2020届二轮复习空间点线面的位置关系教案（全国通用）

2020届二轮复习空间点线面的位置关系教案（全国通用）

‎2020届二轮复习 空间点线面的位置关系 教案（全国通用）‎ 类型一、异面直线的判定 例1已知空间四边形ABCD.‎ ‎(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;‎ ‎(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;‎ ‎(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.‎ ‎【证明】(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，‎ 所以A、B、C、D四点共面 这与空间四边形ABCD的定义矛盾 所以对角线AC与BD是异面直线 ‎ (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.‎ 同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.‎ 又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.‎ ‎∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.‎ ‎(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.‎ ‎【点评】在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】如图所示，正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，M、N分别是A1B1、B‎1C1的中点。问：‎ ‎（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。‎ ‎【解析】（1）不是异面直线。理由：连接MN、A‎1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B‎1C1‎ 的中点，∴MN// A‎1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A‎1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。‎ ‎（2）是异面直线。证明如下：‎ ‎∵ABCD-A1B‎1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B‎1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线 ‎【点评】（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。‎ 类型二、平面的基本性质及平行公理的应用 例2如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点。‎ ‎（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）方法一：‎ 方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，，∵BEAF，∴B为MA中点。∵‎ BCAD，∴B为中点，∴M与重合，即FE与DC交于点M（），∴C、D、F、E四点共面。‎ ‎【点评】（1）G、H为中点GHAD，又BCAD GHBC；（2）方法一：证明D点在EF、GJ确定的平面内。方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，，可证M与 重合，从而FE与DC相交。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知，从平面外一点引向量 ‎，‎ ‎（1）求证：四点共面；（2）平面平面．‎ ‎【解析】法一：（1）∵四边形是平行四边形，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴共面；‎ ‎（2）∵，又∵，‎ ‎∴‎ 所以，平面平面．‎ 法二：（1）‎ ‎∴‎ ‎∴ 同理 又 ∴‎ ‎∴共面；‎ ‎（2）由（1）知：，从而可证 同理可证，所以，平面平面．‎ 类型三、异面直线所成的角 例3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。‎ ‎【答案】取AC的中点G，连接EG、FG，则EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。‎ ‎∵ＡＢ与CD所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。‎ ‎【解析】要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。‎ ‎【点评】（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；‎ ‎（2）求异面直线所成角的步骤：‎ ‎①作：通过作平行线，得到相交直线；‎ ‎②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；‎ ‎③求：通过解三角形，求出该角。‎ 类型四、点共线、线共点、线共面问题 例4．如图，已知：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：FE、HG、DC三线共点．‎ 证明：连结C1B，HE，FG，由题意知HC1平行与EB，∴四边形HC1BE是平行四边形．‎ ‎∴HE∥C1B.‎ 又C‎1G＝GC＝CF＝BF，‎ 故GFC1B，‎ ‎∴GF∥HE，且GF≠HE，‎ ‎∴HG与EF相交．‎ 设交点为K，‎ 则K∈HG，‎ HG⊂平面D1C1CD，‎ ‎∴K∈平面D1C1CD.‎ ‎∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD.‎ ‎∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，‎ ‎∴K∈DC，∴FE、HG、DC三线共点。‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：空间点线面的位置关系例2】‎ ‎【变式】如右图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K。求证：M、N、K三点共线。‎ ‎【证明】 因为M∈PQ平面PQR，M∈BC平面BCD，又因为M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上。‎ 同理可证：N、K也在l上，所以M、N、K三点共线。‎ 例5．. 如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，‎ A B E C D F A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 求证：(1) E、C、D1、F四点共面；‎ ‎(2) CE、D1F、DA三线共点．‎ ‎【证明】(1) 连结A1B 则EF∥A1B A1B∥D‎1C ‎∴EF∥D1C ∴E、F、D1、C四点共面 ‎(2) 面D1A∩面CA＝DA ‎∴EF∥D‎1C 且EF＝D‎1C ‎∴D1F与CE相交 又D1F面D1A，CE面AC ‎∴D1F与CE的交点必在DA上 ‎∴CE、D‎1F、DA三线共点．‎ ‎【高清课堂：空间点线面的位置关系例3】‎ ‎【变式】在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，‎ 求证：CE、D‎1F、DA三线共点 ‎【证明】因为EF//CD1且等于CD1，所以分别连接D‎1F、CE并延长交于一点P。‎ 因为D1F平面A1D1DA，所以P∈平面A1D1DA 又因为CE平面AC，所以P∈平面ABCD，因为平面A1D1DA∩平面ABCD=AD，‎ 所以P∈AD，所以CE、D‎1F、DA三线共点。‎