2018-2019学年河南省南阳市高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河南省南阳市高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省南阳市高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：，‎ 则，据此可得，的虚部为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎2．从图示中的长方形区域内任取一点，则点取自图中阴影部分的概率为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 图中阴影部分的面积为，长方形区域的面积为1×3＝3，‎ 因此，点M取自图中阴影部分的概率为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题．‎ ‎3．某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（）‎ A．6 B．4 C．94 D．96‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知根据正态分布的特点，可得，根据对称性，则，乘以样本个数得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，知，可得，‎ 又由对称轴为，所以，‎ 所以成绩小于分的样本个数为个．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及考查正态分布中两个量和的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题．‎ ‎4．在的展开式中，含的项的系数是（）‎ A．-10 B．5 C．10 D．-5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据，把按二项式定理展开，可得含的项的系数，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，在的展开中为，‎ 所以含的项的系数， ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5．在平面几何里有射影定理：设三角形的两边，是点在上的射影，则.拓展到空间，在四面体中，面，点 是在面内的射影，且在内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由已知在平面几何中，若中，是垂足，则，‎ 类比这一性质，推理出：若三棱锥中，面面，为垂足，‎ 则．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），着重考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎6．已知，是的导数，若的展开式中的系数小于的展开式中的系数，则的取值范围是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由展开式中的系数是，又，所以的展开式中的系数是，得到，继而解得结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数展开式中的系数是，‎ 又，‎ 所以的展开式中x的系数是，‎ 依题意得，解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的计算，其中解答熟记导数的运算公式和二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎7．函数在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的单调性确定的符号，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由函数的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当时，函数单调递增，‎ 所以导数的符号是正，负，正，正，只有选项C符合题意．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性与导数符号之间的关系，其中解答中由的图象看函数的单调性，得出导函数的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎8．在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，‎ 可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎9．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，再由导函数的符号判断出函数的单调性，不等式，构造为，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，则，‎ 所以函数在上是减函数，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，所以，解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中根据条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎10．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（ ）‎ A．72 B．56 C．48 D．40‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别找出从家到水果店，水果店到花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有（种）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合中的乘法原理。属于基础题。‎ ‎11．已知中，若，则的值为（）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及，即可求得 的值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，二项式，‎ 又由，‎ 所以，‎ 其中，由，‎ 可得：，即，‎ 即，解得，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎12．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求得导数，根据在上单调，得出或在上恒成立，分离参数构造新函数，利用导数求得新函数的单调性与最值，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 因为，在上单调，‎ 所以①当在上恒成立时，在上单调递增，‎ 即在上恒成立，则在上恒成立，‎ 令，，则在为增函数，‎ ‎∴．‎ ‎②当在上恒成立时，在上单调递减，‎ 即在上恒成立，则在上恒成立，‎ 同①可得，‎ 综上，可得或．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值问题，用到了分离参数法求参数的范围，恒成立问题的处理及转化与化归思想是本题的灵魂，着重考查了推理与运算能力，属于偏难题．‎ 二、填空题 ‎13．袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球，记事件“第一次摸出的是红球”，事件 ‎“第二次摸出的是白球”，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先第一次摸出红球为事件，第二次摸出白球为事件，分别求出，利用条件概率公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，事件A“第一次摸到红球”的概率为：，‎ 又由“第一次摸到红球且第二次摸到白球”的概率为，‎ 根据条件概率公式，可得，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎14．某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设两项技术指标达标的概率分别为，得到，求得的值，进而得到，可得分布列和的值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设两项技术指标达标的概率分别为，‎ 由题意，得，解得，‎ 所以，即一个零件经过检测为合格品的概率为，‎ 依题意知，所以．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算，其中解答中根据概率的计算公式，求得的值，得到随机变量是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎15．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．‎ ‎【答案】390‎ ‎【解析】【详解】‎ 用2色涂格子有种方法, 用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有种, 所以涂色方法种方法, 故总共有390种方法. 故答案为:390‎ ‎16．已知函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则实数的取值范围是 ‎__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：若存在三个互不相等的实数，使得成立，等价为方程存在三个不相等的实根，由于当时，，只有一个根，则当时，方程存在两个不相等的实根，构造函数，求函数的导数，研究函数的最值，即可得到结论.‎ 详解：若存在三个互不相等的实数，使得成立，‎ 等价为方程存在三个不相等的实根，‎ 当时，，‎ ‎，解得，‎ 当时，，只有一个根.‎ 当时，方程存在两个不相等的实根，‎ 即.‎ 设，‎ ‎，‎ 令，解得，‎ 当，解得，在上单调递增；‎ 当，解得，在上单调递减；‎ 又，，‎ 存在两个不相等的实根，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查导数的综合应用，根据条件转化为方程存在三个不相等的实根，构造函数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大.‎ 三、解答题 ‎17．已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人.（以下问题用数字作答）‎ ‎（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的安排方法？‎ ‎（2）将这6人作为辅导员全部安排到3项不同的活动中，求每项活动至少安排1名辅导员的方法总数是多少？‎ ‎【答案】（1）63种不同的去法（2）种 ‎【解析】（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去1，2，3，4，5，6个人，利用组合数求解即可．‎ ‎（2）第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中，第三类：6人平均分配到三项活动中，求出方法数，推出结果即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中，邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，共有，故共有63种不同的去法．‎ ‎（2）该问题共分为三类：‎ 第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，‎ 共有种；‎ 第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中，共有种；‎ 第三类：6人平均分配到三项活动中，共有种，‎ 所以每项活动至少安排1名辅导员的方法总数为：种．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中正确理解题意，合理分类，正确使用排列、组合求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎18．某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为.‎ 认为作业量大 认为作业量不大 合计 男生 ‎18‎ 女生 ‎17‎ 合计 ‎50‎ ‎（1）请完成上面的列联表；‎ ‎（2）根据列联表的数据，能否有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？‎ 附表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：（其中）‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关.‎ ‎【解析】（I）由已知中在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为，求出认为作业量大的人数，可得列联表；‎ ‎（Ⅱ）根据列联表的数据，计算的值，与临界值比较后可得答案；‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设认为作业量大的共有个人，则，即，‎ 解得或（舍去）；‎ 认为作业量大 认为作业量不大 合计 男生 ‎18‎ ‎8‎ ‎26‎ 女生 ‎7‎ ‎17‎ ‎24‎ 合计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎（Ⅱ）根据列联表中的数据，‎ 得.‎ 因此有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验的计算与应用，其中解答中认真审题，得出的列联表，以及利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎19．设函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）见解析 ‎【解析】（1）先求函数定义域，由导数大于0，得增区间；导数小于0，得减区间；‎ ‎（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的单调性可得lnx＜x﹣1；设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题设，的定义域为，‎ ‎，令，解得． ‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减． ‎ ‎（2）证明：当x∈（1，+∞）时，，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．‎ 由（1）可得f（x）＝lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，‎ 可得f（x）＜f（1）＝0，即有lnx＜x﹣1；‎ 设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）＝1+lnx﹣1＝lnx，‎ 当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）＝0，‎ 即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运用，考查利用导数求函数单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．‎ ‎20．2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型“小绿车”、“小黄车”采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费元不足30分钟的部分按30分钟计算；“小黄车”每30分钟收费1元不足30分钟的部分按30分钟计算有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行各租一车一次设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．‎ 求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；‎ ‎2设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率即可；‎ ‎（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．‎ 记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A．则，‎ 答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，‎ ‎（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，‎ ‎∴；；‎ ‎； ，‎ ‎．‎ 甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为：‎ ξ ‎ 2‎ ‎ 2.5‎ ‎ 3‎ ‎ 3.5‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了相互对立事件的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.‎ ‎21．1，4，9，16……这些数可以用图1中的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第个数为.在图2的杨辉三角中，第行是展开式的二项式系数，，…，，记杨辉三角的前行所有数之和为.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）当时，比较与的大小，并加以证明.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ），证明见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由正方形数的特点知，由二项式定理的性质，求出杨辉三角形第行个数的和，由此能求出和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由时，，时，，证明：时，时，可以逐个验证；证明时，时，可以用数学归纳法证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由正方形数的特点可知；‎ 由二项式定理的性质，杨辉三角第行个数的和为，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ），，所以；‎ ‎，，所以；‎ ‎，，所以；‎ ‎，，所以；‎ ‎，所以；‎ 猜想：当时，；当时，.‎ 证明如下：‎ 证法1：‎ 当时，已证.‎ 下面用数学归纳法证明：当时，.‎ ‎①当时，已证：‎ ‎②假设时，猜想成立，即，所以；‎ 那么，，‎ 所以，当时，猜想也成立．‎ 根据①②，可知当时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的通项公式的求法，以及数学归纳法不等式的证明，其中解答中要认真审题，注意二项式定理和数学归纳法的合理运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时求出的单调性，根据单调性即可求出最大值。‎ ‎（Ⅱ）求出的单调性。当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以 ‎，再判断出的单调性即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，，定义域为.‎ ‎.‎ 令，得.‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ），.令，得.‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.‎ 依题意有，设，‎ 则，所以在上单调递增.‎ 又，故，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的单调性求最值、求含参数的范围、恒成立的问题。是高考中的必考点，也是高考中的压轴题。在解答时应该仔细审题。‎