数学理卷·2018届江西省南昌三中高二下学期3月月考（2017-03）

数学理卷·2018届江西省南昌三中高二下学期3月月考（2017-03）

南昌三中2016-2017学年度下学期3月考 高二数学（理）试卷 命题：张金生 审题：杨一博 一、选择题（本大题共12小 题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）‎ A．三角形 B.四边相等的四边形 ‎ C.梯形 D.平行四边形 ‎2.用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于”时，应假设（ ）‎ A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于 ‎ C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于 ‎3.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)‎ A.　　　　 B.＋ C.＋ D.＋＋ ‎4.下列命题正确的是（ ）‎ ‎ A.平行于同一平面的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线平行 ‎ C.与某一平面成等角的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 ‎5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)‎ A．2＋　　　 B. C. D．1＋ ‎6．设是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中错误的是(　)‎ A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 ‎7.老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中（　　）两人说对了．‎ A．甲 丙 B．乙 丁 C．丙 丁 D．乙 丙 ‎8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎9.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的外接球体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知四棱锥S－ABCD的底面是边长为2的正方形,AC、BD相交于点O , , ， E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持， 则动点P的轨迹的周长为 ( ) ☆高☆ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为，则双曲线的离心率为 (　　)‎ A． B.2 C． D．3‎ ‎12.已知函数在处取得最大值，以下各式中：①②③④⑤，正确的序号是（ ）‎ ‎ A. ②④ B. ②⑤ C. ①④ D. ③⑤‎ 二.填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分) [来源:学科网ZXXK]‎ ‎13． n为正奇数时，求证：xn＋yn被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝________，命题为真．‎ ‎14．某四棱锥的三视图所示，该四棱锥的体积为________．‎ ‎15．观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋ ‎1－＋－＋－＝＋＋，……‎ 据此规律，第n个等式可为________．‎ ‎16. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分10分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程是，点的直角坐标为，直线过点，且倾斜角为，（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎18.（本小题满分12分） 当是正整数时，比较并证明与的大小 ‎ ‎19．（本小题满分12分）如图所示的多面体，四边形是边长为2的正方形，面面，四边形为矩形，长为，为的中点，.(1)求证： 平面；（2）若，求三棱锥的体积. ‎ ‎20．（本小题满分12分）已知三棱锥P—ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DEAP于E。（1）求证：AP平面BDE；w.w.（2）求证：平面BDE平面BDF；（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成上、下两部分的体积比。‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程; ‎ ‎（2）当时，求证:. ‎ ‎22.(本小题满分12分)如图，过点的直线与椭圆相交于两点，过点作轴的平行线交椭圆于点。（1）求证：直线过定点并求点的坐标；（2）求三角形面积的最大值。‎ 高二数学答案 一、选择题（本大题共12小 题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1、下列图形中不一定是平面图形的是（B ）‎ A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形 ‎2.用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于”时，应假设（B.）‎ A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于 ‎ C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于 ‎3.（理科）1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)‎ A.　　　　 B.＋ C.＋ D.＋＋ 答案　D ‎4.下列命题正确的是（D ）‎ ‎ A.平行于同一平面的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线平行 ‎ C.与某一平面成等角的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 ‎5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)‎ A．2＋　　　 B. C. D．1＋ ‎【答案】选A。【解析】恢复后的原图形为一直角梯形S＝(1＋＋1)×2＝2＋.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：‎ S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．‎ ‎6．设是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中错误的是(　　)‎ A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 答案：D．解析：选项D正确为：若 ，则或.‎ ‎7.老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中（　　）两人说对了．‎ A．甲 丙 B．乙 丁 C．丙 丁 D．乙 丙 ‎【答案】D【解析】试题分析：如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D．考点：合情推理．‎ ‎8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 ‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎【答案】B。【解析】设圆锥底面半径为r，则，，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.‎ ‎9.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的外接球体积为（D. ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案D.．【解析】依题意，用正方体做依托，可知原几何体为三棱锥，如图所示. ‎ ‎10. 已知四棱锥S－ABCD的底面是边长为2的正方形,AC、BD 相交于点O , , ， E是BC的中点，‎ ‎ 动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持， 则动点P的轨迹的周长为 ( C ) ☆高☆考♂资♀源€网 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知双曲线的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为，则双曲线的离心率为 (　　)‎ A． B.2 C． 2 D．3‎ ‎11.B 【解析】A点坐标为，则由题意，得S△AOB＝.得，所以双曲线的离心率 ．‎ ‎12.（理科）已知函数在处取得最大值，以下各式中：①②③④⑤，正确的序号是（ ）‎ ‎ A. ②④ B. ②⑤ C. ①④ D. ③⑤‎ ‎【答案】A 二.填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分) [来源:学科网ZXXK]‎ ‎13．（理科）n为正奇数时，求证：xn＋yn被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝________，命题为真．‎ 答案　2k＋1‎ ‎14．某四棱锥的三视图所示，该四棱锥的体积为________．‎ ‎14答案．3　[解析] 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V＝×(3×3)×1＝3.‎ ‎15．观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋ ‎1－＋－＋－＝＋＋，……‎ 据此规律，第n个等式可为________．‎ 答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ 解析　观察等式知：第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是＋＋…＋.故答案为1－＋－‎ ＋…＋－＝＋＋…＋.‎ ‎16. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，‎ 按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .‎ 解：。‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分10分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程是，点的直角坐标为，直线过点，且倾斜角为，（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎【解析】：（1）由得． ∵,,, ‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为,即.‎ ‎（2）将代入曲线的方程化简得． ‎ 设两点对应的参数分别为、,则 ‎ ‎18.（理科）（本小题满分12分） 比较并证明与的大小 ‎ ‎ [解析] 当n=1时,<; 当n=2时,=; 当n=3时,>; ‎ 当n=4时,=; 当n=5时,<; 当n=6时,<‎ 猜想：当时,<…………………………………………………………6‎ 下面下面用数学归纳法证明：‎ ‎（1）当n=5时，由上面的探求可知猜想成立……………………………………..7分 ‎（2）假设n=k（）时猜想成立，即………………………………..8分 则，，当时 ‎，从而 所以当n=k+1时，猜想也成立…………………………………………………………11分 综合（1）（2），对猜想都成立…………………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）如图所示的多面体，四边形是边长为2的正方形，面面，四边形为矩形，长为，为的中点，.(1)求证： 平面；（2）若，求三棱锥的体积. ‎ 解：（1）证明：取中点，连接，，‎ 四边形为平行四边形，平面，平面， 平面 ‎（Ⅱ）面面，正方形中，所以平面，所以，若，则平面，，在矩形中，得 解法二：补形成正方体。‎ ‎20．（本小题满分12分）已知三棱锥P—ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DEAP于E。（1）求证：AP平面BDE；w.w.（2）求证：平面BDE平面BDF；（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成上、下两部分的体积比。‎ ‎20．（1）证明：平面ABC，，由AB=BC，D为AC的中点，得又 又由已知………5分 ‎ （2）（方法一）由由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP， 由已知：又 ‎ （方法二）由（1） 为二面角E—BD—F的平面角 ‎ 由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP由已知：‎ ‎ ………10分 ‎ （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为则 ‎ ‎ ‎ 故截面BEF分三棱锥P—ABC所成上、下两部分体积的比为1：2。……14分 ‎21.（理科）（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程; ‎ ‎（2）当时，求证:. ‎ ‎21.解：（1）依题意，,故,因为,故所求切线方程为. ‎ ‎（2）,令，故，可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为在时取得的极大值，并且也是最大值，即 ‎.又.设,则, 所以的单调递增区间为，单调递减区间为,所以,又，即.‎ ‎22.(本小题满分12分)如图，过点的直线与椭圆相交于两点，过点作轴的平行线交椭圆于点。（1）求证：直线过定点并求点的坐标；（2）求三角形面积的最大值。‎ ‎22.【解】（1）显然直线不垂直轴，设的方程为， ‎ 由得.‎ 由△得或 设， ，则① ②‎ 直线方程为， ‎ 化简得：，将①②代入得 直线过定点 ‎（2）‎ 当且仅当即时取等号。‎