2021高考数学一轮复习第7章不等式推理与证明第4节归纳与类比教学案文北师大版

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2021高考数学一轮复习第7章不等式推理与证明第4节归纳与类比教学案文北师大版

第四节 归纳与类比 ‎[最新考纲] 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理,体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义.3.掌握演绎推理的基本模式,能运用它们进行一些简单的演绎推理.‎ ‎(对应学生用书第116页)‎ ‎1.归纳推理 ‎(1)定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个都有这种属性的推理方式.‎ ‎(2)特点:①是由部分到整体,由个别到一般的推理.‎ ‎②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.‎ ‎2.类比推理 ‎(1)定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程.‎ ‎(2)特点:①是两类事物特征之间的推理,是由特殊到特殊的推理.‎ ‎②利用类比推理得出的结论不一定是正确的.‎ ‎3.合情推理 ‎(1)定义:是根据实验和实践的结果,个人的经验和直觉,已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.‎ ‎(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确. (  )‎ ‎(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理. (  )‎ ‎(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. (  )‎ ‎[答案](1)× (2)√ (3)×‎ 二、教材改编 ‎1.已知数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是(  )‎ A.an=3n-1  B.an=4n-3‎ - 8 -‎ C.an=n2 D.an=3n-1‎ C [a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.]‎ ‎2.观察下列各式:‎ a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=(  )‎ A.28 B.76‎ C.123 D.199‎ C [由题意可知,a6+b6=7+11=18;‎ a7+b7=11+18=29;‎ a8+b8=18+29=47;‎ a9+b9=29+47=76;‎ a10+b10=47+76=123.]‎ ‎3.如图(1)有面积关系:=,则由图(2)有体积关系:=________.‎ ‎(1)        (2)‎  [平面上的面积可类比到空间上的体积.‎ ==.]‎ ‎4.在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9=1,则存在的等式为________.‎ b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+) [利用类比推理,借助等比数列的性质, b=b1+n·b17-n,‎ 可知存在的等式为b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).]‎ ‎(对应学生用书第116页)‎ ‎⊙考点1 归纳推理 ‎ 与数字或式子有关的推理 ‎(1)‎ - 8 -‎ 与数字有关的数阵(或数表)问题,要观察数字特征,数字与序号间的关系及其变化规律,一般要结合数列知识求解.‎ ‎(2)与式子有关的问题,要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律,归纳推理得出一般结论.‎ ‎(1)(2019·皖南八校月考)将正整数依次排列如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 由表知第5行第3列的数是13,若第2 020行第2列的数是a,则a的各位数字中,数字0的个数为(  )‎ A.0 B.1    ‎ C.2     D.2‎ ‎(2)(2019·山东省实验中学等四校联考)观察下列式子,ln 2>,ln 3>+,ln 4>++,…,根据上述规律,第n个不等式应该为________.‎ ‎(1)B (2)ln(n+1)>++…+ [(1)由题前n行中共有1+2+3+…+n=个整数,故第2 019行中最后一个数:=2 039 190,‎ 第2020行中第2列的数为:2 039 190+2=2 039 192,故0的个数为1,故选B.‎ ‎(2)根据题意,对于第一个不等式,ln 2>,则有ln(1+1)>,‎ 对于第二个不等式,ln 3>+,则有 ln(2+1)>+,‎ - 8 -‎ 对于第三个不等式,ln 4>++,则有 ln(3+1)>++,‎ 依此类推:‎ 第n个不等式为:ln(n+1)>++…+.]‎ ‎ 与数字或式子有关的推理主要考查数列的通项的求法,即从题设信息中发现数式变化规律,运用归纳猜想可解,重视由特殊到一般的数学思想.‎ ‎ 1.(2019·安庆模拟)《周易》历来被人们视为儒家经典之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当做数字“1”,把阴爻“”当做数字“0”,则八卦代表的数表示如下:‎ 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 ‎000‎ ‎0‎ 震 ‎001‎ ‎1‎ 坎 ‎010‎ ‎2‎ 兑 ‎011‎ ‎3‎ 以此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是(  )‎ A.18 B.17 ‎ C.16 D.15‎ B [由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001,转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17,故选B.]‎ ‎2.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:‎ ‎22=1+3;32=1+3+5;42=1+3+5+7;23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19.‎ 根据上述分解规律,则52=1+3+5+7+9,若m3(m∈N+)的分解中最小的数是73,则m的值为________.‎ ‎9 [根据23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19,从23起,m3的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和,23为前两项和,33为接下来三项和,故m3的首个数为m2-m+1.因为m3(m∈N+)的分解中最小的数是73,所以m2-m+1=73,解得m=9.]‎ ‎ 与图形变化有关的推理 ‎ 与图形变化有关的推理,其解题切入点:‎ - 8 -‎ ‎(1)从图形的数量规律入手,找到数值变化与序号的关系;(2)从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后,与上一次比较,结构、数值发生了怎样的变化,探求规律.‎ ‎ 如图所示,第n个图形是由正n+2边形拓展而来(n=1,2,…),则第n-2(n≥3)个图形共有________个顶点.‎ ‎①   ②    ③     ④‎ n2+n [第一个图有3+3×3=4×3个顶点;‎ 第二个图有4+4×4=5×4个顶点;‎ 第三个图有5+5×5=6×5个顶点;‎ 第四个图有6+6×6=7×6个顶点;‎ ‎……‎ 第n个图有(n+3)(n+2)个顶点,‎ 第n-2个图形共有n(n+1)=n2+n个顶点.]‎ ‎ 与图形变化有关的推理常借助特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.‎ ‎ (2019·呼和浩特模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n=6时,该黑色三角形内去掉小三角形个数为(  )‎ n=1     n=2    n=3‎ A.81 B.121 ‎ C.364 D.1 093‎ C [由题图可知,每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1,‎ 所以,n=1时,a1=1;‎ - 8 -‎ n=2时,a2=3+1=4;‎ n=3时,a3=3×4+1=13;‎ n=4时,a4=3×13+1=40;‎ n=5时,a5=3×40+1=121;‎ n=6时,a6=3×121+1=364,故选C.]‎ ‎⊙考点2 类比推理 ‎ 类比推理的应用类型及解题方法 类比 定义 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解 类比 性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键 类比 方法 有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移 ‎(1)(2019·太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+=x(x>0)求得x=.类比上述方法,则=(  )‎ A.3 B. C.6 D.2 ‎(2)若点P0(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)外,过点P0作该椭圆的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为+=1.那么对于双曲线-=1(a>0,b>0),类似地,可以得到一个正确的切点弦方程为________.‎ ‎(1)A (2)-=1 [(1)由题意结合所给的例子类比推理可得=x(x≥0),整理得(x+1)(x-3)=0,则x=3,x=-1(舍),即=3,故选A.‎ ‎(2)若点P0(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)外,过点P0作该双曲线的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为-=1.]‎ - 8 -‎ ‎ 类比推理的关键是找到合适的类比对象,推理的一般步骤为:先找出两类事物之间的相似性或一致性,再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎1.我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦.若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O-ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S为顶点O所对面△ABC的面积,S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,则下列选项中对于S,S1,S2,S3满足的关系描述正确的为(  )‎ A.S2=S+S+S B.S2=++ C.S=S1+S2+S3 D.S=++ ‎ A [如图,作OD⊥BC于点D,连接AD,则AD⊥BC,从而S2==BC2·AD2=BC2·(OA2+OD2)=(OB2+OC2)·OA2+BC2·OD2=++=S+S+S.]‎ ‎2.“求方程+=1的解”有如下解题思路:设f(x)=+,则f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路,不等式x6-(x+2)>(x+2)3-x2的解集是________.‎ ‎(-∞,-1)∪(2,+∞) [不等式x6-(x+2)>(x+2)3-x2变形为x6+x2>(x+2)3+(x+2),‎ 令u=x2,v=x+2,‎ 则x6+x2>(x+2)3+(x+2)转化为u3+u>v3+v.‎ 设f(x)=x3+x,知f(x)在R上为增函数,‎ ‎∴由f(u)>f(v),得u>v.‎ 不等式x6+x2>(x+2)3+(x+2)可化为x2>x+2,‎ 解得x<-1或x>2.‎ ‎∴所求解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).]‎ ‎ 在平面几何中,若正方形ABCD的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到立体几何中,若正方体ABCDA1B1C1D1的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=‎ - 8 -‎ ‎________.‎  [正方形ABCD的内切圆的半径为r1,外接圆的半径为r2,半径比=,面积比为半径比的平方,=,正方体ABCDA1B1C1D1的内切球的半径为R1,外接球的半径为R2,半径比=,所以体积比是半径比的立方,=.]‎ ‎⊙考点3 生活中的合情推理 ‎ 假设反证法解决逻辑推理问题:先假设题中给出的某种情况是正确的,并以此为起点进行推理.如果推理导致矛盾,则证明此假设是错误的,再重新提出一个假设继续推理,直到得到符合要求的结论为止.‎ ‎ (2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.‎ 甲:我的成绩比乙高.‎ 乙:丙的成绩比我和甲的都高.‎ 丙:我的成绩比乙高.‎ 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为(  )‎ A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 A [若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲、乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.]‎ ‎ 对于逻辑推理问题,求解的关键是以肯定某个事物(某句话等)为基准,推出矛盾,进而得出结论.‎ ‎ (2019·东北三省三校一模)甲、乙、丙三人中,只有一个会弹钢琴,甲说:“我会”,乙说:“我不会”,丙说:“甲不会”,如果这三句话只有一句是真的,那么会弹钢琴的是________.‎ 乙 [假设甲会,那么甲、乙说的都是真话,与题意矛盾,所以甲不会;假设乙会,那么甲、乙说的都是假话,丙说的是真话,符合题意;假设丙会,那么乙、丙说的都是真话,与题意矛盾.故答案是乙.]‎ - 8 -‎
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