2017-2018学年广东省潮州市高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年广东省潮州市高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）不等式x2+x﹣2≥0的解集是（　　）‎ A．[﹣2，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）‎ ‎2．（5分）已知椭圆的焦点在x轴上，且离心率，则m=（　　）‎ A．9 B．5 C．25 D．﹣9‎ ‎3．（5分）在△ABC中，“cosA＜0”是△ABC为钝角三角形的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）已知等比数列{an}中，a1=a8=3，则其前n项和Sn（　　）‎ A．（3n﹣1） B．n2 C．3n D．3n ‎5．（5分）当x，y满足不等式组时，目标函数t=2x+y最小值是（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．‎ ‎6．（5分）若f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1，则（　　）‎ A．f（x）=g（x） B．f（x）＞g（x）‎ C．f（x）＜g（x） D．f（x），g（x）的大小与x的取值无关 ‎7．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若=，=，=，则向量=（　　）‎ A．﹣++ B． C．﹣﹣+ D．﹣+‎ ‎8．（5分）在同一坐标系中，方程=1与=0（a＞b＞0），表示的曲线大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是（　　）‎ A．an=2n﹣1 B．an=2n+1 C．an=4n﹣1 D．an=4n+1‎ ‎10．（5分）海洋中有A，B，C三座灯塔．其中A，B之间距高为a，在A处观察B，其方向是南偏东40°，观察C，其方向是南偏东70°，在B处現察C，其方向是北偏东65°，B，C之的距离是（　　）‎ A．a B．a C．a D．a ‎11．（5分）如果点P1，P2，P3，P4是抛物线C：y2=8x上的点，它的横坐标依次为x1，x2，x3，x4，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+x3+x4=10，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|=（　　）‎ A．8 B．18 C．10 D．20‎ ‎12．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y﹣xy=0，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）命题若x2+y2≠0，则x，y不全为零的逆否命题是　 　．‎ ‎14．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=　 　．‎ ‎15．（5分）若A（﹣1，2，3），B（2，﹣4，1），C（x，﹣1，﹣3）是BC为斜边的直角三角形的三个定点，则x=　 　．‎ ‎16．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＞0，5a15=3a8，则当n=　 　时，Sn取得最大値．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，b=8，cosC=‎ ‎（l）求△ABC的面积；‎ ‎（2）求△ABC中最大角的余弦值．‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为sn，且满足a3=6，S11=132‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn．‎ ‎19．（12分）已知m∈R，命题p：∀x∈[0，1]，2x﹣2≥m2﹣3m，命题q：∃x0∈[﹣1，1]，m≤x0．‎ ‎（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p∧q“是假命题，命题“p∨q“是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎20．（12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．‎ ‎（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；‎ ‎（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为棱形，面PAD⊥‎ 面ABCD，PA=PD=5，AD=6，∠DAB=60°，E为AB的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥PE；‎ ‎（2）求二面角D﹣PA﹣B的余弦值．‎ ‎22．（12分）如图，在直角坐标xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的左右两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F1且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知经过点（0，2）且斜率为k直线l与椭圆C有两个不同的P和Q交点，请问是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）不等式x2+x﹣2≥0的解集是（　　）‎ A．[﹣2，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）‎ ‎【分析】根据一元二次不等式的解法步骤，求解即可．‎ ‎【解答】解：不等式x2+x﹣2≥0，其中△=12﹣4×1×（﹣2）=9，‎ 对应方程x2+x﹣2=0的实数根为x=﹣2和1，‎ ‎∴不等式的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知椭圆的焦点在x轴上，且离心率，则m=（　　）‎ A．9 B．5 C．25 D．﹣9‎ ‎【分析】利用椭圆的方程以及离心率，转化求解即可．‎ ‎【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，且离心率，‎ 则=，解得m=25．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）在△ABC中，“cosA＜0”是△ABC为钝角三角形的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】在△ABC中，“cosA＜0”⇒A为钝角，可得△ABC为钝角三角形．反之不成立．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，“cosA＜0”⇒A为钝角，⇒△ABC为钝角三角形．反之不成立．‎ ‎∴“cosA＜0”是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了解三角形、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知等比数列{an}中，a1=a8=3，则其前n项和Sn（　　）‎ A．（3n﹣1） B．n2 C．3n D．3n ‎【分析】根据题意，由等比数列的性质分析可得q7==1，解可得q=1，即可得an=3，分析即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a1=a8=3，‎ 则q7==1，‎ 则q=1，‎ 则有an=3，‎ 则该数列的前n项和Sn=3n，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的前n项和的计算，注意求出该数列的公比．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）当x，y满足不等式组时，目标函数t=2x+y最小值是（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．‎ ‎【分析】根据题意，首先画可行域，再分析可得z为目标函数纵截距四倍，最后画直线0=2x+y，平移直线过B（﹣1，﹣1）时z有最小值即可．‎ ‎【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+y，‎ 可看成是直线z=2x+y的纵截距，‎ 画出2x+y=0表示的直线，平移直线2x+y=0，‎ 当直线z=2x+y过B（﹣1，﹣1）点时z有最小值﹣3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1，则（　　）‎ A．f（x）=g（x） B．f（x）＞g（x）‎ C．f（x）＜g（x） D．f（x），g（x）的大小与x的取值无关 ‎【分析】作差判断大小即可．‎ ‎【解答】解：f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1＞0，‎ 故f（x）＞g（x），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了不等关系，考查比较大小问题，考查作差法的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若=，=，=，则向量=（　　）‎ A．﹣++ B． C．﹣﹣+ D．﹣+‎ ‎【分析】向量==，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．‎ ‎=，=，=，‎ ‎∴向量=‎ ‎=‎ ‎=﹣+．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）在同一坐标系中，方程=1与=0（a＞b＞0），表示的曲线大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】判断椭圆的形状，抛物线的形状，即可得到选项．‎ ‎【解答】解：方程=1（a＞b＞0），表示长轴在x轴的椭圆，排除C，D，‎ ‎=0（a＞b＞0），表示开口向左的抛物线，排除B，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是（　　）‎ A．an=2n﹣1 B．an=2n+1 C．an=4n﹣1 D．an=4n+1‎ ‎【分析】首先根据Sn=2n2+n求出a1的值，然后利用an=Sn﹣Sn﹣1求出当n≥2时an的表达式，然后验证a1的值是否适合，最后写出an的通项公式即可．‎ ‎【解答】解：∵Sn=2n2+n，∴a1=2×12+1=3，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2+n﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1，‎ 把n=1代入上式可得a1=3，即也符合，‎ 故通项公式为：an=4n﹣1，‎ 故选C ‎【点评】本题考查数列递推公式，利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）是解答本题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）海洋中有A，B，C三座灯塔．其中A，B之间距高为a，在A处观察B，其方向是南偏东40°，观察C，其方向是南偏东70°，在B处現察C，其方向是北偏东65°，B，C之的距离是（　　）‎ A．a B．a C．a D．a ‎【分析】作出示意图，根据正弦定理求出BC．‎ ‎【解答】解：如图所示，由题意可知AB=a，‎ ‎∠BAC=70°﹣40°=30°，∠ABC=40°+65°=105°，‎ ‎∴∠C=45°，‎ 在△ABC中，由正弦定理得=，‎ 即BC==a．‎ 故选：D ‎【点评】本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）如果点P1，P2，P3，P4是抛物线C：y2=8x上的点，它的横坐标依次为x1，x2，x3，x4，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+x3+x4=10，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|=（　　）‎ A．8 B．18 C．10 D．20‎ ‎【分析】根据抛物线的定义求得|PF1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=x1+x2+x3+x4+2p，由2p=8，即可求得x1+x2+x3+x4=18．‎ ‎【解答】解：∵P1，P2，P3，P4是抛物线C：y2=8x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，x4，F是抛物线C的焦点，‎ x1+x2+x3+x4=10，‎ ‎∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|‎ ‎=（x1+2）+（x2+2）+（x3+2）+（x4+2）‎ ‎=x1+x2+x3+x4+8‎ ‎=18．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程及焦半径公式，考查数学转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y﹣xy=0，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）‎ ‎【分析】x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+2y﹣xy=0，可得，‎ ‎∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．‎ ‎∴（x+2y）min=8．‎ ‎∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，‎ 即m2+2m＜8，‎ 解得：﹣4＜m＜2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）命题若x2+y2≠0，则x，y不全为零的逆否命题是　若x，y全为零，则x2+y2=0　．‎ ‎【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：命题若p则q的逆否命题为：若￢q，则￢p，‎ 即命题的逆否命题为：若x，y全为零，则x2+y2=0，‎ 故答案为：若x，y全为零，则x2+y2=0‎ ‎【点评】本题主要考查四种命题的关系，结合逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=　　．‎ ‎【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B，进而利用正弦定理即可解得BC的值．‎ ‎【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，‎ ‎∴由正弦定理，可得：BC===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若A（﹣1，2，3），B（2，﹣4，1），C（x，﹣1，﹣3）是BC为斜边的直角三角形的三个定点，则x=　﹣11　．‎ ‎【分析】利用=0，即可解出．‎ ‎【解答】解：=（3，﹣6，﹣2），=（x+1，﹣3，﹣6），‎ ‎∴=3（x+1）+18+12=0，‎ 解得x=﹣11．‎ 故答案为：﹣11．‎ ‎【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＞0，5a15=3a8，则当n=　25　时，Sn取得最大値．‎ ‎【分析】根据题意，设出等差数列的公差d，由5a15=3a8得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式，由an≥0求出n的范围，再根据n为正整数求得n的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，设出等差数列{an}的公差d，‎ 若5a15=3a8，则有5（a1+14d）=3（a1+7d），‎ 变形可得：2a1=﹣49d，则d=﹣a1，‎ 则等差数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=a1，‎ 分析可得：当n≤25时，an≥0，‎ 则当n=25时，Sn取得最大値；‎ 故答案为：25．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的前n项和的性质，关键是求出首项与公差的关系．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，b=8，cosC=‎ ‎（l）求△ABC的面积；‎ ‎（2）求△ABC中最大角的余弦值．‎ ‎【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎（2）利用余弦定理可求c的值，利用大边对大角可求B为最大角，进而利用余弦定理可求cosB的值．‎ ‎【解答】解：（1）因为cosC=，0＜C＜π，‎ 所以sinC=，‎ 所以△ABC的面积为S=absinC==10．‎ ‎（2）因为c2=a2+b2﹣2abcosC=25+64﹣2×=49，可解得：c=7，‎ 所以：b＞c＞a，可得：B＞C＞A，‎ 所以：最大角为B，‎ 所以：cosB===．‎ ‎【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理，大边对大角在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为sn，且满足a3=6，S11=132‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件求出等差数列的首项与公差，然后求解通项公式．‎ ‎（2）求出数列的和，化简新数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．‎ ‎【解答】解：（1）由S11=132得11a6=132，即a6=12，‎ ‎，‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=2n，即an=2n．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴，‎ ‎∴==，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式以及数列求和，裂项相消法求解数列和方法的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知m∈R，命题p：∀x∈[0，1]，2x﹣2≥m2﹣3m，命题q：∃x0∈[﹣1，1]，m≤x0．‎ ‎（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p∧q“是假命题，命题“p∨q“是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据全称命题的性质结合不等式的最值问题进行求解即可．‎ ‎（2）根据复合命题真假关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵∀x∈[0，1]，2x﹣2≥m2﹣3m，‎ ‎∴，即m2﹣3m≤﹣2，‎ 解得1≤m≤2，‎ 即p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．‎ ‎（2）∵∃x0∈[﹣1，1]，m≤x0∴m≤1，‎ 即命题q满足m≤1．‎ ‎∵命题“p∧q”是假命题，命题“p∨q”是真命题，‎ ‎∴p、q一真一假．‎ 当p真q假时，则，即1＜m≤2，‎ 当p假q真时，，即m＜1．‎ 综上所述，m＜1或1＜m≤2．‎ ‎【点评】本题主要考查全称命题的判断以及复合命题真假关系的应用，根据相应的定义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．‎ ‎（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；‎ ‎（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎【分析】（1）依题意，每天生产的伞兵的个数为100﹣x﹣y，根据题意即可得出每天的利润；‎ ‎（2）先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设W=2x+3y+300，再利用T的几何意义求最值，只需求出直线0=2x+3y过可行域内的点A时，从而得到W值即可．‎ ‎【解答】解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为100﹣x﹣y，‎ 所以利润W=5x+6y+3（100﹣x﹣y）‎ ‎=2x+3y+300（x，y∈N）．‎ ‎（2）约束条件为 整理得 目标函数为W=2x+3y+300，‎ 如图所示，作出可行域．‎ 初始直线l0：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．‎ 由得最优解为A（50，50），‎ 所以Wmax=550（元）．‎ 答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550（元）‎ ‎【点评】本题考查简单线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件，②由约束条件画出可行域，③分析目标函数Z与直线截距之间的关系，④使用平移直线法求出最优解，⑤还原到现实问题中．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为棱形，面PAD⊥面ABCD，PA=PD=5，AD=6，∠DAB=60°，E为AB的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥PE；‎ ‎（2）求二面角D﹣PA﹣B的余弦值．‎ ‎【分析】（1）取AD的中点O，连接OP，OE，BD，由已知可得BD⊥AC，又O、E分别为AD，AB的中点，可得OE∥BD，得到AC⊥OE．再由PA=PD，O为AD的中点，得到PO⊥AD，结合面面垂直的性质可得PO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥面POE，从而得到AC⊥PE；‎ ‎（2）求解三角形证明OP、OA、OB两两垂直．以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O﹣xyz，得到A，B，P的坐标，可得平面PAD的一个法向量，再求得面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PA﹣B的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：取AD的中点O，连接OP，OE，BD，‎ ‎∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，‎ ‎∵O、E分别为AD，AB的中点，∴OE∥BD，‎ ‎∴AC⊥OE．‎ ‎∵PA=PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD，‎ 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，‎ ‎∴PO⊥面ABCD，∴PO⊥AC，‎ ‎∵OE∩OP=O，∴AC⊥面POE，‎ ‎∴AC⊥PE；‎ ‎（2）解：连接OB，∴ABCD为菱形，∴AD=AB，‎ ‎∵∠DAB=60°，∴△DAB为等边三角形，‎ 又O为AD的中点，∴BO⊥AD，‎ ‎∵PO⊥面ABCD，‎ ‎∴PO⊥OA，∴OP、OA、OB两两垂直．‎ 以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O﹣xyz，则 A（3，0，0），B（0，3，0），P（0，0，4），‎ ‎=（0，，0）为平面PAD的法向量，‎ 设面PAB的法向量，‎ ‎∵，，‎ 则，即，取x=1，则，‎ ‎∴cos＜＞==，‎ 结合图形可知二面角D﹣PA﹣B的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）如图，在直角坐标xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的左右两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F1且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知经过点（0，2）且斜率为k直线l与椭圆C有两个不同的P和Q交点，请问是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a，由题意|MF2|=1，由Rr△MF1F2可知b2=2，则椭圆C的方程可求 ‎（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），+与共线等价于，根据韦达定理，由此能求出不存在这样的常数k满足条件 ‎【解答】解：（1）由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a．‎ 由题意|MF2|=1，‎ ‎∴|MF1|=2a﹣1．‎ 又由Rr△MF1F2可知 （2a﹣1）2=（2）2+1，a＞0，‎ ‎∴a=2，‎ 又a2﹣b2=2，得b2=2．‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1．‎ ‎（2）设直线l的方程为y=kx+2，‎ 代入椭圆方程，得．‎ 整理，得（2k2+1）x2+8kx+4=0①‎ 因为直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q等价于△=64k2﹣16（2k2+1）＞0，‎ 解得k∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则+=（x1+x2，y1+y2），‎ 由①得②‎ 又y1+y2=k（x1+x2）+4③‎ 因为，所以．‎ 所以+与共线等价于．‎ 将②③代入上式，解得k=．‎ 因为 所以不存在常数k，使得向量+与共线．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率的值的求法，考查满足条件的常数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量共线的条件的合理运用 ‎　‎