【数学】2020届一轮复习江苏版高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题学案
高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题
题型一 三角函数的图象和性质
例1 设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
解 (1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y＝2sin＋－1的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，
得到y＝2sin x＋－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋－1.
所以g＝2sin ＋－1＝.
思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)的单调区间；
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
解 (1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝5＝5sin，
所以函数的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．
题型二 解三角形
例2 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求角A和边长c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解 (1)∵sin A＋cos A＝0，
∴tan A＝－，
又0
0，且α∈(0，π)，
所以当tan α取最大值时，α也取得最大值．
答 游客在观赏亭P处的观察效果最佳时，sin θ＝.
1．(2018·江苏联考)设函数f(x)＝2tan ·cos2 －2cos2 ＋1.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)在[－π，0]上的最值．
解 (1)f(x)＝2sin cos －cos
＝sin －cos
＝sin －cos ＋sin
＝sin .
由≠＋kπ(k∈Z)，
得f(x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，
故f(x)的最小正周期为T＝＝4π.
(2)∵－π≤x≤0，∴－≤－≤－.
∴当－∈，
即x∈时，f(x)单调递减，
当－∈，
即x∈时，f(x)单调递增，
∴f(x)min＝f＝－，
又f(0)＝－，f(－π)＝－，
∴f(x)max＝f(0)＝－.
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(x)<3，求x的取值范围．
解 (1)由题意得A＝6，＝－＝，∴T＝π，
∴＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝6sin(2x＋φ)，
又f(x)过点，∴6sin＝6，
∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝6sin.
(2)6sin<3，即sin<，
在区间中，要使sin<，
则－<2x－<，
所以－＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z，
解得kπ－0)，
则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，
即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，
解得x＝1(负值舍去)，所以a＝7，c＝5，
故S△ABC＝acsin B＝10.
5．(2018·江苏省南京市溧水高级中学模拟)如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到A，B之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元(其中a是正数)．设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．
(1)写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
(2)问：中转点D距离A处多远时，S最小？
解 (1)由题意知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.
由正弦定理知＝＝，
即CD＝，AD＝，
所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝(12CD－4AD＋80)a
＝a＋80a
＝a＋60a.
(2)S′＝20··a，
令S′＝0，得cos α＝，
当cos α>时，S′<0；
当cos α<时，S′>0，
所以当cos α＝时，S取得最小值，
此时sin α＝，AD＝
＝5＋＝，
所以中转点D距A处 千米时，运输成本S最小．
6．已知函数f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点(0,0)．
(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．
解 (1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t＝2sin＋t，
f(x)的最小正周期为＝，∴ω＝2，
∵f(x)的图象过点(0,0)，∴2sin＋t＝0，
∴t＝－1，即f(x)＝2sin－1.
令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
求得－≤x≤＋，k∈Z，
故f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得
y＝2sin－1＝2sin－1的图象，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin－1的图象．
∵x∈，∴2x－∈，∴sin∈，
故g(x)＝2sin－1在区间上的值域为.
若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，
由题意可知，函数g(x)＝2sin－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，
根据图象(图略)可知，k＝－1或1－
查看更多
