2018-2019学年重庆市南岸区高一下学期期末质量调研抽测数学试题

2018-2019学年重庆市南岸区高一下学期期末质量调研抽测数学试题

南岸区2018-2019学年上期质量调研抽测 高一数学试题 试卷：120分钟 分数：150分 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若  ，则的形状是　　‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 2. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是　　‎ A. B. C. D. ‎ 3. 如图，在上，D是BC上的点，且，，，则等于　　‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为  ‎ A. B. 4 C. D. ‎ 5. 已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，，数列满足，且，其中为的前n项和则   ‎ A. 3 B. C. D. 2‎ 6. 数列满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为  ‎ A. B. C. D. ‎ 1. 定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，，，中0的个数不少于1的个数，若，则不同的“规范01数列”共有　　[来源:学科网ZXXK]‎ A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个 2. 等差数列和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则等于　　‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知定义在R上的偶函数，其导函数为；当时，恒有，若，则不等式的解集为　　‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为　　‎ A. B. 3 C. 6 D. ‎ 6. 已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是　　‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 7. 设等比数列满足，，则______．‎ 8. 已知实数，，是与的等比中项，则的最小值是______．[来源:Zxxk.Com]‎ 9. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为______．‎ 10. 若直线l：与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，实数m的取值________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 1. 中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且． 求的值； 若，求面积的最大值． ‎ 2. 已知数列的前n项和为，且． Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ若，设数列的前n项和为，证明． ‎ 3. 已知函数是指数函数． 求的表达式； 判断的奇偶性，并加以证明 解不等式：． ‎ 4. 已知函数，M为不等式的解集． Ⅰ求M； Ⅱ证明：当a，时，． ‎ 5. 已知数列前n项和，点在函数的图象上． 求的通项公式； 设数列 的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．‎ 1. 扇形AOB中心角为，所在圆半径为，它按如下ⅠⅡ两种方式有内接矩形CDEF． Ⅰ矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设； Ⅱ点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设； 试研究ⅠⅡ两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？ ‎ ‎ ‎ 南岸区2018-2019学年上期质量调研抽测 高一数学 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. C 2. A 3. C 4. A 5. A 6. B 7. C 8. C 9. A 10. A 11. C 12. B ‎ ‎13.   ‎ ‎14. ．  ‎ ‎15.   [来源:学&科&网]‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解： ； 由，可得， 由余弦定理可得， 即有，当且仅当，取得等号． 则面积为． 即有时，的面积取得最大值．  ‎ ‎18. 解：当时，，得， 当时，，得， 数列是公比为3的等比数列， ． 由得：， 又 两式相减得：， 故， ．  ‎ ‎19. 解：函数是指数函数，且， ，可得或舍去， ； 由得， ‎ ‎， ， 是奇函数； 不等式：，以2为底单调递增， 即， ， 解集为  ‎ ‎20. 解：当时，不等式可化为：， 解得：， ， 当时，不等式可化为：， 此时不等式恒成立， ， 当时，不等式可化为：， 解得：， ， 综上可得：； 证明：Ⅱ当a，时， ， 即， 即， 即， 即．  [来源:学#科#网]‎ ‎21. 解：在函数的图像上，， 当时，， 得， 当时，，符合上式， ‎ ‎； 由知，则 ， 数列单调递增， ． 要使不等式对任意正整数n恒成立，只要． ， ． ，即， ．  ‎ ‎22. 解：如图，在中，设，则， 又， ． 当，即时，． Ⅱ令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，则， 于是，又， ‎ ‎． 当，即时，y取得最大值为：． ，ⅠⅡ两种方式下矩形面积的最大值为方式Ⅰ．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：在中，，， ，． ， ， 代入，，解得． 的形状是等边三角形． 故选：C． ，利用余弦定理可得，可得由，利正弦定理可得：，代入，可得． 本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎2. 解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足， 可得：，因为为锐角三角形，所以， 由正弦定理可得：． 故选：A． 利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可． 本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎3. 【分析】 本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属中档题． 由题意设，则，，在中由余弦定理可得，进而可得，在中由正弦定理可得．‎ ‎【解答】 解：由题意设，则，， 在中由余弦定理可得， ， ‎ 在中由正弦定理可得． 故选C．‎ ‎4. 【分析】 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题由双曲线的定义，可得，，，，再在中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求． 【解答】 解：因为为等边三角形，不妨设， A为双曲线上一点，， B为双曲线上一点，则，，， 由，则， 在中应用余弦定理得：， 得，则． 故选A．‎ ‎5. 【分析】 本题主要考查函数性质的转化，考查数列的通项，考查学生的计算能力，难度适中． 确定是以3为周期的周期函数是关键，先确定是以3为周期的周期函数，再由，且，推知，，由此即可求得结论． 【解答】 解：函数是奇函数，， ，， ， 是以3为周期的周期函数， ‎ ‎，且， ，，， ，， ， 故选A ‎6. 【分析】 本题考查数列的求和，由，，求得是关键，考查累加法求通项和裂项相消法求和的应用，属于中档题． ，又，利用累加法求得，从而，利用裂项相消法可求得数列的 前100项的和． 【解答】 解：， ，又， ， ， 数列的 前100项的和为：． 故选B．‎ ‎7. 解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若，说明数列有8项，满足条件的数列有： 0，0，0，0，1，1，1，1；   0，0，0，1，0，1，1，1；   0，0，0，1，1，0，1，1；   0，0，0，1，1，1，0，1；   0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1；   0，0，1，0，1，1，0，1；   0，0，1，1，0，1，0，1；   0，0，1，1，0，0，1，1；   0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1；   0，1，0，0，1，1，0，1；   0，1，0，1，0，0，1，1；   0，1，0，1，0，1，0，共14个． 故选：C． 由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当时，数列中有四个0和四个1，然后列举得答案． 本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏．‎ ‎8. 【分析】 本题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键，属于一般题． 利用等差数列的前n项和公式分别表示出等差数列和的前n项和分别为和，利用等差数列的性质化简后，得到，然后将代入已知的等式中求出的值，即为所求式子的值． 【解答】 解：，， 又当时，， ． 故选C．‎ ‎9. 【分析】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可． 【解答】 解：是偶函数，， 不等式等价为， 在区间单调递增， ，解得． 故选A．‎ ‎10. 【分析】 本题考查了函数的奇偶性和利用导数研究函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 根据函数为偶函数，则也为偶函数，根据条件当时，恒有，可以判断在为减函数，则不等式转化为 ‎，解出即可． 【解答】 解：是定义在R上的偶函数， ． 时，恒有， 两边同乘以2x得：． ， ， 在为减函数． 为偶函数， 为偶函数． ， ， ， ， 即， 解得， 故选A．‎ ‎11. 【分析】 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题通过图象可知，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论． 【解答】 解：设椭圆长轴，双曲线实轴， 由题意可知：， 又，， ，， 两式相减，可得：， ， ‎ ‎， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为6， 故选C． ​‎ ‎12. 【分析】 本题考查了函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，对数函数及其性质和比较大小． 构建函数，利用奇函数的定义得函数为R上奇函数，再利用导数研究函数的单调性得函数在R上为减函数，结合对数函数的图象知，再利用单调性比较大小得结论． 【解答】 解： 根据题意，令， 因为对成立， 所以， 因此函数为R上奇函数． 又因为当时，， 所以函数在上为减函数， 又因为函数为奇函数，所以函数在R上为减函数， 因为，所以， 即 故选B．‎ ‎13. ‎ ‎【分析】 设等比数列的公比为q，由已知条件列方程组求出和q，再利用等比数列的通项公式即可得出． 本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【解答】‎ 解：设等比数列的公比为q，，， ，， 解得，． 则． 故答案为．‎ ‎14. 【分析】 本题考查了推理能力与计算能力，属于中档题本题考查了等比数列的性质、指数运算性质、乘1法与基本不等式的性质，实数，，是与的等比中项，，可得再利用乘1法与基本不等式的性质即可得出． 【解答】 解：实数，，是与的等比中项， ，，解得． 则，当且仅当时，即，时取等号． 故答案为．‎ ‎15. 解：因为： ， 又因为：， 所以：， 面积， 而 所以：，即面积的最大值为 ‎． 故答案为：． 由正弦定理化简已知可得，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求，再利用三角形面积公式即可计算得解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎16. 【分析】‎ 本题考查直线与圆的位置关系及利用基本不等式求最值，将的面积用圆心到直线的距离表示，然后利用基本不等式即可求解．‎ ‎【解答】‎ 解： 曲线表示圆心在原点，半径为1的圆的上半圆，‎ 若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率，‎ 则点O到l的距离，‎ 又，‎ 当且仅当，即时，取得最大值．‎ 所以，‎ 解得舍去．‎ 故答案为．‎ ‎17. 本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题． 利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值； 运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．‎ ‎18. 本题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ 利用时，即可得出． 利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎19. 本题考查指数函数，考查函数的奇偶性，考查不等式的解法，属于中档题． 利用指数函数的定义，求出a，即可求的表达式； ，即可判断的奇偶性； 不等式：，即，即可解不等式：．‎ ‎20. 本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，是中档题． 分当时，当时，当时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案； Ⅱ当a，时，，即，配方后，可证得结论． 本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度困难．‎ ‎21. 本题考查数列的通项与求和，着重考查等差关系的确定及数列的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于难题． ，再写一式，即可求的通项公式； 由知，利用裂项法可求，从而可求得，由，可判断数列单调递增，从而可求得a的取值范围．‎ ‎22. Ⅰ如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值． Ⅱ先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值然后比较面积的最大值，得到结果即可． 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．‎