高中数学必修5能力强化提升2-5习题课

高中数学必修5能力强化提升2-5习题课

习题课 数列求和 双基达标　(限时20分钟) ‎1．数列，，，…，，…的前n项和为 (　　)．‎ A. B. C. D. 答案　B ‎2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为 (　　)．‎ A．11 B．99 C．120 D．121‎ 解析　∵an＝＝－，‎ ‎∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.‎ 答案　C ‎3．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝ (　　)．‎ A.＋ B.＋ C.＋ D．n2＋n 解析　由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，‎ ‎∴d＝，∴Sn＝na1＋d＝＋n.‎ 答案　A ‎4．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，S50＝________.‎ 解析　S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50‎ ‎ ＝(－1)×25＝－25‎ 答案　－25‎ ‎5．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式为________．‎ 解析　a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)‎ ‎＝an＝＝.‎ 答案　an＝ ‎6．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.‎ 解　(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.‎ 所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)‎ ‎(2)Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.‎ ‎7．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为 (　　)．‎ A．1－ B．1－ C. D. 解析　an＝2n－1，设bn＝＝2n－1，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋ ‎3＋…＋2n－1＝＝.‎ 答案　C ‎8．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为 (　　)．‎ A.或5 B.或5‎ C. D. 解析　设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝.‎ 答案　C ‎9．数列1，，，…的前n项和Sn＝________.‎ 解析　由于数列的通项an＝＝＝2，‎ ‎∴Sn＝2 ‎ ＝2＝.‎ 答案　 ‎10．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________.‎ 解析　∵{an}为等比数列，且a1＝，a4＝－4，‎ ‎∴q3＝＝－8，∴q＝－2，‎ ‎∴an＝(－2)n－1，∴|an|＝2n－2，‎ ‎∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|‎ ‎＝＝.‎ 答案　 ‎11．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)求＋＋…＋.‎ 解　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.‎ 依题意有 解得或(舍去)‎ 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.‎ ‎(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，‎ 所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝－.‎ ‎12．(创新拓展)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解　(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1‎ ‎＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.‎ 而a1＝2，符合上式，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.‎ ‎(2)由bn＝nan＝n·22n－1知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①‎ 从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②‎ ‎①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，‎ 即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．‎