数学卷·2018届湖北省黄冈市蕲春县高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届湖北省黄冈市蕲春县高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年湖北省黄冈市蕲春县高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．下列否定不正确的是（　　）‎ A．“∀x∈R，x2＞0””的否定是“∃x0∈R，x02≤0”‎ B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”‎ C．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1‎ D．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”‎ ‎2．方程+=1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（　　）‎ ‎①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4‎ ‎②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4‎ ‎③曲线C不可能是圆 ‎④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（　　）‎ A．2 B．±2 C．± D．‎ ‎4．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（　　）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎5．已知定点F，定直线l和动点M，设M到l的距离为d，则“|MF|=d”是“M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　）‎ A．， B． C． D．‎ ‎7．已知F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（　　）‎ A．3 B．6 C．3 D．2‎ ‎8．已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程：‎ ‎①4x+2y﹣1=0； ‎ ‎②x2+y2=3； ‎ ‎③+y2=1； ‎ ‎④﹣y2=1．‎ 在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（　　）‎ A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④‎ ‎9．动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点（　　）‎ A．（4，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）‎ ‎10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎11．点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．如图F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．抛物线y=4x2的准线方程为　　．‎ ‎14．设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量=（mx，y+1），向量，⊥，动点M（x，y）的轨迹为E，则轨迹E的方程为　　．‎ ‎15．已知直线l：xcosθ+ysinθ=cosθ与y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，则+=　　．‎ ‎16．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作l交椭圆于P、Q两点，使PB2垂直QB2，求直线l的方程　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；‎ ‎（1）当时，求AB的长；‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．‎ ‎18．已知命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＞0的解集为R；命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数，当甲、乙有且只有一个是真命题时，求实数a的取值范围．‎ ‎19．已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．‎ ‎（1）求W的方程；‎ ‎（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．‎ ‎20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．‎ ‎21．是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省黄冈市蕲春县高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．下列否定不正确的是（　　）‎ A．“∀x∈R，x2＞0””的否定是“∃x0∈R，x02≤0”‎ B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”‎ C．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1‎ D．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用特称命题与全称命题的否定形式判断即可．‎ ‎【解答】解：推出明天的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，考察选项，只有B不满足命题的否定形式，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．方程+=1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（　　）‎ ‎①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4‎ ‎②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4‎ ‎③曲线C不可能是圆 ‎④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】轨迹方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】利用椭圆、双曲线的定义，结合标准方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由4﹣t=t﹣1，可得t=，方程+=1表示圆，故①③不正确；‎ 由双曲线的定义可知：当（4﹣t）（t﹣1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程+=1表示双曲线，故③正确；‎ 由椭圆定义可知：当椭圆在x轴上时，满足4﹣t＞t﹣1＞0，即1＜t＜时方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，故④正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（　　）‎ A．2 B．±2 C．± D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，‎ 故弦心距等于半径的倍，等于=，‎ 故有=，求得 k=±2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（　　）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．‎ ‎【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，‎ 设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，‎ 由抛物线的定义知：‎ ‎|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．已知定点F，定直线l和动点M，设M到l的距离为d，则“|MF|=d”是“M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据抛物线的定义和利用充分条件和必要条件的定义进行判断 ‎【解答】解：“M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线”⇒“|MF|=d”，反之不成立，直线经过定点F，其轨迹不是抛物线．‎ 因此“|MF|=d”是“M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　）‎ A．， B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k＜﹣1联立求得k的范围．‎ ‎【解答】解：渐近线方程为y=±x，由消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10=0‎ 设（k2﹣1）x2+4kx+10=0的两根为x1，x2，‎ ‎∵直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，‎ ‎∴，∴k＜0，‎ ‎∴‎ 故选D ‎　‎ ‎7．已知F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（　　）‎ A．3 B．6 C．3 D．2‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意画出图形，利用⊥及△PF1F2的面积为9列式求得|PF1||PF2|=18．再由勾股定理及椭圆定义即可求得b．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵⊥，∴△PF1F2为直角三角形，‎ 又△PF1F2的面积为9，∴，得|PF1||PF2|=18．‎ 在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：，‎ ‎∴，即2（a2﹣c2）=|PF1||PF2|=18，‎ 得b2=a2﹣c2=9，∴b=3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程：‎ ‎①4x+2y﹣1=0； ‎ ‎②x2+y2=3； ‎ ‎③+y2=1； ‎ ‎④﹣y2=1．‎ 在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（　　）‎ A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．根据M，N的坐标求得MN垂直平分线的方程，分别于题设中的方程联立，看有无交点即可．‎ ‎【解答】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．‎ MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为=‎ ‎∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），‎ ‎∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．‎ ‎②x2+y2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x2﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，‎ ‎③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x2﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，‎ ‎④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x2﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，‎ 故选D ‎　‎ ‎9．动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点（　　）‎ A．（4，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线的解析式确定出焦点坐标与准线方程，根据动圆恒与直线x+2=0相切，而x+2=0为准线方程，利用抛物线的定义可得出动圆一定过抛物线的焦点．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=8x，得到准线方程为x+2=0，焦点坐标为（2，0），‎ ‎∵动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，‎ ‎∴动圆必经过定点（2，0）．‎ 故选B ‎　‎ ‎10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．‎ ‎【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，‎ ‎∵=4，‎ ‎∴|PQ|=3d，‎ ‎∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，‎ ‎∵F（2，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），‎ 与y2=8x联立可得x=1，‎ ‎∴|QF|=d=1+2=3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】设A（0，﹣1），先求出焦点及准线方程，过P作PN 垂直直线x=﹣1，有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，从而只求|FA|．‎ ‎【解答】解：设A（0，﹣1），由y2=4x得p=2， =1，所以焦点为F（1，0），准线x=﹣1，‎ 过P作PN 垂直直线x=﹣1，根据抛物线的定义，‎ 抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离，‎ 所以有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，‎ 所以P为AF与抛物线的交点，点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值为|FA|=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．如图F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【分析】由题设条件知，把A代入椭圆，得，整理，得e4﹣8e2+4=0，由此能够求出椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意知，‎ 把A代入椭圆，得，‎ ‎∴（a2﹣c2）c2+3a2c2=4a2（a2﹣c2），‎ 整理，得e4﹣8e2+4=0，‎ ‎∴，‎ ‎∵0＜e＜1，∴．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．抛物线y=4x2的准线方程为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．‎ ‎【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=‎ ‎∵抛物线方程开口向上，‎ ‎∴准线方程是y=﹣‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量=（mx，y+1），向量，⊥，动点M（x，y）的轨迹为E，则轨迹E的方程为　mx2+y2=11　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】利用向量=（mx，y+1），向量，⊥，可得mx2+（y+1）（y﹣1）=0，即可求出轨迹E的方程．‎ ‎【解答】解：∵向量=（mx，y+1），向量，⊥，‎ ‎∴mx2+（y+1）（y﹣1）=0‎ ‎∴mx2+y2=1，‎ 故答案为mx2+y2=1．‎ ‎　‎ ‎15．已知直线l：xcosθ+ysinθ=cosθ与y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，则+=　1　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入+=答案可得．‎ ‎【解答】解：易知F坐标（1，0），准线方程为x=﹣1．直线l：xcosθ+ysinθ=cosθ过（1，0）．‎ 可设过F点直线方程为y=k（x﹣1）‎ 代入抛物线方程，得 k2（x﹣1）2=4x．‎ 化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则有x1x2=1，‎ 根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，‎ ‎∴+===1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎16．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作l交椭圆于P、Q两点，使PB2垂直QB2，求直线l的方程　x+2y+2=0和x﹣2y+2=0　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意设出椭圆的标准方程，结合已知列式求出椭圆方程，再设出直线l的方程x=my﹣2，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系结合向量数量积为0列式求得m值，则直线方程可求．‎ ‎【解答】解：设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F2（c，0）．‎ ‎∵△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，∴∠B1AB2为直角，‎ 因此|OA|=|OB2|，得b=．‎ 结合c2=a2﹣b2，得4b2=a2﹣b2，故a2=5b2，c2=4b2，∴离心率e==．‎ 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故=•|B1B2|•|OA|=|OB2|•|OA|=•b=b2．‎ 由题设条件△AB1B2的面积为4，得b2=4，从而a2=5b2=20．‎ 因此所求椭圆的标准方程为：．‎ 则B1（﹣2，0），B2（2，0）．‎ 由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x=my﹣2．‎ 代入椭圆方程得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．‎ 又，‎ ‎∴由PB2⊥QB2，得，‎ 即16m2﹣64=0，解得m=±2．‎ ‎∴满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0，‎ 故答案为：x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；‎ ‎（1）当时，求AB的长；‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；直线的倾斜角；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）根据直线的倾斜角求出斜率．因为直线AB过P0（﹣1，2），可表示出直线AB的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离，根据勾股定理求出弦的一半，乘以2得到弦AB的长；‎ ‎（2）因为弦AB被点P0平分，先求出OP0的斜率，然后根据垂径定理得到OP0⊥AB，由垂直得到两条直线斜率乘积为﹣1，求出直线AB的斜率，然后写出直线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）直线AB的斜率k=tan=﹣1，‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0‎ ‎∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d==‎ ‎∴弦长|AB|=2=2=．‎ ‎（2）∵P0为AB的中点，OA=OB=r，‎ ‎∴OP0⊥AB 又==﹣2，∴kAB=‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=0‎ ‎　‎ ‎18．已知命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＞0的解集为R；命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数，当甲、乙有且只有一个是真命题时，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＞0的解集为R列式求出a的范围，再利用函数y=（2a2﹣a）x为增函数解不等式求得a的范围，然后通过交集、补集运算求出甲真乙假与甲假乙真时实数a的取值集合，取并集得到实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：当甲为真命题时，A={a|（a﹣1）2﹣4a2＜0}={a|a＜﹣1或a＞}，‎ 当乙为真命题时，B={a|2a2﹣a＞1}={a|或a＞1}．‎ ‎∴当甲真乙假时，集合M=A∩（∁RB）={a|}；‎ 当甲假乙真时，集合N=（∁RA）∩B={a|﹣1}．‎ ‎∴当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是M∪N={a|﹣1或}．‎ ‎　‎ ‎19．已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．‎ ‎（1）求W的方程；‎ ‎（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）利用双曲线的定义，可求W的方程；‎ ‎（2）设点的坐标，利用向量的数量积公式，结合基本不等式，可求的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）据题意M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件，‎ ‎∴‎ ‎∴动点P的轨迹为双曲线的右支，且c=2，a=，‎ ‎∴曲线方程为x2﹣y2=2（x≥）；‎ ‎（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），x1≥，x2≥，则x1x2≥2‎ ‎∴=x1x2+y1y2=x1x2﹣×≥x1x2﹣=x1x2﹣|x1x2﹣2|‎ ‎=x1x2﹣（x1x2﹣2）=2‎ ‎∴的最小值是2．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为．‎ ‎（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，‎ 则右焦点F（）由题设 解得a2=3故所求椭圆的方程为；‎ ‎（2）设P为弦MN的中点，由 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0‎ 由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①‎ ‎∴从而 ‎∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，‎ 则即2m=3k2+1②‎ 把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．‎ 故所求m的取范围是（）．‎ ‎　‎ ‎21．是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】假设存在，设出点的坐标，联立方程可表示出AB的斜率，根据已知条件确定直线AB的斜率，进而求得y1+y2的值，则AB的中点的纵坐标可求，带入直线求得x，进而求得直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：假定在抛物线y2=8x上存在这样的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 则有： ‎ ‎∵线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分，且，‎ ‎∴kAB=5，即．‎ 设线段AB的中点为．‎ 代入x+5y﹣5=0得x=1．‎ ‎∴AB中点为．故存在符合题设条件的直线，其方程为：．‎ ‎　‎ ‎2016年12月9日