甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 兰州一中2019-2020-2学期高一年级期中考试试题 数学 命题：张璐颖 审题：谢艳敏 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，‎ 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下列角中终边与330°相同的角是（　　）‎ A．﹣30° B．30° C．﹣630° D．630°‎ ‎2．下列说法正确的个数是（　　）‎ ‎①小于90°的角是锐角；‎ ‎②钝角一定大于第一象限角；‎ ‎③第二象限的角一定大于第一象限的角；‎ ‎④始边与终边重合的角为0°．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（　　）‎ A．2 B．‎2‎sin1‎ C．2sin1 D．sin2‎ ‎4．已知tanx‎=‎‎4‎‎3‎，且x在第三象限，则cosx＝（　　）‎ A．‎4‎‎5‎ B．‎3‎‎5‎ C．‎-‎‎4‎‎5‎ D．‎‎-‎‎3‎‎5‎ ‎5．已知角α的终边经过点（m，‎3‎m），若α‎=‎‎7π‎3‎，则m的值为（　　）‎ A．27 B．‎1‎‎27‎ C．9 D．‎‎1‎‎9‎ ‎6．下列能使cosθ＜sinθ＜tanθ成立的θ所在区间是（　　）‎ A．‎(0，π‎4‎)‎ B．‎(π‎4‎，π‎2‎)‎ C．‎(π‎2‎，π)‎ D．‎‎(‎5π‎4‎，‎3π‎2‎)‎ ‎7．已知sinα•cosα‎=‎‎1‎‎8‎，且0＜α‎＜‎π‎4‎，则sinα﹣cosα＝（　　）‎ A．‎3‎‎2‎ B．‎3‎‎4‎ C．‎-‎‎3‎‎2‎ D．﹣‎‎3‎‎4‎ ‎8．已知sin（α+75°）‎=‎‎1‎‎2‎，则cos（α﹣15°）＝（　　）‎ A．‎-‎‎3‎‎2‎ B．‎3‎‎2‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎9．已知函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|‎＜‎π‎2‎）的部分图象如图所示，则 （　　）‎ A．ω＝1，φ‎=‎π‎6‎ B．ω＝1，φ‎=-‎π‎6‎ C．ω＝2，φ‎=‎π‎6‎ D．ω＝2，φ‎=-‎π‎6‎ ‎10．根据如下样本数据，得到回归方程，则（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2.0‎ ‎﹣3.0‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|‎＜‎π‎2‎）的最小正周期是π，若其图象向右平移π‎3‎ 个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f（x）的图象（　　）‎ A．关于点（π‎12‎，0）对称 B．关于直线x‎=‎π‎12‎对称 ‎ C．关于点（‎5π‎12‎，0）对称 D．关于直线x‎=‎‎5π‎12‎对称 ‎12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|‎＜‎π‎2‎）的图象过点B（0，﹣1），且在（π‎18‎，π‎3‎）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（‎-‎‎17π‎12‎，‎-‎‎2π‎3‎），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（　　）‎ A．‎-‎‎3‎ B．﹣1 C．1 D．‎‎3‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 一、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．315°＝　 　弧度，‎7‎‎12‎π弧度＝　 　．‎ ‎14．当0＜x＜π时，使tanx＜﹣1成立的x的取值范围为　 　．‎ ‎15．函数y=sinx+‎‎16-‎x‎2‎的定义域是　 　．‎ ‎16．函数f(x)=sin(ωx+π‎4‎)‎在‎(π‎2‎，π)‎上单调递减，则正实数ω的取值范围是　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题10分）‎ ‎△ABC中，AD‎→‎‎=‎‎1‎‎4‎AB‎→‎，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于 点N，设AB‎→‎‎=‎a‎→‎，AC‎→‎‎=‎b‎→‎，用a‎→‎、b‎→‎分别表示向量DE‎→‎、AN‎→‎．‎ ‎18．（本小题12分）‎ 已知角α的终边经过点P(m，2‎2‎)‎，sinα=‎‎2‎‎2‎‎3‎且α为第二象限角．‎ ‎（1）求实数m和tanα的值；‎ ‎（2）若tanβ=‎‎2‎，求sinαcosβ+sin(π‎2‎+α)sinβcos(π+α)cos(-β)-cos(‎3π‎2‎-α)sinβ的值．‎ ‎19．（本小题12分）‎ 如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点 ‎（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；‎ ‎（2）在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8‎2‎的概率．‎ ‎20．（本小题12分）‎ 某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：‎ t ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y ‎10‎ ‎13‎ ‎9.9‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎10.1‎ ‎7‎ ‎10‎ 经过长期观测，y＝f（t）可近似的看成是函数y＝Asinωt+b ‎（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；‎ ‎（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？‎ ‎21．（本小题12分）‎ 为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上 随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将 每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产 品为一等品．‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）求综合评分的中位数；‎ ‎（3）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽 取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中至多有一个一等品的概率．‎ ‎22．（本小题12分）‎ 已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ‎＜‎π‎2‎）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点 之间的距离为π‎4‎，且图象过点M（π‎3‎‎，-1‎）‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（3）将函数f（x）的图象向右平移π‎8‎个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k＝0，在区间[0，π‎2‎]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．‎ ‎ ‎ 兰州一中2019-2020-2学期高一年级期中考试试题 数学 命题：张璐颖 审题：谢艳敏 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，‎ 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 1． A 2．B 3．A 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B 二、填空题（共4小题）‎ ‎13．‎7π‎4‎，　105° 14．（π‎2‎，‎3π‎4‎） 15．[﹣4，﹣π]∪[0，π] 16．[‎1‎‎2‎，‎5‎‎4‎]‎ 三、解答题（共6小题）‎ ‎17．△ABC中，AD‎→‎‎=‎‎1‎‎4‎AB‎→‎，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设AB‎→‎‎=‎a‎→‎，AC‎→‎‎=‎b‎→‎，用a‎→‎、b‎→‎分别表示向量DE‎→‎、AN‎→‎．‎ ‎【解答】解：如图，△ABC中，‎ ‎∵AD‎→‎‎=‎‎1‎‎4‎AB‎→‎，DE∥BC，且与边AC相交于点E，‎ ‎△ABC的中线AM与DE相交于点N，‎ ‎∴DE‎→‎‎=‎1‎‎4‎BC‎→‎=‎1‎‎4‎(AC‎→‎-AB‎→‎)‎，‎ AN‎→‎‎=‎1‎‎4‎AM‎→‎=‎1‎‎4‎[‎1‎‎2‎(AB‎→‎+AC‎→‎)]=‎1‎‎8‎(AB‎→‎+AC‎→‎)‎‎．‎ ‎∵AB‎→‎‎=‎a‎→‎，AC‎→‎‎=‎b‎→‎，‎ DE‎→‎‎=‎1‎‎4‎(b‎→‎-a‎→‎)‎‎，AN‎→‎‎=‎1‎‎8‎(a‎→‎+b‎→‎)‎．‎ ‎18．已知角α的终边经过点P(m，2‎2‎)‎，sinα=‎‎2‎‎2‎‎3‎且α为第二象限角．‎ ‎（1）求实数m和tanα的值；‎ ‎（2）若tanβ=‎‎2‎，求sinαcosβ+sin(π‎2‎+α)sinβcos(π+α)cos(-β)-cos(‎3π‎2‎-α)sinβ的值．‎ ‎【解答】解：（1）由三角函数定义可知sinα=‎2‎‎2‎‎3‎=‎‎2‎‎2‎m‎2‎‎+8‎，解得m＝±1，∵α为第二象限角，∴m＝﹣1，‎ 所以tanα=‎2‎‎2‎m=-2‎‎2‎．‎ ‎（2）原式‎=sinαcosβ+sin(π‎2‎+α)sinβcos(π+α)cos(-β)-cos(‎3π‎2‎-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ‎-cosαcosβ+sinαsinβ=tanα+tanβ‎-1+tanαtanβ=‎-2‎2‎+‎‎2‎‎-1+(-2‎2‎)×‎‎2‎=‎‎2‎‎5‎．‎ ‎19．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点 ‎（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；‎ ‎（2）在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8‎2‎的概率．‎ ‎【解答】解：（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP3个，‎ 所以这3个点组成直角三角形的概率P‎=‎‎3‎‎10‎．‎ ‎（2）连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，‎ 易求得OD＝2‎2‎，‎ 当S点在线段MP上时，S△ABS‎=‎1‎‎2‎×‎2‎2‎‎×‎8＝8‎2‎，‎ 所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于8‎2‎，而 S阴影＝S扇形OMP﹣S△OMP‎=‎1‎‎2‎×π‎2‎×‎42‎-‎1‎‎2‎×‎42＝4π﹣8，‎ 所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8‎2‎的概率P‎=‎4π-8‎‎8π=‎π-2‎‎2π．‎ ‎20．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：‎ t ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y ‎10‎ ‎13‎ ‎9.9‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎10.1‎ ‎7‎ ‎10‎ 经过长期观测，y＝f（t）可近似的看成是函数y＝Asinωt+b ‎（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；‎ ‎（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？‎ ‎【解答】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，‎ ‎∴b=‎13+7‎‎2‎=‎10，‎A=‎13-7‎‎2‎=3‎ 且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，‎ 因此T=‎2πω=12‎，ω=‎π‎6‎，‎ 故f(t)=3sinπ‎6‎t+10‎（0≤t≤24）‎ ‎（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即‎3sinπ‎6‎t+10≥11.5‎ ‎∴sinπ‎6‎t≥‎‎1‎‎2‎，‎‎2kπ+π‎6‎≤π‎6‎t≤‎5π‎6‎+2kπ 解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z 又0≤t≤24‎ 当k＝0时，1≤t≤5；‎ 当k＝1时，13≤t≤17；‎ 故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．‎ ‎21．为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）求综合评分的中位数；‎ ‎（3）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中至多有一个一等品的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由频率和为1，得（0.005+0.010+0.025+a+0.020）×10＝1，a＝0.040；‎ ‎（2）设综合评分的中位数为x，则（0.005+0.010+0.025）×10+0.040×（x﹣80）＝0.5，‎ 解得x＝82.5所以综合评分的中位数为82.5．‎ ‎（3）由频率分布直方图知，一等品的频率为（0.040+0.020）×10＝0.6，即概率为0.6；‎ 所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；‎ 所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a、b、c，非一等品2个，记为D、E；‎ 从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种；‎ 抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE共7种，‎ 所以所求的概率为P‎=‎‎7‎‎10‎．‎ ‎22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ‎＜‎π‎2‎）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π‎4‎，且图象过点M（π‎3‎‎，-1‎）‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（3）将函数f（x）的图象向右平移π‎8‎个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k＝0，在区间[0，π‎2‎]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意：图象与x轴的交点，相邻两个交点之间的距离为π‎4‎，即‎1‎‎2‎T=‎π‎4‎，即T‎=‎π‎2‎；‎ ‎∵T‎=π‎2‎=‎‎2πω，解得：ω＝4，那么：f（x）＝sin（4x+φ）．‎ ‎∵0＜φ‎＜‎π‎2‎．图象过点M（π‎3‎‎，-1‎）带入可求得φ‎=‎π‎6‎，‎ ‎∴解析式f(x)=sin(4x+π‎6‎)‎；‎ ‎（2）由正弦函数的性质可知：‎4x+‎π‎6‎∈[2kπ‎-‎π‎2‎，2kπ‎+‎π‎2‎]，（k∈Z）是单调递增区间，即：2kπ ‎-π‎2‎≤4x+π‎6‎≤‎‎2kπ‎+‎π‎2‎]，解得：‎1‎‎2‎kπ‎-π‎6‎≤‎x‎≤‎‎1‎‎2‎kπ‎+‎π‎12‎]，（k∈Z）‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为：‎[-π‎6‎+kπ‎2‎，π‎12‎+kπ‎2‎]，k∈Z；‎ ‎（3）由（1）可知：f(x)=sin(4x+π‎6‎)‎；将f（x）的图象向右平移π‎8‎个单位后，得到y=sin(4x-π‎3‎)‎的图象，‎ 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin(2x-π‎3‎)‎的图象．即g（x）＝sin（2x‎-‎π‎3‎）‎ ‎∵‎‎0≤x≤‎π‎2‎ ‎∴‎-π‎3‎≤‎2x‎-π‎3‎≤‎‎2π‎3‎ g（x）+k＝0在[0，π‎2‎]上只有一个实数解，即图象g（x）与y＝﹣k，只有一个交点，‎ 当x‎=-‎π‎3‎时，g（x）图象取得最低点，即g（‎-‎π‎3‎）‎=-‎‎3‎‎2‎．由正弦函数图象可知：‎-‎3‎‎2‎＜k≤‎‎3‎‎2‎时只有一个交点，以及k＝﹣1时，也有一个交点．即实数k的取值范围为：‎-‎3‎‎2‎＜k≤‎‎3‎‎2‎或k＝﹣1．‎