高中数学必修5能力强化提升2-5习题课

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高中数学必修5能力强化提升2-5习题课

习题课 数列求和 双基达标 (限时20分钟) ‎1.数列,,,…,,…的前n项和为 (  ).‎ A. B. C. D. 答案 B ‎2.数列{an}的通项公式an=,若前n项的和为10,则项数为 (  ).‎ A.11 B.99 C.120 D.121‎ 解析 ∵an==-,‎ ‎∴Sn=-1=10,∴n=120.‎ 答案 C ‎3.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn= (  ).‎ A.+ B.+ C.+ D.n2+n 解析 由题意设等差数列公差为d,则a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d.又∵a1,a3,a6成等比数列,∴a=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),整理得2d2-d=0.∵d≠0,‎ ‎∴d=,∴Sn=na1+d=+n.‎ 答案 A ‎4.若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,S50=________.‎ 解析 S50=1-2+3-4+…+49-50‎ ‎ =(-1)×25=-25‎ 答案 -25‎ ‎5.如果数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为3的等比数列,则数列的通项公式为________.‎ 解析 a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)‎ ‎=an==.‎ 答案 an= ‎6.设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.‎ 解 (1)设q为等比数列{an}的公比,则由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因此q=2.‎ 所以{an}的通项为an=2·2n-1=2n(n∈N*)‎ ‎(2)Sn=+n×1+×2=2n+1+n2-2.‎ ‎7.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=++…+的结果可化为 (  ).‎ A.1- B.1- C. D. 解析 an=2n-1,设bn==2n-1,则Tn=b1+b2+…+bn=+ ‎3+…+2n-1==.‎ 答案 C ‎8.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为 (  ).‎ A.或5 B.或5‎ C. D. 解析 设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1,且=,解得q=2,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,由求和公式可得S5=.‎ 答案 C ‎9.数列1,,,…的前n项和Sn=________.‎ 解析 由于数列的通项an===2,‎ ‎∴Sn=2 ‎ =2=.‎ 答案  ‎10.在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=________.‎ 解析 ∵{an}为等比数列,且a1=,a4=-4,‎ ‎∴q3==-8,∴q=-2,‎ ‎∴an=(-2)n-1,∴|an|=2n-2,‎ ‎∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|‎ ‎==.‎ 答案  ‎11.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.‎ ‎(1)求an与bn;‎ ‎(2)求++…+.‎ 解 (1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正数,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.‎ 依题意有 解得或(舍去)‎ 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.‎ ‎(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),‎ 所以++…+=+++…+ ‎= ‎= ‎=-.‎ ‎12.(创新拓展)设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解 (1)由已知,当n≥1时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1‎ ‎=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.‎ 而a1=2,符合上式,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.‎ ‎(2)由bn=nan=n·22n-1知 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1,①‎ 从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②‎ ‎①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,‎ 即Sn=[(3n-1)22n+1+2].‎
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