2019届二轮复习极值点的关系证明学案（全国通用）

2019届二轮复习极值点的关系证明学案（全国通用）

专题01 极值点的关系证明 极值点的关系证明是今年高考的热点和难点，其关键在于根据极值的必要条件确定极值点的关系，再通过极值的加减，运算整理，构造函数，再利用导数求最值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。‎ ‎【题型示例】‎ ‎1、已知函数,其中为正实数． ‎ ‎(1)若函数在处的切线斜率为，求的值；‎ ‎(2)求函数的单调区间；‎ ‎(3)若函数有两个极值点，求证：．‎ ‎【答案】‎ ‎(1) ‎ ‎(2)单调减区间为,,单调减区间为．‎ ‎(3)见解析 ‎【解析】‎ ‎(1)因为，所以，‎ 则,所以的值为．‎ ‎(2) ，函数的定义域为，‎ 若,即,则,此时的单调减区间为;‎ 若,即,则的两根为,‎ 此时的单调减区间为,,‎ 单调减区间为．‎ ‎(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．‎ 因为 要证,只需证．‎ 构造函数，则，‎ 在上单调递增,又,且在定义域上不间断,‎ 由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且．‎ 则在上递减, 上递增,所以的最小值为．‎ 因为,‎ 当时, ,则,所以恒成立．‎ 所以,所以，得证．‎ ‎2、已知。学 = ‎ ‎(1)若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.‎ ‎(2)若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当时,,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.‎ ‎(2),,∴,‎ 令,时,,,无极值点,‎ 时,令得:或,‎ 由的定义域可知,且,‎ ‎∴且,解得:,‎ ‎∴,为的两个极值点,‎ 即,,且,,得:‎ ‎,‎ 令,,‎ ‎②时,,∴,‎ ‎,在递减,,∴时,,不合题意,‎ 综上,.‎ ‎3、已知函数．‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）设有两个极值点，，若过两点，的直线与 轴的交点在曲线上，求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）当时，的极大值为；当时，的极小值为；‎ ‎（2）见解析；‎ ‎（3）或或．学 = ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，则 则的关系如下：学 ‎ ‎ 学 ‎ 增 减 增 所以，当时，的极大值为；当时，的极小值为．‎ ‎（2）∵，∴‎ ‎①当 时，，且仅当时，所以在R是增函数 ‎②当 时，有两个根 当时，得或，所以的单独增区间为：；‎ 当时，得，所以的单独减区间为：．‎ ‎（3）由题设知，，是的两个根，∴，且 所以 同理，‎ 所以，直线的解析式为 设直线与轴的交点为则，解得 代入得 因为在轴上，所以 解得，或或．‎ ‎4、已知。‎ ‎(1)若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.‎ ‎(2)若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎(1);‎ ‎(2). 学 ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当时,,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.‎ ‎(2),,∴,‎ 令,时,,,无极值点,‎ 时,令得:或,‎ 由的定义域可知,且,‎ ‎∴且,解得:,‎ ‎∴,为的两个极值点,‎ 即,,且,,得:‎ ‎,‎ 令,,‎ ‎②时,,∴,‎ ‎,在递减,,∴时,,不合题意,‎ 综上,.‎ ‎【专题练习】‎ ‎1、设函数，.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）若函数有两个极值点，且，求证：.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）函数在，单调递增，在单调递减．‎ ‎（3）当函数有两个极值点时，，，‎ 故此时，且，即，‎ 所以，‎ 设，其中，则，‎ 由于时，，故在是增函数，故，所以.‎ ‎ 学 ‎ ‎②当，即时，的两个根为，，‎ 当，即时，，当时，． 学 ‎ 故当时，函数在单调递减，在单调递增；‎ 当时，函数在，单调递增，在单调递减．‎ ‎（3）当函数有两个极值点时，，，‎ 故此时，且，即，‎ 所以，‎ 设，其中，则，‎ 由于时，，故在是增函数，故，所以.‎ ‎2、 已知函数.‎ ‎(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2) 若函数有两个极值点，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，，所以.‎ 因此曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（2）由题意得，‎ 故的两个不等的实数为.‎ 由韦达定理得，解得.‎ 故，‎ 设.‎ 则， ‎ 所以在上单调递减，‎ 所以.‎ 因此的取值范围为.‎