广东省惠州市2020届高三调研考试数学（理）试题

广东省惠州市2020届高三调研考试数学（理）试题

惠州市2020届高三第二次调研考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。‎ ‎2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，进而求交集即可.‎ ‎【详解】，，‎ 所以，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查对数函数的单调性与二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算得到，进而得到其共轭复数即可.‎ ‎【详解】，，‎ 的共轭复数为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知为数列前项和，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，从而为等比数列，利用等比数列前n项和公式可得结果.‎ ‎【详解】时，，‎ 两式相减，整理得，‎ ‎∵，∴，‎ 所以是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2‎ ‎）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.‎ ‎4.已知，为互相垂直单位向量，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量夹角公式即可得到结果.‎ ‎【详解】代数法：，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角公式，考查向量的运算法则及几何意义，考查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.‎ ‎5.下列说法正确的是（ ）‎ ‎①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样.‎ ‎②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学.‎ ‎③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.‎ ‎④在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位.‎ A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样；‎ ‎②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水；‎ ‎③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；‎ ‎④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，利用回归系数的意义可得结论．‎ ‎【详解】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从某处抽取一件产品进行某项指标检测，由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样，故①不正确；‎ ‎②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水，故②不正确；‎ ‎③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；‎ ‎④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 增加0.1个单位，故④正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假判断，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎6.若,且，则的值为( ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 由题意，根据诱导公式得，‎ ‎ 又因为，所以，所以 ‎ 所以，故选A．‎ ‎7.设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：画圆：(x–1)2+(y–1)2=2，如图所示，则(x–1)2+(y–1)2≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A.‎ ‎【考点】充要条件的判断，线性规划 ‎【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．‎ ‎8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是（ ）【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数。】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 随机选取两个不同的数，基本事件总数n，利用列举法求出其和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出其和等于40的概率．‎ ‎【详解】不超过40的素数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数，‎ 其中，共3组数，‎ 所以其和等于40的概率为：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.‎ ‎9.函数的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.‎ ‎【详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，‎ ‎.选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.‎ ‎10.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设， ，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据余弦定理可得，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.‎ ‎【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，．‎ 双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，，，‎ 设， ，‎ 则，‎ 当点P被看作是椭圆上的点时，有，‎ 当点P被看作是双曲线上的点时，有 ，‎ 两式联立消去得，即，‎ 所以，又，‎ 所以，整理得，‎ 解得或（舍去），所以，‎ 即双曲线的离心率为，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目.‎ ‎11.已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，有下列结论：‎ ‎①三棱锥的体积最大值为；‎ ‎②三棱锥的外接球体积不变；‎ ‎③三棱锥的体积最大值时，二面角的大小是；‎ ‎④异面直线与所成角的最大值为.‎ 其中正确的是（ ）‎ A. ①②④ B. ②③ C. ②④ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑在翻折的过程中，当面ACD⊥面ACB时，D到底面的距离最大，进而得到棱锥体积最大，可判断①；取AC的中点O，可得O为棱锥的外接球的球心，计算可判断②；由①的解析过程知，三棱锥的体积最大值时，平面平面，可判断③‎ 假设AB⊥CD，由线面垂直的判断和性质，可判断④．‎ ‎【详解】①，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积最大值为，①错误；‎ ‎②设的中点为，则由，知，，所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，所以外接球体积为，即三棱锥的外接球体积不变，②正确；‎ ‎③由①的解析过程知，三棱锥的体积最大值时，平面平面，所以二面角的大小是，③错误；‎ ‎④当沿对角线进行翻折到使点与点的距离为，即时，在中，，所以，又，翻折后此垂直关系没有变，所以平面，所以，即异面直线与所成角的最大值为，④正确.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查空间线面和线线的位置关系的判断，以及棱锥的体积与二面角的计算，考查运算能力和推理能力，属于基础题．‎ ‎12.设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知：极值为，所以，因为，‎ 所以，所以即，所以，即 ‎3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.‎ 考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空3分，第二空2分。‎ ‎13.已知曲线在处的切线的斜率为2，则实数 的取值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ f′（x）=3ax2+，‎ 则f′（1）=3a+1=2，解得：a=，‎ 故答案为：．‎ 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 ‎（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．（2）已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．‎ ‎14.某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本。若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为______.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据样本数据，，…，的方差是s2，得出对应数据，，…，的方差是22×s2．‎ ‎【详解】样本数据，，…，的方差为8，‎ 所以数据，，…，的方差为.‎ 故答案为：32‎ ‎【点睛】本题考查了方差的性质与应用问题，熟记方差的性质是快速解题的基础，是基础题．‎ ‎15.设、为正数，若，则的最小值是______，此时______.‎ ‎【答案】 (1). 4 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 巧用“1”改变目标式子的结果，借助均值不等式求最值即可.‎ ‎【详解】，‎ 当且仅当即，时等号成立.‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题考查最值的求法，注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎16.已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案．‎ ‎【详解】由已知得，故，∵的面积为，‎ ‎∴，∴，又，‎ ‎∴，，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴.‎ 即的取值范围为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.在中，角的对边分别为，已知 ‎（1）求； ‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理和二倍角公式可构造方程求得；（2）由余弦定理构造方程可求得的两个解，其中时，验证出与已知条件矛盾，从而得到结果.‎ ‎【详解】（1）在中，由正弦定理得：‎ ‎（2）在中，由余弦定理得：‎ 由整理可得：‎ 解得：或 当时，，又 ，‎ 此时，与已知矛盾，不合题意，舍去 当时，符合要求 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，易错点是求得边长后忽略了已知中的长度和角度关系，造成增根出现.‎ ‎18.在数列中，，，，为常数，．‎ ‎(1)求的值； ‎ ‎(2)设，求数列的通项公式；‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 将代入，结合条件即可得到的值；‎ ‎（2）由，得，即．利用累加法即可求得数列的通项公式.‎ ‎【详解】(1)将代入，得，由，，得． ‎ ‎(2)由，得，即． ‎ 当时， ，‎ 因为，所以．因为也适合上式，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是累加法，注意新数列的首项与原数列首项的关系.‎ ‎19.如图，在底面为矩形四棱锥中，平面平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面平面可得面，从而可得；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）依题意，面面，，‎ ‎∵面，面面，‎ ‎∴面.‎ 又面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解法一：向量法 在中，取中点，∵，‎ ‎∴，∴面，‎ 以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，‎ 设，∵，∴，‎ ‎∴，，，，，‎ ‎∴，，.‎ 设面法向量为，‎ 则，解得.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 因为，∴.‎ 所以直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎（2）解法二：几何法 过作交于点，则为中点，‎ 过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结，‎ 过作交于点，连结，‎ 连结，取中点，连结，，‎ 四边形为矩形，所以面，所以，‎ 又，所以面，‎ 所以为线与面所成的角.‎ 令，则，，，‎ 由同一个三角形面积相等可得，‎ 为直角三角形，由勾股定理可得，‎ 所以，‎ 又因为为锐角，所以，‎ 所以直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎20.已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，且与轴交于点.‎ ‎（1）若直线的斜率，且，求的值；‎ ‎（2）若，轴上是否存在点，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，设：，联立方程可得，借助韦达定理表示，即可得到结果；‎ ‎（2）讨论直线的斜率，直线存在斜率时，联立方程，借助韦达定理表示，即可得到点.‎ ‎【详解】（1）解法一：依题意，设：，‎ 联立：，整理得①‎ 由，得，‎ 又且，∴或（舍去），‎ 所以①式可化为，设，，则，‎ ‎∴.‎ 解法二：依题意，设：，‎ 联立：，整理得①‎ ‎∴，即，‎ 又且，∴或（舍去），‎ 所以①式可化为，设，，则，‎ ‎∴.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，由对称性知，存在点满足，‎ 若直线存在斜率，设为则：，联立：，‎ 整理得，‎ ‎∵，∴，‎ 设由易知即，‎ ‎∴即，‎ ‎∴，∵，∴，‎ 所以.‎ 综上所述，当时，轴上存在点，总有.‎ ‎【点睛】定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.‎ ‎21.已知函数（，为常数）在内有两个极值点，（）‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出x＞0，f′（x）＝，设h（x）＝ex﹣1﹣ax，x＞0，则y＝h（x）在（0，2）上存在两个零点，由h′（x）＝ex﹣1﹣a，由此能求出实数a的取值范围；‎ ‎（2）令H（x）＝h（x）﹣h（2+2lna﹣x），0＜x＜1+lna，则H′（x）＝h′（x）+h′（2+2lna﹣x）0，从而H（x）在（0，1+lna）上递增，进而H（x）＜H ‎（1+lna）＝0，由此能证明＜2（1+lna）．‎ ‎【详解】解：（1）由，可得，‎ 记，有题意，知在上存在两个零点.‎ 则 当时，，则在上递增，至少有一个零点，不合题意；‎ 当时，由，得 ‎（i）若且，即时，在上递减，递增；‎ 则，则，‎ 从而在和上各有一个零点。‎ 所以在上存在两个零点.‎ ‎（ii）若，即时，在上递减，至多一个零点，舍去.‎ ‎（iii）若且，即时，此时在上有一个零点，而在上没有零点，舍去.‎ 综上可得，.‎ ‎（2）令则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，在上递减，从而，‎ 即 而，且在递增；‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数单调性、最值等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查转化思想和分类讨论思想，属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为 (为参数).以原点为极点，轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎（I）求圆的普通方程及其极坐标方程；‎ ‎（II）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为，与直线的交点为Q，求线段PQ的长.‎ ‎【答案】（I）普通方程为：，极坐标方程为：. （II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用消去参数，求得圆的普通方程，将代入，可求得对应的极坐标方程.（II）分别将代入直线和圆的极坐标方程，然后两式相减，可求得的长.‎ ‎【详解】（I）∵圆的参数方程为 (为参数)‎ ‎∴消去参数得普通方程为： ‎ 又 ‎ ‎∴ ‎ 化简得圆的极坐标方程为：. ‎ ‎（II）∵射线与圆的交点为 ‎ ∴把代入圆极坐标方程可得： ‎ ‎ 又射线与直线的交点为Q ‎∴把代入直线极坐标方程可得：‎ ‎∴ ‎ ‎∴线段PQ的长 ‎【点睛】本小题主要考查极坐标、直角坐标和参数方程相互转化，考查利用极坐标的几何意义来解问题的方法，属于基础题.‎ ‎23.已知关于x的不等式|x﹣m|+2x≤0的解集为（﹣∞，﹣2]，其中m＞0．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若正数a，b，c满足a+b+c＝m，求证：2．‎ ‎【答案】（1）m＝2（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解不等式，得出答案。‎ ‎（2）直接使用均值不等式即可证明之。‎ ‎【详解】（1）由f（x）≤0得|x﹣m|+2x≤0，‎ 即或，‎ 化简得：或 由于m＞0，所以不等式组的解集为（﹣∞，﹣m）．‎ 由题设可得﹣m＝﹣2，故m＝2．‎ ‎（2）由（1）可知，a+b+c＝2，‎ 又由均值不等式有：a≥2b，b≥2c，c≥2a，‎ 三式相加可得：c≥2b+2c+2a，‎ 所以a+b+c＝2．‎ ‎【点睛】本题考查解不等式与利用均值不等式证明。‎ ‎ ‎