数学理卷·2017届山东省滕州市第五中学高三4月阶段性自测（2017

数学理卷·2017届山东省滕州市第五中学高三4月阶段性自测（2017

山东省滕州市第五中学2017届高三数学（理）4月阶段性自测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题 ‎1.已知集合A={x|x2≥16}，B={m}，若A∪B=A，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣4） B．[4，+∞） C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）‎ ‎2.若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，则“f（x）与g（x）同是奇函数或同是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎3.在复平面内，复数，则对应的点的坐标位于第（　　）象限．‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4.执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b分别为56，140，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．7 C．14 D．28‎ ‎5.已知数列{an}满足an=an+1，若a3+a4=2，则a4+a5=（　　）‎ A． B．1 C．4 D．8‎ ‎6.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，B=45°，若三角形有两解，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞2 B．0＜a＜2 C．2＜a＜2 D．2＜a＜2‎ ‎7.若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎8.若双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则该双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎9.设F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞‎ ‎0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎10.函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}‎ C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}‎ 二、填空题 ‎11.若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）=　　．‎ ‎12.已知向量是单位向量，向量若，则，的夹角为__________．‎ ‎13.如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为　　．‎ ‎14.已知直线过圆的圆心，则的最小值为 。‎ ‎15.若抛物线y=2px2（p＞0）的准线经过双曲线y2﹣x2=1的一个焦点，则p=　　．‎ ‎16.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为 。‎ 三、解答题 ‎17.已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；‎ ‎（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．‎ ‎18.‎ 已知函数（其中ω＞‎ ‎0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．‎ ‎（I）求y=f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．‎ ‎19.已知函数f（x）=3x+λ•3﹣x（λ∈R）．‎ ‎（1）若f（x）为奇函数，求λ的值和此时不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎20.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4．‎ ‎（1）求证：DE∥平面A1MC；‎ ‎（2）在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C1的短轴长为2．‎ ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）设A（0，），N为抛物线C2：y=x2上一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于B，C两点，求△ABC面积的最大值．‎ ‎22.（本小题满分14分）‎ 已知函数. ‎ ‎（1）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎（2）若x＞0且x≠1，.‎ ‎（i）求实数t的最大值；‎ ‎（ii）证明不等式：(n∈N*且n≥2). ‎ 试卷答案 ‎1.D ‎2.A ‎3.D ‎4.D ‎5.C ‎6.C ‎7.B ‎8.D ‎9.A ‎10.A ‎11.﹣5．‎ ‎12.‎ ‎13.16‎ ‎14.：4‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．‎ ‎∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．‎ ‎（2）由（1）及题设知：，‎ 设，‎ ‎∴当x1＞x2＞1时，‎ ‎∴t1＜t2．‎ 当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．‎ ‎∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．‎ 同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．‎ ‎（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），‎ ‎∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；‎ ‎②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知 得，n=1．‎ ‎18.【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎=，‎ ‎∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，‎ ‎∴T=π，‎ ‎∴，‎ ‎∴ω=1，‎ ‎∴．‎ ‎∵得：，‎ ‎∴函数f（x）单调增区间为；‎ ‎（Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c•cosA，由正弦定理，‎ 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），‎ ‎∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，‎ ‎∴sinB（2cosC﹣1）=0，‎ ‎∴，‎ ‎∵0＜C＜π，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值ymax=1，‎ 此时，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴△ABC为等边三角形．‎ ‎19.【解答】解：（1）∵f（x）=3x+λ•3﹣x为奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）+f（x）=3﹣x+λ•3x+3x+λ•3﹣x=（3x+3﹣x）+λ（3x+3﹣x）=（λ+1）（3x+3﹣x）=0，‎ ‎∵3x+3﹣x＞0，∴λ+1=0，即λ=﹣1．‎ 此时f（x）=3x﹣3﹣x，‎ 由f（x）＞1，得3x﹣3﹣x＞1，即（3x）2﹣3x﹣1＞0，‎ 解得：（舍），或3x＞，即x＞．‎ ‎∴不等式f（x）＞1的解集为（）；‎ ‎（2）由f（x）≤6得3x+λ3﹣x≤6，即3x+≤6，‎ 令t=3x∈[1，9]，‎ 原不等式等价于t+≤6在t∈[1，9]上恒成立，‎ 亦即λ≤6t﹣t2在t∈[1，9]上恒成立，‎ 令g（t）=6t﹣t2，t∈[1，9]，‎ 当t=9时，g（t）有最小值g（9）=﹣27，‎ ‎∴λ≤﹣27．‎ ‎20.【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，‎ 由题意可知O为AC1的中点，连接OM，OE，MD，‎ ‎∵MD，OE分别为△ABC，△ACC1中的AC边上的中位线，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO．‎ 又∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，‎ ‎∴DE∥平面A1MC．‎ 解：（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建系，‎ 设PA=a，则D（0，0，0），，，，B（0，1，0），‎ 则，，‎ 设平面PBC的法向量为，‎ 则解得．‎ 同理，，，‎ 设平面BCA1的法向量为，‎ 则解得．‎ 如图易得所求二面角为锐角，设为θ，‎ 则，‎ 解得a=1或（舍），‎ 所以存在点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为，此时PA=1．‎ ‎21.‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，‎ ‎∴e﹣==，∴a2=4b2，‎ 椭圆C1的短轴长为2，即2b=2，b=1，a2=4，‎ ‎∴椭圆方程为：；‎ ‎（2）设曲线C：y=x2上的点N（t，t2），B（x1，y1），C（x2，y2），‎ ‎∵y′=2x，∴直线BC的方程为y﹣t2=2t（x﹣t），即y=2tx﹣t2，①‎ 将①代入椭圆方程，整理得（1+16t2）x2﹣16t3x+4t4﹣4=0，‎ 则△=（16t3）2﹣4（1+16t2）（4t4﹣4）=16（﹣t4+16t2+1），‎ 且x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∴|BC|=|x1﹣x2|=•=，‎ 设点A到直线BC的距离为d，则d=，‎ ‎∴△ABC的面积S=|BC|d=••=≤，‎ 当t=±2时，取到“=”，此时△＞0，满足题意，‎ ‎∴△ABC面积的最大值为．‎ ‎22.（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.‎ 试题分析：（1）先求出导函数，再根据，由点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）（i）等价于，讨论时、当时两种情况，排除不合题意的的值，即可得实数的最大值；（ii）当时整理得，令，则，进而可证原不等式.‎ ‎（2）（i）由题意知，‎ 设，‎ 则，‎ 设，‎ 则， ‎ ‎（1）当时，∵，∴，‎ ‎∴在上单调递增，又，‎ ‎∴时，，又，‎ ‎∴，不符合题意. ‎ ‎②若，即时，的对称轴，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 而，∴，不符合题意，‎ 综上所述. ‎ ‎（ii）由（i）知时，，‎ 当时整理得， ‎ 令，则，‎ ‎∴，‎