2019-2020学年贵州省凯里市第一中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2019-2020学年贵州省凯里市第一中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年贵州省凯里市第一中学高二上学期开学考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解一元二次不等式确定集合，然后由交集定义计算．‎ ‎【详解】‎ 由题知，则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．‎ ‎2．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由诱导公式和平方关系计算．‎ ‎【详解】‎ 由，，则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的平方关系，考查诱导公式．掌握诱导公式是解题关键．‎ ‎3．已知直线，，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由两直线垂直的条件求解．‎ ‎【详解】‎ 由，则，解得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两直线垂直的条件，两直线方程分别为：，，它们垂直的充要条件是．‎ ‎4．已知，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别与0和1比较后可得．‎ ‎【详解】‎ 由，，，则，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查比较幂和对数的大小，不同类型的数比较大小时可借助中间值如0，1等比较．‎ ‎5．已知的内角的对边分别是，且，则角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由余弦定理计算得角 ‎【详解】‎ 由，则，又由余弦定理得，‎ 由，则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理，掌握余弦定理是解题基础．‎ ‎6．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）‎ A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤 ‎【答案】D ‎【解析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为每一尺的重量构成等差数列，，，‎ ‎，‎ 数列的前5项和为．‎ 即金锤共重15斤，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.‎ ‎7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为的等腰直角三角形，棱柱的高为2，由此可计算体积．‎ ‎【详解】‎ 把三棱柱旋转为下图，‎ 由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为 的等腰直角三角形，棱柱的高为2，几何体的体积为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图，考查棱柱的体积，由三视图得出原几何体中的线段的长度是解题关键．‎ ‎8．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】用诱导公式把两个函数的名称化为相同，再凑配成图形变换的形式．‎ ‎【详解】‎ 由，‎ ‎，‎ 则，解得，‎ 则只需将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图象平移变换，解题时要注意两函数名称必须化为相同，才便于求解．‎ ‎9．已知为圆上一点，为圆上一点，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距后可得最大值．‎ ‎【详解】‎ 由题知圆：，圆心为，半径为，‎ 圆：，圆心为，半径为．‎ 两圆心的距离为，，又由为圆上一点，为圆上一点，则，．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的一般方程，考查圆上点的最值问题．把圆的一般配方为标准方程可得圆心坐标和半径．‎ ‎10．在正方体中为底面的中心，为的中点， 则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取BC中点为M，连接OM，EM找出异面直线夹角为，在三角形中利用边角关系得到答案.‎ ‎【详解】‎ 取BC中点为M，连接OM，EM 在正方体中为底面的中心，为的中点 易知： ‎ 异面直线与所成角为 设正方体边长为2，在中： ‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何里异面直线的夹角，通过平行找到对应的角是解题的关键.‎ ‎11．已知和点满足，若存在实数使得成立，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可知为的重心，利用中线与向量加法法则可得．‎ ‎【详解】‎ 由可知为的重心，取的中点，则有，所以，则，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量加法的平行四边形法则，考查向量数乘的性质．掌握向量加法的平行四边形法则是解题关键．即的中点，则．‎ ‎12．偶函数满足，且在时，，则关于的方程在上根有 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【答案】B ‎【解析】因为f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,又因为f(x)为偶函数，所以时，，然后分别作出和在内的图像，从图像上不难观察到两个函数的图像有3个公共点，所以关于的方程在上有3个实根 二、填空题 ‎13．向量，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由向量数量积的坐标表示计算．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ 故答案为：36.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的坐标运算，掌握数量积的坐标运算定义是解题关键．‎ ‎14．设实数满足约束条件，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出可行域，利用表示可行域内点与点连线斜率求解．‎ ‎【详解】‎ 不等式组对应的平面区域如图所示，‎ 的几何意义是可行域的点与点所连直线的斜率.‎ 可知，结合图形可得，‎ 故的最小值为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划的非线性目标函数的最值．理解目标函数的几何意义是解题关键．‎ ‎15．已知四面体四个顶点都在球O的球面上，若平面ABC，，且，，则球O的表面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由PB⊥平面ABC，AB⊥AC可得四个直角三角形，可知PC的中点O为外接球球心，不难求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由PB⊥平面ABC，AB⊥AC，‎ 可得图中四个直角三角形，‎ 且PC为△PBC，△PAC的公共斜边，‎ 故球心O为PC的中点，‎ 由AC＝1，AB＝PB＝2，‎ PC＝3，‎ ‎∴球O的半径为，‎ 其表面积为：9π．‎ 故答案为：9π．‎ ‎【点睛】‎ 解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．‎ ‎16．下列命题中：‎ ‎①若，则的最大值为；‎ ‎②当时，；‎ ‎③的最小值为； ④当且仅当均为正数时，恒成立. ‎ 其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①若，则的最大值为 ‎，正确 ‎②当时，‎ ‎，时等号成立，正确 ‎③的最小值为，‎ 取 错误 ‎④当且仅当均为正数时，恒成立 均为负数时也成立.‎ 故答案为① ②‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角所对的边是，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由正弦定理化边为角后，同三角函数恒等变换可求得角；‎ ‎（2）由正弦定理求得，得角，由（1）可得，从而可得三角形面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，‎ 则由正弦定理得：，‎ 所以 又，所以 因为，解得.‎ ‎（2）由，由正弦定理得，即 则，由，则，则 所以，则 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，考查三角形面积．掌握正弦定理是解题关键．‎ ‎18．如图，过底面是矩形的四棱锥F－ABCD的顶点F作，使AB＝2EF，若平面平面，点G在CD上且满足DG＝GC.求证：‎ ‎(1)平面；‎ ‎(2)平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】【详解】‎ ‎(1)证明:(1)DG＝GC,AB＝CD＝2EF,AB∥EF∥CD,‎ EF∥DG,EF＝DG.‎ 四边形DEFG为平行四边形,‎ FG∥ED.‎ 又ED⊂平面AED,‎ FG∥平面AED.‎ ‎(2)平面ABFE⊥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD＝AB,‎ AD⊥AB,AD⊂平面ABCD,‎ AD⊥平面BAF,‎ 又AD⊂平面DAF,‎ 平面DAF⊥平面BAF.‎ ‎19．已知在各项均为正数的等差数列中，，且，构成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，若，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设公差为，由，，等比数列求出后，可得通项公式；‎ ‎（2）求出，裂项：，即用裂项相消法求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设公差为，又因为，，等比数列.‎ ‎∴，解得或（舍去）‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）可知 ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和前 项和公式，考查裂项相消法求和，考查等比数列的性质．本题求等差数列的通项公式和前项和是用基本量法，求和数列的和是用裂项相消法，数列求和中几种特殊方法一定掌握住：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法．‎ ‎20．如图，在直角梯形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使得.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）证明平面即可；‎ ‎（2）取的中点，连接，证得就是棱锥的高，由体积公式可得体积．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）由题知在直角梯形中，，‎ ‎∴，，‎ 又 所以平面 又平面，∴．‎ ‎（2）取的中点，连接 由，，得是等边三角形，则 又（1）知平面 ‎∴‎ 由 所以平面 由，，则，‎ 则 ‎【点睛】‎ 本题考查证明线线垂直，考查求棱锥的体积，掌握线面垂直的判定定理与性质定理是解题关键．‎ ‎21．如图，在直角梯形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使得.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成的角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）证明平面即可；‎ ‎（2）取的中点，证明平面，过点作平行于的直线，然后建立空间直角坐标系（如图），用向量法求二面角．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）由题知在直角梯形中，，‎ ‎∴，，‎ 又 所以平面 又平面，∴‎ ‎（2）取的中点，连接 由，，得是等边三角形，则 又（1）知平面，∴由，所以平面 则可过点作平行于的直线建立空间直角坐标系，‎ 由，，则，‎ 则，，，‎ 则，‎ 设平面的一个法向量为 则即 令，则，则 易知为平面的一个法向量，‎ 设平面与平面所成的角为，‎ 则 ‎【点睛】‎ 本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角，掌握线面垂直的判定定理与性质定理是解题关键．立体几何中求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角通常都是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解，这样可以把问题转化为纯粹的计算问题．‎ ‎22．已知两地相距km，汽车从地匀速行驶到地，速度(km/h)‎ ‎，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度(km/h)的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，‎ ‎（1）把全部运输成本(元)表示为速度(km/h)的函数；‎ ‎（2）求出当，时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小.‎ ‎【答案】（1），（2）km/h ‎【解析】（1）求出行驶时间，直接由所给关系式得出函数解析式；‎ ‎（2）由基本不等式求得最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，汽车从地匀速到地所用时间为，‎ 全程成本为，‎ ‎（2）当，时，‎ 当且仅当时取等号 所以汽车应以km/h的速度行驶，才能使得全程运输成本最小 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的应用，考查用基本不等式求解函数应用问题．根据所给关系直接列出函数解析式，利用基本不等式求得最值．‎ ‎23．在平面直角坐标系中，‎ 已知圆和圆.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，‎ 求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：‎ 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，‎ 它们分别与圆和圆相交，且直线被圆 截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．‎ ‎【答案】(1)或，(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或．‎ ‎【解析】(1)设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d＝＝1，结合点到直线距离公式，得＝1，化简得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.‎ 所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.‎ ‎(2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.‎ 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．故有，‎ 化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.‎ 因为关于k的方程有无穷多解，所以有 解得点P坐标为或.‎