【数学】2019届一轮复习人教A版理第3章第4节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用教案

【数学】2019届一轮复习人教A版理第3章第4节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用教案

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．‎ ‎(对应学生用书第54页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．y＝Asin (ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示 x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 ‎[知识拓展]‎ ‎1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．‎ ‎2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)‎ ‎(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)‎ ‎(3)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(　　)‎ ‎(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)y＝2sin的振幅，频率和初相分别为(　　)‎ A．2,4π，　　 B．2，， C．2，，－ D．2,4π，－ C　[由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.]‎ ‎3．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　)‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度 A　[把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度就得到函数y＝sin的图象．]‎ ‎4．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.‎ ；；；；　[分别令x－＝0，，π，π，2π，即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为0,1,0，－1,0)．]‎ ‎5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图341所示，则ω＝________.‎ 图341‎ 　[由题图可知，＝－＝，‎ 即T＝，所以＝，故ω＝.]‎ ‎(对应学生用书第55页)‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 ‎　已知函数f(x)＝3sin，x∈R.‎ ‎(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；‎ ‎(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ ‎ ‎【导学号：97190116】‎ ‎[解]　(1)列表取值：‎ x π π π π x－ ‎0‎ π π ‎2π f(x)‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎－3‎ ‎0‎ 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．‎ ‎(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．‎ ‎[规律方法]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的作法 (1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，令z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象.‎ (2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，对于后者可利用ωx＋φ＝ω确定平移单位.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎(2)(2018·呼和浩特一调)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位长度后得到的函数是一个偶函数，则φ＝________.‎ ‎(1)D　(2)－　[(1)因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选D．‎ ‎(2)由题意得y＝sin是一个偶函数，因此＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－.]‎ 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图342所示，则(　　)‎ 图342‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　)‎ A．y＝4sin B．y＝2sin＋2‎ C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2‎ ‎(1)A　(2)D　[(1)由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A．‎ ‎(2)由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.]‎ ‎[规律方法]　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.‎ (2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝.‎ (3)求φ：常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·石家庄一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图343所示，则f的值为(　　)‎ 图343‎ A．－　　　B．－　　　C．－　　　D．－1‎ D　[由图象可得A＝，最小正周期T＝4＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即k＝1，φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，‎ 故选D．]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用 ‎　(2018·合肥二检)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的图象的对称轴方程；‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性．‎ ‎[解]　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，‎ 且T＝π，∴ω＝＝2.‎ 于是f(x)＝sin.‎ 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，‎ 得x＝＋(k∈Z)，‎ 即函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．‎ ‎(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ 因为x∈，令k＝0，‎ 得函数f(x)在上的单调递增区间为；‎ 同理其单调递减区间为.‎ ‎[规律方法]　三角函数图象与性质应用问题的求解思路,先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.‎ ‎[跟踪训练]　设函数f(x)＝－sinωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x ‎)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝－sinωx－sin ωxcos ωx ‎＝－·－sin 2ωx ‎＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin.‎ 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω＞0，所以＝4×，因此ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin.‎ 当π≤x≤时，≤2x－≤，‎ 所以－≤sin≤1，则－1≤f(x)≤.‎ 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.‎ ‎ ‎ 三角函数模型的简单应用 ‎　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差；‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ ‎ ‎【导学号：97190117】‎ ‎[解]　(1)因为f(t)＝10－2 ‎＝10－2sin，又0≤t＜24，‎ 所以≤t＋＜，－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.‎ ‎(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin＞11，‎ 即sin＜－.‎ 又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18.‎ 故在10时至18时实验室需要降温．‎ ‎[规律方法]　三角函数模型的实际应用类型及解题关键 (1)已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.‎ (2)函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.‎ ‎[跟踪训练]　如图344，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)‎ 图344‎ A．5　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10‎ C　[根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]‎