高考文科数学复习：夯基提能作业本 (61)

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第二节　等差数列及其前n项和 A组　基础题组 ‎1.若等差数列{an}的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7=(　　)‎ A.12 B.13 C.14 D.15‎ ‎2.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=(　　)‎ A.‎17‎‎2‎ B.‎19‎‎2‎ C.10 D.12‎ ‎3.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(　　)‎ A.100 B.99 C.98 D.97‎ ‎4.(2016湖北黄冈检测)在等差数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=(　　)‎ A.95 B.100 C.135 D.80‎ ‎5.在等差数列{an}中,a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,则m的值为(　　)‎ A.37 B.36 C.20 D.19‎ ‎6.若数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2,则使ak·ak+1<0的k值为(　　)‎ A.22 B.21 C.24 D.23‎ ‎7.若等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于　　　　. ‎ ‎8.已知等差数列{an}中,an≠0(n∈N*),若对任意的n≥2有an-1+an+1-an‎2‎=0且S2m-1=38,则m等于　　　　. ‎ ‎9.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为　　　　. ‎ ‎10.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1‎‎2an-1‎+1‎(n∈N*,n≥2),数列{bn}满足关系式bn=‎1‎an(n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列{bn}为等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ B组　提升题组 ‎11.设Sn为等差数列{an}的前n项和,(n+1)Sn0,得n<23.5,所以使ak·ak+1<0的k值为23.‎ ‎7.答案　3‎ 解析　因为S17=a‎1‎‎+‎a‎17‎‎2‎×17=17a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质知a5+a13=a7+a11,所以a5-a7+a9-a11+a13=3.‎ ‎8.答案　10‎ 解析　∵2an=an-1+an+1(n≥2),‎ 又an-1+an+1-an‎2‎=0(n≥2),‎ ‎∴2an-an‎2‎=0(n≥2),即an(2-an)=0(n≥2).‎ ‎∵an≠0,∴an=2(n≥2),又{an}是等差数列,‎ ‎∴an=2(n∈N*).‎ ‎∴S2m-1=2(2m-1)=38,解得m=10.‎ ‎9.答案　‎‎-1,-‎‎7‎‎8‎ 解析　由题意知d<0且a‎8‎‎>0,‎a‎9‎‎<0,‎ 即‎7+7d>0,‎‎7+8d<0,‎解得-10,a7<0,所以数列{an}的前7项为负值,即Sn的最小值是S7.‎ ‎12.答案　5‎ 解析　由等差数列的性质知,anbn=A‎2n-1‎B‎2n-1‎=‎14n+38‎‎2n+2‎=‎7n+19‎n+1‎=7+‎12‎n+1‎,故当n=1,2,3,5,11时,anbn为整数,故使得anbn为整数的正整数n的个数是5.‎ ‎13.答案　-49‎ 解析　由已知得‎10a‎1‎+45d=0,‎‎15a‎1‎+105d=25,‎ 解得a1=-3,d=‎2‎‎3‎,‎ 则Sn=-3n+n(n-1)‎‎2‎·‎2‎‎3‎=‎1‎‎3‎(n2-10n),‎ 所以nSn=‎1‎‎3‎(n3-10n2),‎ 令f(x)=‎1‎‎3‎(x3-10x2),‎ 则 f '(x)=x2-‎20‎‎3‎x=xx-‎‎20‎‎3‎,‎ 当x∈‎1,‎‎20‎‎3‎时, f(x)递减,‎ 当x∈‎20‎‎3‎‎,+∞‎时, f(x)递增,‎ 又6<‎20‎‎3‎<7, f(6)=-48, f(7)=-49,所以nSn的最小值为-49.‎ ‎14.解析　(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.‎ 解得a1=1,d=‎2‎‎5‎.‎ 所以{an}的通项公式为an=‎2n+3‎‎5‎.‎ ‎(2)由(1)知,bn=‎2n+3‎‎5‎.‎ 当n=1,2,3时,1≤‎2n+3‎‎5‎<2,bn=1;‎ 当n=4,5时,2≤‎2n+3‎‎5‎<3,bn=2;‎ 当n=6,7,8时,3≤‎2n+3‎‎5‎<4,bn=3;‎ 当n=9,10时,4≤‎2n+3‎‎5‎<5,bn=4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.‎ ‎15.解析　∵2an+1=an+an+2,‎ ‎∴an+1-an=an+2-an+1,‎ 故数列{an}为等差数列.‎ 设数列{an}的公差为d,由a3=10,S6=72得,a‎1‎‎+2d=10,‎‎6a‎1‎+15d=72,‎解得a1=2,d=4.‎ ‎∴an=4n-2,则bn=‎1‎‎2‎an-30=2n-31,‎ 令bn‎≤0,‎bn+1‎‎≥0,‎即‎2n-31≤0,‎‎2(n+1)-31≥0,‎解得‎29‎‎2‎≤n≤‎31‎‎2‎,∵n∈N*,∴n=15,∴T15最小,‎ ‎∵数列{bn}为等差数列,其首项是-29,公差为2,‎ ‎∴T15=‎15×(-29+2×15-31)‎‎2‎=-225,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn的最小值为-225.‎