江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第16次周考数学(文)试卷

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文档介绍

江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第16次周考数学(文)试卷

数学(文) 一、单选题 1.下列各式中,正确的是( ) A. B. 且 C. D. 2.下列说法正确的个数为( ) ①命题“ 中,若 ,则 ”的逆命题是真命题 ②若命题 ,则 ③“命题 为真命题”是“命题 为假命题”的充要条件 ④设 均为非零向量,则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的必要不充分条件 A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知定义域为 的函数 在 单调递增,且 为偶函数,若 ,则 不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 4.对于函数 ,在使 成立的所有常数 中,我们把 的最大值称为函数 的“下确界”.若函数 , 的“下确界”为 ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 5.若数列 满足 ,且 ,若使不等式 成立的 有 且只有三项,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. { }2 2x x⊆ ≤ {3 2x x∈ > }1x < { } { }4 1, 2 1,x x k k Z x x k k Z= ± ∈ ≠ = + ∈ { } { }3 1, 3 2,x x k k Z x x k k Z= + ∈ = = − ∈ ABC A B∠ = ∠ sin sinA B∠ = ∠ 2: , 1 0p x R x x∀ ∈ + + > 2: , 1 0p x R x x¬ ∃ ∈ + + ≤ p q∧ p¬ ,a b  0a b⋅ >  a b R ( )f x [1, )+∞ ( 1)f x + (3) 1f = (2 1) 1f x + < ( 1,1)− ( 1, )− +∞ ( ,1)−∞ ( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( )f x ( )f x M≥ M M ( )f x ( ) 3cos 2 13f x x π = − +   ,6x m π ∈ −   1 2 − m ,6 2 π π −   ,6 2 π π −   5,6 6 π π −   5,6 6 π π −   { }na 1 1 3a = − ( ) ( )1 2 2n n na a n−= + − ≥ na λ≤ na λ 13 35,3 3     13 35,3 3      35 61,3 3     35 61,3 3      6.已知 外接圆的半径 ,且 .则 周长的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 7.若 x,y 满足约束条件 ,则直线方程 中 k 的取值范围是 ( ) A. B. 或 C. D. 或 8.设 为三个不同的平面, 是两条不同的直线,则下列命题为假命题的是( ) A.若 , , ,则 B.若 , , , , 则 C.若 , ,则 D.若 , ,则 9.已知过点 的直线与抛物线 交于 两点, 为抛物线的焦点,若 为常数,则 的值为( ) A.2 B.-2 C.2 或-2 D.不存在 10.众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,也被称为“阴阳鱼太极 图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在 y 轴右侧部分的边界为一个半圆,给出以下命题: ①在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是 ②当 时,直线 y=ax+2a 与白色部分有公共点; ③黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(x,y),则 x+y 的最大值为 2; ④设点 P(﹣2,b),点 Q 在此太极图上,使得∠OPQ=45°,b 的范围是[﹣2,2]. 其中所有正确结论的序号是( ) A.①④ B.①③ C.②④ D.①② ABC 2R = 22 3 cos sin2 A A= ABC (2 3,4] (4,4 3] (4 3,4 2 3]+ (4 2 3,6 3]+ 0 3 0 2 0 x x y x y ≥  + − ≥  − ≤ 2 2 2 3 0kx y k− − + = 3 1 2 2k− < < − 1 2k > − 3 2k < − 3 1 2 2k− < ≤ − 1 2k ≥ − 3 2k ≤ − , ,α β γ ,m n m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥ α β⊥ nα β = m α⊂ m n⊥ m β⊥ m β⊥ m α⊂ α β⊥ α β⊥ β γ⊥ α γ⊥ ( ),0A t 2 8y x= ,B C F 1 1 BF CF + t 1 2 3 2a = − 11.在 中,若 , , ,则 .类比 上述结论,可推测:在三棱锥 中,若 , , 两两垂直, , , , , , ,则 ( ) A. B. C. D. 12.已知函数 ( ), ( ),其中 ,若 的图象在点 处的切线与 的图象在点 处的切线重合,则 的取值 范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题 13.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费 情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间 内,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)直方图中的 _________; (Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间 内的购物者的人数为_________. 14.已知向量 ,且 , 的夹角为 ,则 在 方向上的投影为______. 15.如图,已知圆锥的顶点为 S,底面圆 O 的两条直径分别为 AB 和 CD,且 AB⊥CD,若平面 平面 .现有以下四个结论: ①AD∥平面 SBC; ② ; ③若 E 是底面圆周上的动点,则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积; ④ 与平面 SCD 所成的角为 45°. 其中正确结论的序号是__________. 16.双曲线 上一点 P,过双曲线中心 O 的直线交双曲线于 A、B 两不同(点 A,B 异于点 P).设直线 PA、PB 的斜率分别为 、 ,当 最小时,双曲线的离心率为_______. OAB OA OB⊥ OA a= OB b= 2 2 2 2 1 1AB a b ab a b = + = + O ABC− OA OB OC OA a= OB b= OC c= 1BOCS S=△ 2COAS S=△ 3AOBS S=△ ABCS =  2 2 2 1 1 1abc a b c + + 1 2 3 2 2 2 1 2 3 1 1 1S S S S S S + + 2 2 2a b c+ + 2 2 2 1 2 3S S S+ + 21 1( ) 14 2f x x x a= + + − 0x < ( ) lng x x= 0x > a R∈ ( )f x 1 1( , ( ))A x f x ( )g x 2 2( , ( ))B x g x a ( 1 ln 2, )− + +∞ (ln 2, )+∞ ( 1 ln 2, )− − +∞ ( ln 2, )− +∞ | | 2, | | 5a b= =  a b 60° 2a b−  a SAD ∩ SBC l= / /l AD l ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 1k 2k 2 2 1 2 1 2 6 1 ln lnk kk k ⋅ + + 三、解答题 17.已知数列 的前 项和为 ,且满足 . (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)记 ,求证: . 18.如图, 是正方形,点 在以 为直径的半圆弧 上( 不与 , 重合), 为线段 的中点,现将正方形 沿 折起,使得平面 平面 . (1)证明: 平面 . (2)若 ,当三棱锥 的体积最大时,求 到平面 的距离. .19.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后,下一代颠覆性的核心技术区块链作 为构造信任的机器,将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式,2015 年至 2019 年五年期 间,中国的区块链企业数量逐年增长,居世界前列现收集我国近 5 年区块链企业总数量相关 数据,如表 年份 2015 2016 2017 2018 2019 编号 1 2 3 4 5 企业总数量 y(单位:千个) 2.156 3.72 7 8.305 24.279 36.224 { }na n nS ( )* 1 13,3 3 3n na S a n n N+= = − − ∈ { }na 1 2 1 ,n n n n n ab T b b ba + = = + +…+ 1 4 15n nT > − ABCD P BC P B C E BC ABCD BC ABCD ⊥ BCP BP ⊥ DCP 2BC = D BPC− E BDP 注:参考数据 (其中 z= lny). 附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的最小二乘法估计公式为 (1)根据表中数据判断,y=a+bx 与 y=cedx(其中 e=2.71828…,为自然对数的底数),哪 一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量?(给出结果即可,不必说明理 由) (2)根据(1)的结果,求 y 关于 x 的回归方程(结果精确到小数点后第三位); (3)为了促进公司间的合作与发展,区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛,邀请 甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下:①每场比赛有两个公司参加,并决出胜负; ②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一个 公司首先获胜两场,则本次比赛结束,该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”,已知在 每场比赛中,甲胜乙的概率为 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 ,请通过计算说 明,哪两个公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公司”的概率最大? 20.已知动圆与 轴相切于点 ,过点 , 分别作动圆异于 轴的两切 线,设两切线相交于 ,点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的轨迹方程; (2)过 的直线 与曲线 相交于不同两点 ,若曲线 上存在点 ,使得 成立,求实数 的范围. 21.已知函数 , 是其导函数. (Ⅰ)当 时,求 在 处的切线方程; (Ⅱ)若 ,证明: 在区间 内至多有 1 个零点. 22.已知在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (t 为参数).以原点 O 5 5 5 5 1 1 1 1 74.691 312.761 10.980 40.457i i i i i i i i i i y x y z x z = = = = = = = =∑ ∑ ∑ ∑, , , ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ ˆˆ n i ii n ii x x y y b a y bx x x = = − − = = − − ∑ ∑ , 1 3 3 5 1 2 y (0,2)M (0, 1)E − (0,1)F y Q Q Ω Ω (2,0) l Ω ,A B Ω P OP OA OBλ = +uuur uuur uuur λ ( ) ( sin 1) xf x ax x e= − − ⋅ ( )a∈ R ( )f x′ 1a = ( )f x 0x = 1a ≥ ( )f x′ ( )0,π 2 2 2 1 1 1 tx t ty t  += −  = − 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos( ) . (1)求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程; (2)若直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于点 P,求 的值. 23.已知函数 . (1)当 时,解不等式 ; (2)若 对于任意的实数 恒成立,求实数 的取值范围. 3 πθ + 5 4 = 1 1 PA PB + 1( ) | | | 3| 2( )2f x x k x k R= − + + − ∈ 1k = ( ) 1f x ≤ ( )f x x x k 文数 一、单选题 1.D 2.C 3.A 4.A 5.A 【详解】 当 时, , 于是有: , 所以 ,显然 也适合, 因此数列 的通项公式为: . 当 为奇数时, ,此时数列 的奇数项数列 是单调递增函数; 当 为偶数时, ,此时数列 的偶数项数列 是单调递增函数,要想使不等式 成立的 有且只有三项,只需有: . 6.C 7.D 直线 ,即 ,由 得 直线过定点 ,作出不等式组所表示的平面区域(包含边界), 2n ≥ 1 1 2 2 3 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n na a a a a a a a a a− − − − −= − + − + − + + − + 2 1 1 2 2 1 ( 2) [1 ( 2) ] 1( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( )3 1 ( 2) 3 n n n n na − − − − − −= − + − + − + + − + − = −− − 111 ( 2)3 n na += − − 1 1 3a = − { }na 111 ( 2)3 n na += − − n 1 1 11 1 11 ( 2) 1 2 2 13 3 3 n n n na + + += − − = − ⋅ = ⋅ − { }na n 1 1 11 1 11 ( 2) 1 2 2 13 3 3 n n n na + + += − − = + ⋅ = ⋅ + { }na na λ≤ na 2 1 3 2 43 4 5 1 12 13 3 1 112 1 13 353 3 1 13 3 32 13 3 1 352 13 3 a a a a λ λ λ λ λλ λλ λ λ λ λ λ  ⋅ − ≤ ≥    ≤   ⋅ + ≤ ≥≤   ⇒ ⇒ ⇒ ≤ <  ≤  ⋅ − ≤ ≥  >    ⋅ + > <   2 2 2 3 0kx y k− − + = ( )2 1 2 3 0k x y− − + = 1 0 2 3 0 x y − = − + = 31, 2P     结合图象可知 或 , 8.D 9.C 解:设过点 的直线方程为 ,代入 得 , 设 , , ∴ , , ∴ , ∴ , 10.A 11.D. 12.B 【详解】 , , 故切线方程为: ; ,故 ,切线方程为: ; 故 , , 化简整理得到: , ,故 , 设 , , 故函数在 上单调递减,故 ,当 时, ,故 . 13.【答案】(Ⅰ)3;(Ⅱ)6000. 14. 15.①②④ 16.2【详解】 设 , , ,显然 , . ( ) ( )0,3 , 2,1A B 3 1 12 1 2 2BPk k − ≥ = = −− 3 3 32 1 0 2APk k − ≤ = = −− ( ),0A t x my t= + 2 8y x= 2 8 8 0y my t− − = ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y 1 2 8y y m+ = 1 2 8y y t= − ( )22 2 1 2 1 2 1 22y y y y y y+ = + − 264 16m t= + 1 1 BF CF + 1 2 1 1 2 2x x = ++ + 2 1 1 28 y = + 2 2 1 28 y + + ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 8 256 16 256 y y y y y y + + = + + + ( ) ( ) 2 2 2 8 64 16 256 64 16 64 16 256 m t t m t + + = + + + 2 2 2 1 8 2 4 12 8 2 22 m t m t t + += ⋅ + + + 21 1( ) 14 2f x x x a= + + − 1 1'( ) 2 2f x x= + ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 2y x x x x x a = + − + + + −   ( ) lng x x= 1'( )g x x = ( )2 2 2 1 lny x x xx = − + 1 2 1 1 1 2 2x x + = ( ) ( )2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 11 ln2 2 4 2x x x x a x xx  + − + + + − = − +   ( )2 1 1 1 1 1 1ln , 04 2 2a x x x = − + <   1 1 1 02 2x + > 11 0x− < < ( ) ( )21 1 1ln , 1 04 2 2g x x x x = − + − < <   ( ) ( )( ) ( ) 2 11 1' 2 1 2 1 x xg x x x x + −= − =+ + ( )1,0− ( )0 ln 2g = 1x → − ( )g x → +∞ ln 2a > 3 2 ( ),P x y ( )1 1,A x y ( )1 1,B x y− − 1x x≠ 1x x≠ − ∵点 A,P 在双曲线上,∴ ,两式相减得 ,∴ ,∵ , 设 ,则 ,∴求导得 , ∴ 在 单调递减,在 单调递增, ∴当 时, 取最小值,此时 . 17.(Ⅰ)由题意知, , , 令 ,得 ,即 ,解得 , 由 , ,两式作差,得 ,即 , 又 ,所以 ,且 , 故 ,所以数列 是以 4 为首项,4 为公比的等比数列, 所以 ,所以数列 的通项公式为 . (Ⅱ) , 则 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b  − =  − = 2 2 2 1 2 2 2 1 y y b x x a − =− 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 0AP BP y y y y y y bk k k k x x x x x x a − + −= = ⋅ = = >− + − ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 1 6ln ln 2lny k k k kk k k k = ⋅ + + = + ⋅⋅ 1 2t k k= ( )6 2ln 0y t tt = + > 2 2 6 2 2 6ty t t t −′ = − + = 6 2lny tt = + ( )0,3 ( )3,+∞ 3t = 6 2lny tt = + 2 21 1 2be ta = + = + = 1 3a = ( )* 13 3 3n nS a n n N+= − − ∈ 1n = 1 23 3 3S a= − − 23 3 3 3a× = − − 2 15a = 1 1 3 3 3 3 3( 1) 3 n n n n S a n S a n + − = − −  = − − − 2n ≥ ( )1 13 3 3 3 3 1 3n n n nS S a n a n− +− = − − − + − + 1 4 3( 2)n na a n+ = + ≥ 2 14 3a a= + 1 4 3( 1)n na a n+ = + ≥ 3na ≥ 1 1 41 n n a a + + =+ { }1na + 11 4 4n na −+ = × { }na 4 1n na = − 1 1 4 1 4 1 n n n n n ab a + + −= = − 1 3 4 16 4 4n = − ⋅ − 1 3 1 1 4 15 4 4 4 4 5 4n n n = − ≥ −⋅ + − ⋅ 1 2n nT b b b= + +¼ + 2 1 1 1 1 4 5 4 4 4n n  ≥ − + +…+   1 1141 4 4 115 4 nn  × −        = −    −   .所以 . 18.【详解】 (1)证明:因为平面 平面 是正方形,平面 平面 ,所以 平面 .因为 平面 ,所以 . 因为点 在以 为直径的半圆弧上,所以 .又 , 所以 平面 . (2)当点 位于 的中点时, 的面积最大,三棱锥 的体积也最大.因为 ,所以 ,所以 的面积为 , 所以三棱锥 的体积为 .因为 平面 ,所以 , , 的面积为 . 设 到平面 的距离为 ,由 ,得 ,即 到平面 的距离为 .19.(1)选择回归方程 y=cedx,适宜预测未来几年我国区块链企业总数量; (2)对 y=cedx 两边取自然对数,得 lny=lnc+dx,令 z=lny,a=lnc,b=d,得 z=a+bx.由 于 , , , ∵ 0.752, . ∴z 关于 x 的回归方程为 ,则 y 关于 x 的回归方程为 ; (3)对于首场比赛的选择有以下三种情况:A、甲与乙先赛;B、甲与丙先赛;C、丙与乙先 赛.由于在每场比赛中,甲胜乙的概率为 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 , 则甲公司获胜的概率分别是: P(A) ; 1 1 114 15 4 4 15n n n = − − > −   1 4 15n nT > − ABCD ⊥ ,BPC ABCD ABCD  BPC BC= DC ⊥ BPC BP ⊂ BPC BP DC⊥ P BC BP PC⊥ DC PC C∩ = BP ⊥ DCP P BC BCP∆ D BPC− 2BC = 1PE = BEP∆ 1 11 12 2 × × = D BEP− 1 1 123 2 3 × × = BP ⊥ DCP BP DP⊥ 2 2(2 2) ( 2) 6DP = − = BDP∆ 1 2 6 32 × × = E BDP d 1 133 3d× × = 3 3d = E BDP 3 3 5 1 15i i x = =∑ 5 1 1 35 i i x x = = =∑ 5 1 1 2.1965 i i z z = = =∑ 5 1 5 22 2 1 5 40.457 5 3 2.196 55 5 35 i ii ii x z x z b x x = = − ⋅ − × ×= = ≈− ×− ∑ ∑  2.196 0.752 3 0.060a z b x= − = − × = −  0.752 0.060z x= − 0.752 0.060xy e −= 1 3 3 5 1 2 1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 131 1 13 5 3 5 2 3 3 2 5 3 45      = × + × − × × + − × − × × =           P(B) ; P(C) . 由于 , ∴甲与丙两公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公司”的概率大. 20.【详解】 (1)设过点 、 与动圆相切的切点分别为 , 则 , , , 故 , 由 、 、 的坐标可知 , , , 由椭圆的定义可知,点 是以 、 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(不包括长轴端点). 设曲线 的方程为: ,即 , , , 故曲线 的轨迹方程为 (2)由题可知直线 的斜率存在,设直线 的方程为 , 由 消 得 , , 且 , 设 , , ,则 , , , , , 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 91 1 15 3 5 3 2 5 5 2 3 5 25      = × + × − × − × + − × × × =           1 3 1 1 1 3 11 2 5 3 2 3 5 5  = − × × + × × =   9 13 1 25 45 5 > > E F ,C D QC QD= FD FM= EC EM= QE QF QE QD DF+ = + + QE QC FM= + + = CE FM EM FM+ = + E F M 3EM = 1FM = 4QE QF EF∴ + = > Q E F Ω 2 2 2 2 1y x a b + = ( 0, 0)a b x> > ≠ 2a = 1c = 2 3b∴ = Ω 2 2 1( 0)4 3 y x x+ = ≠ l l ( 2)( 1)y k x k= − ≠ ± 2 2 14 3 ( 2) y x y k x  + =  = − y ( ) ( )2 2 2 23 4 12 12 1 0k x k x k+ − + − = ( )( )4 2 2144 48 3 4 1 0k k k∆ = − + − > 20 4k∴ ≤ < 2 1k ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,P x y 2 1 2 2 12 3 4 kx x k + = + ( )2 1 2 2 12 1 3 4 k x x k − = + ( )1 2 1 2 4y y k x x∴ + = + − 2 2 2 12 1643 4 3 4 k kk k k   −= − = + +  OP OA OBλ = +uuur uuur uuur Q ( ) ( )0 0 1 2 1 2, ,x y x x y yλ λ∴ = + + , 当 时, ,直线 为 轴,满足 . 当 , 时, , , 代入椭圆方程得 ,化简得 , ,且 , ,且 , 综上可得 的取值范围为: . 21.解:(Ⅰ)当 时, ,则 , 又 , 则 在 处的切线方程为: , 即 . (Ⅱ) , 又 ,设 , , , 因 ,故 , 又 ,故 对 恒成立,即 在区间 单调递增; 又 , ; 2 0 1 2 2 12 3 4 kx x x k λ∴ = + = + 0 2 16 3 4 ky k λ −= + 0λ = 0k = l x OP OA OBλ = +uuur uuur uuur 0λ ≠ 0k ≠ ( ) 2 0 1 2 2 1 1 12 3 4 kx x x kλ λ= + = + ( )0 1 2 2 1 1 16 3 4 ky y y kλ λ −= + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 2 2 2 1216 1 4 3 4 3 3 4 kk k kλ λ − + = + + 2 2 2 2 16 16 43 4 3 k k k λ = =+ + 20 4k< ( ) sin cos 1g x ax x x a= − − + − ( ) 0f x′∴ = ( ) 0g x∴ = ( ) cos sin 2 sin 4g x a x x x a π ′ = − + = − +   (0, )x π∈ 2 sin ( 1, 2]4x π − ∈ −   1a ≥ ( ) 0g x′ ≥ (0, )x π∈ ( )g x ( )0,π (0) 2g a= − ( ) ( 1) 0g aπ π= + > 故当 时, ,此时 在区间 内恰好有 个零点. 当 时, ,此时 在区间 内没有零点; 综上结论得证. 22.(1)曲线C 的参数方程为 (t 为参数),转化为直角坐标方程为 x2﹣4y2=1 ( ) 直线 l 的极坐标方程为 ρcos( ) .转化为直角坐标方程为: . (2)由于直线与 x 轴的交点坐标为( ),所以直线的参数方程为 (t 为参数),代入 x2﹣4y2=1 得到: , 所以: ,t1 t2=-1,则: 8. 23.【详解】(1) , . 由 得 或 或 解得 或 或 , 不等式 的解集为 . (2)由 对于任意的实数 恒成立,得 对于任意的实数 恒 1 2a≤ ≤ (0) 2 0g a= − ≤ ( )f x′ ( )0,π 1 2a > (0) 2 0g a= − > ( )f x′ ( )0,π 2 2 2 1 1 1 tx t ty t  += −  = − 1x ≠ − 3 πθ + 5 4 = 1 3 5 2 2 4x y− = 5 02 , 5 3 2 2 1 2 x t y t  = +  = 2 2 15 1 0t t− − = 1 2 2 15t t+ = ⋅ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 41 1 t t t t t t PA PB t t t t − + −+ = = = 1k = 1( ) | 1| | 3| 22f x x x∴ = − + + − 3 5 , 3,2 2 1( ) , 3 1,2 2 3 3 , 1.2 2 x x xf x x x x − − < − ∴ = − + − ≤ ≤   − > ( ) 1f x ≤ 3, 3 5 1,2 2 x x < −− − ≤ 3 1, 1 1,2 2 x x − ≤ ≤− + ≤ 1, 3 3 1.2 2 x x > − ≤ x∈∅ 1 1x− ≤ ≤ 51 3x< ≤ ∴ ( ) 1f x  5| 1 3x x − ≤ ≤   (x) xf ≥ x 1| | | 3| 22x k x x− + + ≥ + x 成立 当 时, 恒成立; 当 时, 恒成立 恒成立, 即 恒成立, 当 时, 显然恒成立, 当 时, 恒成立 或 恒成立, 即 或 恒成立. ,解得 , 实数 的取值范围为 . 2x −≤ 1| | | 3| 0 22x k x x− + + ≥ ≥ + 2x > − 1| | | 3| 22x k x x− + + ≥ + 3| | 22 xx k x +⇔ − + ≥ + 1| | 2 xx k +− ≥ 2 1x− < ≤ − 1| | 2 xx k +− ≥ 1x > − 1| | 2 xx k +− ≥ 1 2 xx k +⇔ − ≥ 1 2 xx k +− ≤ − 2 1x k≥ + 2 1 3 2x k ≤ −   2 1 1k∴ + ≤ − 1k ≤ − ∴ k { | 1}k k ≤ −
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