【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版8-2空间几何体的表面积与体积学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版8-2空间几何体的表面积与体积学案

‎§8.2　空间几何体的表面积与体积 最新考纲 考情考向分析 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.‎ 主要考查涉及空间几何体的表面积与体积.常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.‎ ‎1.多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.‎ ‎2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝‎ π(r1＋r2)l ‎3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 ‎(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 ‎(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 ‎(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋‎ S上＋S下 V＝(S上＋S下＋‎ )h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ 概念方法微思考 ‎1.如何求旋转体的表面积？‎ 提示　求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和.‎ ‎2.如何求不规则几何体的体积？‎ 提示　求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(　√　)‎ ‎(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　√　)‎ ‎(3)锥体的体积等于底面积与高之积.(　×　)‎ ‎(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　√　)‎ ‎(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)‎ A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm 答案　B 解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，‎ ‎∴r2＝4，∴r＝2.‎ ‎3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.‎ 答案　1∶47‎ 解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝ abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.‎ 题组三　易错自纠 ‎4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A.12π B.π C.8π D.4π 答案　A 解析　由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.‎ ‎5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.‎ 答案　π 解析　由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为π×22×2－π×22×2＝π.‎ 题型一　求空间几何体的表面积 ‎1.(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)‎ A.12π B.12π C.8π D.10π 答案　B 解析　设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2，‎ ‎∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.‎ ‎‎ ‎2.(2019·抚顺模拟)下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为(　　)‎ A.4＋2＋2 B.4＋4‎ C.2＋4＋2 D.8＋4‎ 答案　A 解析　该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥B1－ACD，‎ 则其表面积为四个面面积之和S＝2×＋×2×2＋×(2)2＝4＋2＋2.‎ 思维升华　空间几何体表面积的求法 ‎(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.‎ ‎(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.‎ 题型二　求空间几何体的体积 命题点1　求以三视图为背景的几何体的体积 例1　(2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)‎ A.90π B.63π C.42π D.36π 答案　B 解析　方法一　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.‎ 将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.‎ 方法二　(估值法)由题意知，V圆柱

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