 O 于点 C ， 所以 ∠ PCA ＝ ∠ CBA . 因为 AB 为半圆 O 的直径， 所以 ∠ ACB ＝ 90°. 因为 AP ⊥ PC ，所以 ∠ APC ＝ 90° ， 因此 ∠ PAC ＝ ∠ CAB . 证明 (2) 求证： AC 2 ＝ AP · AB . 证明 　 由 (1) 知， △ APC ∽△ ACB ， 即 AC 2 ＝ AP · AB . 证明 3.(2018· 苏州模拟 ) 如图， AB ， AC 与圆 O 分别切于点 B ， C ，点 P 为圆 O 上异于点 B ， C 的任意一点， PD ⊥ AB 于点 D ， PE ⊥ AC 于点 E ， PF ⊥ BC 于点 F . 求证： PF 2 ＝ PD · PE . 证明 　 连结 PB ， PC ，因为 ∠ PCF ， ∠ PBD 分别为圆弧 BP 上的圆周角和弦切角 ， 所以 ∠ PCF ＝ ∠ PBD . 因为 PD ⊥ BD ， PF ⊥ FC ， 所以 △ PDB ∽△ PFC ， 同理， ∠ PBF ＝ ∠ PCE ，又 PE ⊥ EC ， PF ⊥ FB ， 证明 4. 如图， AB ， AC 是 ⊙ O 的切线， ADE 是 ⊙ O 的割线，求证： BE · CD ＝ BD · CE . 证明 　 因为 AB 是 ⊙ O 的切线， 所以 ∠ ABD ＝ ∠ AEB . 又因为 ∠ BAD ＝ ∠ EAB ，所以 △ BAD ∽△ EAB ， 因为 AB ， AC 是 ⊙ O 的切线 ，所以 AB ＝ AC . 即 BE · CD ＝ BD · CE . 考点二　圆有关定理、性质的应用 方法技巧 　和圆有关的计算证明问题，要灵活运用圆和三角形的性质，以目标为导向，根据需要找角、线段长度的关系，适时进行等量代换 . 证明 5.(2018· 江苏 ) 如图，圆 O 的半径为 2 ， AB 为圆 O 的直径， P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C . 若 PC ＝ ， 求 BC 的长 . 证明 　 如图，连结 OC . 因为 PC 与圆 O 相切， 所以 OC ⊥ PC . 又因为 OB ＝ 2 ，从而 B 为 Rt △ OCP 斜边的中点， 所以 BC ＝ 2. 6.(2018· 南京模拟 ) 如图， CD 是圆 O 的切线，切点为 D ， CA 是过圆心 O 的割线且交圆 O 于点 B ， DA ＝ DC ，求证： CA ＝ 3 CB . 证明 证明 　 如图，连结 OD ，因为 DA ＝ DC ， 所以 ∠ DAO ＝ ∠ C . 在圆 O 中， AO ＝ DO ，所以 ∠ DAO ＝ ∠ ADO ， 所以 ∠ DOC ＝ 2 ∠ DAO ＝ 2 ∠ C . 因为 CD 为圆 O 的切线 ，所以 ∠ ODC ＝ 90° ， 从而 ∠ DOC ＋ ∠ C ＝ 90° ， 即 2 ∠ C ＋ ∠ C ＝ 90° ，故 ∠ C ＝ 30° ， 所以 OC ＝ 2 OD ＝ 2 OB ，所以 CB ＝ OB ，所以 CA ＝ 3 CB . 7.(2018· 苏州模拟 ) 如图，圆 O 的直径 AB ＝ 4 ， C 为圆周上一点， BC ＝ 2 ，过 C 作圆 O 的切线 l ，过点 A 作 l 的垂线 AD ， AD 分别与直线 l 和圆 O 交于点 D ， E ，求线段 AE 的长 . 解　 在 Rt △ ABC 中，因为 AB ＝ 4 ， BC ＝ 2 ， 所以 ∠ ABC ＝ 60°. 因为 l 为过点 C 的切线 ，所以 ∠ DCA ＝ ∠ ABC ＝ 60°. 因为 AD ⊥ DC ，所以 ∠ DAC ＝ 30°. 连结 OE ，在 △ AOE 中 ，因为 ∠ EAO ＝ ∠ DAC ＋ ∠ CAB ＝ 60° ， 且 OE ＝ OA ， 解答 8. 如图， AB 切 ⊙ O 于点 B ，直线 AO 交 ⊙ O 于 D ， E 两点， BC ⊥ DE ，垂足为 C . (1) 证明： ∠ CBD ＝ ∠ DBA ； 证明 　 因为 DE 为 ⊙ O 的直径， 所以 ∠ BED ＋ ∠ EDB ＝ 90° ， 又 BC ⊥ DE ，所以 ∠ CBD ＋ ∠ EDB ＝ 90° ， 从而 ∠ CBD ＝ ∠ BED . 又 AB 切 ⊙ O 于点 B ， 所以 ∠ DBA ＝ ∠ BED ， 所以 ∠ CBD ＝ ∠ DBA ， 证明 解答 解　 由 (1) 知 BD 平分 ∠ CBA ， 故 DE ＝ AE － AD ＝ 3 ，即 ⊙ O 的直径为 3. 考点三　不等式的证明 方法技巧 　证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明 . 又 m ， n 均为正数， 证明 证明 　 由 a ， b ， c 为正数，根据算术 — 几何平均不等式， 当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 1 时等号成立 . 证明 11. 已知 a ， b ， c 均为正数，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1. 证明 ∵ a ＋ b ＋ c ＝ 1 ， 证明 证明 　 ∵ a ， b ， c ∈ R ， ∴ a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab ， b 2 ＋ c 2 ≥ 2 bc ， c 2 ＋ a 2 ≥ 2 ca . 将以上三个不等式相加，得 2( a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ) ≥ 2( ab ＋ bc ＋ ca ) ， ① 即 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ≥ ab ＋ bc ＋ ca . ② 在不等式 ① 的左右两端同时加上 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ， 得 3( a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ) ≥ ( a ＋ b ＋ c ) 2 ， 在不等式 ② 的左右两端同时加上 2( ab ＋ bc ＋ ca ) ， 得 ( a ＋ b ＋ c ) 2 ≥ 3( ab ＋ bc ＋ ca ) ， 考点四 　柯西不等式 方法技巧 　利用柯西不等式证明不等式或求最值时，要先根据柯西不等式的结构特征对式子变形，使之与柯西不等式有相似的结构 . 证明 13.(2017· 江苏 ) 已知 a ， b ， c ， d 为实数，且 a 2 ＋ b 2 ＝ 4 ， c 2 ＋ d 2 ＝ 16 ，证明： ac ＋ bd ≤ 8. 证明 　 由柯西不等式，得 ( ac ＋ bd ) 2 ≤ ( a 2 ＋ b 2 )( c 2 ＋ d 2 ) ， 因为 a 2 ＋ b 2 ＝ 4 ， c 2 ＋ d 2 ＝ 16 ， 所以 ( ac ＋ bd ) 2 ≤ 64 ，因此 ac ＋ bd ≤ 8. 解答 14.(2018· 盐城模拟 ) 已知正数 x ， y ， z 满足 x ＋ 2 y ＋ 3 z ＝ 2 ，求 x 2 ＋ y 2 ＋ z 2 的最小值 . 解　 由柯西不等式，可得 (1 2 ＋ 2 2 ＋ 3 2 )( x 2 ＋ y 2 ＋ z 2 ) ≥ ( x ＋ 2 y ＋ 3 z ) 2 ， 因为 x ＋ 2 y ＋ 3 z ＝ 2 ， 证明 证明 　 因为 a ＋ 2 b ＋ c ＝ 1 ， a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＝ 1 ， 所以 a ＋ 2 b ＝ 1 － c ， a 2 ＋ b 2 ＝ 1 － c 2 . 由柯西不等式知 (1 2 ＋ 2 2 )( a 2 ＋ b 2 ) ≥ ( a ＋ 2 b ) 2 ， 即 5(1 － c 2 ) ≥ (1 － c ) 2 ，整理得 3 c 2 － c － 2 ≤ 0 ， 解答 16.(2018· 苏州模拟 ) 已知 a ， b ， c ∈ R ， a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＝ 1 ，若 | x － 1| ＋ | x ＋ 1 | ≥ ( a － b ＋ c ) 2 对一切实数 a ， b ， c 成立，求实数 x 的取值范围 . 解　 因为 a ， b ， c ∈ R ， a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＝ 1 ， 由柯西不等式得 ( a － b ＋ c ) 2 ≤ ( a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 )(1 ＋ 1 ＋ 1) ＝ 3 ， 因为 | x － 1| ＋ | x ＋ 1| ≥ ( a － b ＋ c ) 2 对一切实数 a ， b ， c 恒成立 ， 所以 | x － 1| ＋ | x ＋ 1| ≥ 3. 当－ 1 ≤ x ≤ 1 时， 2 ≥ 3 不成立； 高考押题冲刺练 解答 1. 如图， AB 是 ⊙ O 的直径， C 是 ⊙ O 外一点，且 AC ＝ AB ， BC 交 ⊙ O 于点 D . 已知 BC ＝ 4 ， AD ＝ 6 ， AC 交 ⊙ O 于点 E ，求四边形 ABDE 的周长 . 解　 ∵ AB 是 ⊙ O 的直径， ∴ AD ⊥ BC ，又 ∵ AB ＝ AC ， ∴ D 为 BC 的中点， ∵ BC ＝ 4 ， AD ＝ 6 ， ∵ DE 2 ＝ CE 2 ＋ CD 2 － 2 CE · CD ·cos C ＝ 4 ， ∴ DE ＝ 2. 解答 2.(2018· 南京、盐城模拟 ) 如图，已知 AB 为 ⊙ O 的直径，直线 DE 与 ⊙ O 相切于点 E ， AD 垂直 DE 于点 D ，若 DE ＝ 4 ，求切点 E 到直径 AB 的距离 . 解　 如图，过点 E 作 EF ⊥ AB 交 AB 于点 F ，连结 AE ， OE ， 因为 直线 DE 与 ⊙ O 相切于点 E ，所以 DE ⊥ OE ， 因为 AD ⊥ DE 交 DE 于点 D ，所以 AD ∥ OE ，所以 ∠ DAE ＝ ∠ OEA . ① 在 ⊙ O 中， OE ＝ OA ，所以 ∠ OEA ＝ ∠ OAE . ② 由 ①② 得 ∠ DAE ＝ ∠ OAE ，即 ∠ DAE ＝ ∠ FAE ， 又 ∠ ADE ＝ ∠ AFE ， AE ＝ AE ， 所以 △ ADE ≌△ AFE ，所以 DE ＝ FE ， 又 DE ＝ 4 ，所以 FE ＝ 4 ， 即点 E 到直径 AB 的距离为 4. 证明 证明 　 ∵ x ， y ， z 都是正数， 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2 ， 证明 4.(2108· 江苏七市联考 ) 已知 a ， b ， c 是正实数，且 a ＋ b ＋ c ＝ 5 ，求证： a 2 ＋ 2 b 2 ＋ c 2 ≥ 10. 所以 a 2 ＋ 2 b 2 ＋ c 2 ≥ 10 ， 当且仅当 a ＝ 2 b ＝ c >0 时取等号 . 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com