2018届二轮复习数列求和课件理（全国通用）

2018届二轮复习数列求和课件理（全国通用）

第四节 数列求和 【 知识梳理 】 1. 等差数列的前 n 项和公式 2. 等比数列的前 n 项和公式 3. 一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1+2+3+4+…+n=______. (2)1+3+5+7+…+2n-1=__. (3)2+4+6+8+…+2n=____. (4)1 2 +2 2 +…+n 2 = . (5)1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 . n 2 n 2 +n 4. 数列求和方法 (1) 公式法求和 : 使用已知求和公式求和的方法 , 即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法 . (2) 裂项相消法求和 : 把数列的通项拆分为两项之差 , 使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法 . (3) 错位相减法求和 : (i) 适用的数列 :{ a n b n }, 其中数列 {a n } 是公差为 d 的等差数列 ,{ b n } 是公比为 q≠1 的等比数列 . (ii) 方法 : 设 S n =a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+ a n b n (*), 则 qS n =a 1 b 2 +a 2 b 3 +…+a n-1 b n +a n b n+1 (**), (*)-(**) 得 :(1-q)S n =a 1 b 1 +d(b 2 +b 3 +…+b n )-a n b n+1 , 就转化为根据公式可求的和 . 例如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的 . (4) 倒序相加法求和 : 如果一个数列 {a n } 与 ___________________ 的两项的和等于首末两项之和 , 可把正着写与倒着写的两个式子相加 , 就得到一个常数列的和 , 那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法 , 例如 , 等差数列的前 n 项和公式就是用此法推导的 . 首末两端等“距离” (5) 分组转化法求和 : 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 , 则求和时可用分组转化法求和 , 分别求和而后相加减 . 例如 , 已知 a n =2 n +(2n-1), 求其前 n 项和 S n . (6) 并项转化法求和 : 把数列中的若干项结合到一起 , 形成一个新的可求和的 数列 , 此时 , 数列中的项可能 ___________ 出现或呈现 _______. 形如 a n =(-1) n f(n) 类型 , 可采用两项合并求解 . 例如 : S n =100 2 -99 2 +98 2 -97 2 +…+2 2 -1 2 =(100 2 -99 2 )+(98 2 - 97 2 )+…+(2 2 -1 2 )=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 正、负相间 周期性 【 特别提醒 】 两种常用求和法的关注点 (1) 使用裂项相消法求和时 , 要注意正负项相消时 , 消去了哪些项 , 保留了哪些项 , 切不可漏写未被消去的项 , 未被消去的项有前后对称的特点 . (2) 在应用错位相减法求和时 , 若等比数列的公比为参数 , 应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解 . 【 小题快练 】 链接教材　练一练 1.( 必修 5P47 习题 2.3B 组 T4 改编 ) 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a n = , 则 S 5 等于　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 所以 S 5 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 2.( 必修 5P61 习题 2.5A 组 T4(3) 改编 )1+2x+3x 2 +…+nx n-1 = 　　　 (x≠0 且 x≠1). 【 解析 】 设 S n =1+2x+3x 2 + … +nx n-1 , 　① 则 xS n =x+2x 2 +3x 3 +…+nx n , 　② ① -② 得 :(1-x)S n =1+x+x 2 +…+x n-1 -nx n 所以 答案 : 感悟考题　试一试 3.(2014· 全国卷 Ⅱ) 等差数列 {a n } 的公差为 2, 若 a 2 ,a 4 , a 8 成等比数列 , 则 {a n } 的前 n 项和 S n = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 因为 d=2,a 2 ,a 4 ,a 8 成等比数列 , 所以 a 4 2 =a 2 a 8 , 即 (a 2 +2d) 2 =a 2 (a 2 +6d), 解得 a 2 =4, 所以 a 1 =2. 所以利用等差数列的求和公式可求得 S n =n(n+1). 4.(2016· 唐山模拟 )(2-3×5 -1 )+(4-3×5 -2 )+…+(2n-3×5 -n )= 　　　 . 【 解析 】 (2-3 × 5 -1 )+(4-3 × 5 -2 )+ … +(2n-3 × 5 -n ) =(2+4+…+2n)-3(5 -1 +5 -2 +…+5 -n ) 答案 : 5.(2015· 江苏高考 ) 数列 {a n } 满足 a 1 =1, 且 a n+1 -a n = n+1(n∈N * ), 则数列 的前 10 项和为 　　　　　 . 【 解析 】 a n =(a n -a n-1 )+(a n-1 -a n-2 )+ … +(a 2 -a 1 )+a 1 =n+(n-1)+(n-2)+ … +2+1= , 所以 所以 的前 10 项和 答案 : 考向一 　裂项相消法求和 【 典例 1】 (2015· 全国卷 Ⅰ)S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 . 已知 a n >0,a n 2 +2a n =4S n +3. (1) 求 {a n } 的通项公式 . (2) 设 b n = , 求数列 {b n } 的前 n 项和 . ( 本题源自 A 版必修 5P47 习题 2.3B 组 T4) 【 解题导引 】 (1) 根据 a n+1 =S n+1 -S n 及 a n 2 +2a n =4S n +3 转化为 a n+1 与 a n 的关系 , 确定 {a n } 的通项公式 .(2) 利用裂项法求和 . 【 规范解答 】 (1) 由 a n 2 +2a n =4S n +3, 可知 a n+1 2 +2a n+1 =4S n+1 +3, 可得 a n+1 2 -a n 2 +2(a n+1 -a n )=4a n+1 , 即 2(a n+1 +a n )= a n+1 2 -a n 2 =(a n+1 +a n )(a n+1 -a n ), 由于 a n >0, 可得 a n+1 -a n =2, 又 a 1 2 +2a 1 =4a 1 +3, 解得 a 1 =-1( 舍去 ),a 1 =3. 所以 {a n } 是首项为 3, 公差为 2 的等差数列 , 通项公式为 a n =2n+1. (2) 由 a n =2n+1 可知 设数列 {b n } 的前 n 项和为 T n , 则 T n =b 1 +b 2 +…+b n 【 母题变式 】 若本例题 (2) 条件变为 b 1 = ,n≥2 时 , b n = 求数列 {b n } 的前 n 项和 T n . 【 解析 】 当 n ≥ 2 时 , 当 n=1 时 , 满足 b 1 = . 当 n 为偶数时 , 所以 当 n 为奇数时 , 所以 T n = 所以 T n = 【 规律方法 】 常见的裂项方法 ( 其中 n 为正整数 ) 【 变式训练 】 (2016· 马鞍山模拟 )S n = = 　　　 . 【 解析 】 通项 a n = 所以 答案 : 【 加固训练 】 1.(2016· 郑州模拟 ) 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n = 其前 n 项和为 S n , 则在数列 S 1 , S 2 ,…,S 2016 中 , 有理数项的项数为　 ( 　　 ) A.42 B.43 C.44 D.45 【 解析 】 选 B. 所以 因此 S 3 ,S 8 ,S 15 … 为有理项 , 又下标 3,8,15,… 的通项公式为 n 2 -1(n≥2), 所以 n 2 -1≤2 016, 且 n≥2, 所以 2≤n≤44, 所以有理项的项数为 43. 2.(2016· 大同模拟 ) 若已知数列的前四项是 则数列的前 n 项和为 　　　　 . 【 解析 】 因为通项 所以此数列的前 n 项和 答案： 3.(2016· 洛阳模拟 ) 等比数列 {a n } 的各项均为正数 , 且 2a 1 +3a 2 =1,a 3 2 =9a 2 a 6 . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 设 b n =log 3 a 1 +log 3 a 2 +…+log 3 a n , 求数列 的前 n 项和 . 【 解析 】 (1) 设数列 {a n } 的公比为 q. 由 a 3 2 =9a 2 a 6 得 a 3 2 =9 a 4 2 , 所以 q 2 = . 由条件可知 q>0, 故 q= . 由 2a 1 +3a 2 =1 得 2a 1 +3a 1 q=1, 所以 a 1 = . 故数列 {a n } 的通项公式为 a n = . (2)b n =log 3 a 1 +log 3 a 2 +…+log 3 a n 故 所以数列 的前 n 项和为 考向二 　错位相减法求和 【 典例 2】 (2015· 山东高考 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 2S n =3 n +3. (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 若数列 {b n } 满足 a n b n =log 3 a n , 求数列 {b n } 的前 n 项和 T n . 【 解题导引 】 (1)a n =S n -S n-1 要注意 n≥2 并验证 n=1 是否满足所求出的关系式 .(2) 利用错位相减求解 . 【 规范解答 】 (1)S n = 当 n=1 时 ,a 1 =S 1 = =3; 当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 , 即 又 a 1 不满足上式 , 所以 a n = (2) 当 n=1 时 ,a 1 b 1 =3b 1 =1, 所以 b 1 = ; 当 n≥2 时 ,a n b n = 3 n-1 ×b n =log 3 3 n-1 =n-1, 所以 b n = 故 b n = 当 n=1 时 ,T 1 =b 1 = ; 当 n≥2 时 ,T n =b 1 +b 2 +b 3 +b 4 +…+b n = 则 两式相减得 所以 因为 T 1 = 符合上式，所以 {b n } 的前 n 项和 【 易错警示 】 解答本例会出现以下错误 : (1) 中忘记验证 n=1 是否满足所求出的关系式 , (2) 中求 T n 作差后没有同除以 . 【 规律方法 】 利用错位相减法的一般类型及思路 (1) 求数列的前 n 项和 一般地 , 如果数列 {a n } 是等差数列 ,{b n } 是等比数列 , 求数列 {a n ·b n } 的前 n 项和时 , 可采用错位相减法求和 , 一般是在和式的两边同乘以等比数列 {b n } 的公比 , 然后作差求解 . 若 {b n } 的公比为参数 ( 字母 ), 则应对公比分等于 1 和不等于 1 两种情况分别求和 . (2) 比较大小或证明不等式 要善于识别题目类型 , 抓住通项公式的特征 , 正确变形 , 分清项数求和 , 再利用比较法或放缩法解决问题 . (3) 数列求和与函数、导数等知识的交汇问题 此类问题通常以数列为载体 , 以函数为工具 , 利用函数的相关知识求出数列 , 然后借用错位相减法求和 , 进一步解决问题 . 【 变式训练 】 (2016· 桐乡模拟 ) 已知公比 q 不为 1 的等 比数列 {a n } 的首项 a 1 = , 前 n 项和为 S n , 且 a 4 +S 4 ,a 5 +S 5 , a 6 +S 6 成等差数列 . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 对 n∈N * , 在 a n 与 a n+1 之间插入 n 个数 , 使这 n+2 个数成等 差数列 , 记插入的这 n 个数的和为 b n , 求数列 {b n } 的前 n 项 和 T n . 【 解析 】 (1) 因为 a 4 +S 4 ,a 5 +S 5 ,a 6 +S 6 成等差数列 , 所以 2(a 5 +S 5 )=a 4 +S 4 +a 6 +S 6 , 即 2a 6 -3a 5 +a 4 =0, 即 2q 2 -3q+1=0, 解得 q= , 故 a n =( ) n . (2) 若记插入的 n 个数为 x n (n =1,2,…,n), 由 (1) 及等差数列的性质及前 n 项和公式可知 x 1 +x n =a n +a n+1 , 【 加固训练 】 1.(2016· 西安模拟 ) 化简 S n =n+(n-1)×2+(n-2)×2 2 +…+2×2 n-2 +2 n-1 的结果是　 ( 　　 ) A.2 n+1 +n-2 B.2 n+1 -n+2 C.2 n -n-2 D.2 n+1 -n-2 【 解析 】 选 D. 因为 S n =n+(n-1)×2+(n-2)×2 2 +…+2 ×2 n-2 +2 n-1 ,① 2S n =n×2+(n-1)×2 2 +(n-2)×2 3 +…+2×2 n-1 +2 n ,② 所以① -② 得 ,-S n =n-(2+2 2 +2 3 +…+2 n )=n+2-2 n+1 , 所以 S n =2 n+1 -n-2. 2.(2014· 新课标全国卷 Ⅰ) 已知 {a n } 是递增的等差数列 ,a 2 ,a 4 是方程 x 2 -5x+6=0 的根 . (1) 求 {a n } 的通项公式 . (2) 求数列 的前 n 项和 . 【 解题提示 】 根据方程 x 2 -5x+6=0 求出 a 2 ,a 4 的值 , 从而 求出 {a n } 的通项公式 , 再利用错位相减法求出数列 的前 n 项和 . 【 解析 】 (1) 方程 x 2 -5x+6=0 的两根为 2,3, 由题意得 a 2 =2,a 4 =3, 设数列 {a n } 的公差为 d, 则 a 4 -a 2 =2d, 故 d= , 从而 a 1 = , 所以 {a n } 的通项公式为 :a n = n+1. (2) 设数列 的前 n 项和为 S n , 由 (1) 知 则 两式相减得 : 考向三 　可转化为等差 ( 比 ) 数列的求和问题 【 考情快递 】 命题方向 命题视角 分组转化求和 主要考查通过分组 , 各组转化为等差 ( 比 ) 数列 , 之后再由公式法求和 并项转化求和 主要考查通过并项 , 并项后转化为等差 ( 比 ) 数列 , 之后再由公式法求和 【 考题例析 】 命题方向 1: 分组转化求和 【 典例 3】 (2016· 太原模拟 ) = 　　　　 . 【 解题导引 】 将 化为 n+ , 再分组求和 . 【 规范解答 】 因为 所以 答案： 命题方向 2: 并项转化求和 【 典例 4】 (2016· 昆明模拟 ) 在等差数列 {a n } 中 , 已知 d=2,a 2 是 a 1 与 a 4 的等比中项 . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 设 b n = 记 T n =-b 1 +b 2 -b 3 +…+( -1) n b n , 求 T n . 【 解题导引 】 (1) 根据已知条件可列方程求得数列 {a n } 的通项公式 .(2) 分奇数项和偶数项来讨论求数列的和 . 【 规范解答 】 (1) 由题意知 : {a n } 为等差数列 , 因为 a 2 为 a 1 与 a 4 的等比中项 , 所以 a 2 2 =a 1 ×a 4 且 a 1 ≠0, 即 ( a 1 +d) 2 =a 1 (a 1 +3d) ， 因为 d=2, 解得 a 1 =2, 所以 a n =2+(n-1)×2=2n. (2) 由 (1) 知： a n =2n ， b n = =n(n+1) ， ①当 n 为偶数时， T n =-(1×2)+(2×3)-(3×4)+…+n(n+1) =2(-1+3)+4(-3+5)+…+n[-(n-1)+(n+1)] =2×2+4×2+6×2+…+n×2=2×(2+4+6+…+n) ②当 n 为奇数时， T n =-(1×2)+(2×3)-(3×4)+…-n(n+1) =2(-1+3)+4(-3+5)+…+(n-1)[-(n-2)+n]-n(n+1) =2×2+4×2+6×2+…+(n-1)×2-n(n+1) =2×[2+4+6+…+(n-1)]-n(n+1) 综上： 【 一题多解 】 解答本例 (2), 你知道几种解法 ? 解答本题 , 还有以下解法 : 因为当 n 为偶数时 ,T n = 所以当 n 为奇数时 , 因此 【 技法感悟 】 1. 分组转化求和的常见类型 (1) 若 a n =b n ±c n , 且 {b n },{c n } 为等差或等比数列 , 可采用 分组求和法求 {a n } 的前 n 项和 . (2) 通项公式为 a n = 的数列 , 其中数列 {b n },{c n } 是等比数列或等差数列 , 可采用分组求和法求和 . 2. 并项转化求和的解题思路 并项求和常见的有首末并项、隔项并项、分段并项、类周期并项 , 求解时要注意观察其结构特点 , 根据其特点采用相应方法求解 . 【 题组通关 】 1.(2016· 郑州模拟 ) 数列 {a n } 的通项公式 a n =ncos , 其前 n 项和为 S n , 则 S 2 016 等于　 ( 　　 ) A.1008 B.2016 C.504 D.0 【 解析 】 选 A.a 1 =cos =0,a 2 =2cos π =-2, a 3 =0,a 4 =4,…. 所以数列 {a n } 的所有奇数项为 0, 前 2 016 项的所有偶数 项 ( 共 1 008 项 ) 依次为 -2,4,-6,8,…,-2 014,2 016. 故 S 2 016 =0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-2 014+2 016)=1 008. 2.(2016· 南昌模拟 ) 若数列 {a n } 的通项公式是 a n = (-1) n · (3n-2), 则 a 1 +a 2 +…+a 12 = 　 ( 　　 ) A.18 B.15 C.-18 D.-15 【 解析 】 选 A. 记 b n =3n-2, 则数列 {b n } 是以 1 为首项 ,3 为 公差的等差数列 , 所以 a 1 +a 2 + … +a 11 +a 12 =(-b 1 )+b 2 + … +(-b 11 )+b 12 =(b 2 -b 1 )+(b 4 -b 3 )+ … +(b 12 -b 11 )=6 × 3=18. 3.(2016· 保定模拟 ) 有穷数列 1,1+2,1+2+4,…, 1+2+4+…+2 n-1 所有项的和为 　　　 . 【 解析 】 由 题意知所求数列的通项为 =2 n -1, 故由 分组求和法及等比数列的求和公式可得和为 答案 : 2 n+1 -2-n 4.(2015· 西安模拟 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 与通项 a n 满足 S n = (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 设 f(x )=log 3 x,b n =f(a 1 )+f(a 2 )+…+f(a n ), T n = 求 T 2 016 . (3) 若 c n =a n ·f(a n ), 求 {c n } 的前 n 项和 U n . 【 解析 】 (1) 当 n=1 时 ,a 1 = , 当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 , 又 S n = - a n , 所以 a n = a n-1 , 即数列 {a n } 是首项为 , 公比为 的等比数列 , 故 a n = (2) 由已知可得 f(a n )= 则 b n =-1-2-3-…-n= 故 又 所以 T 2 016 =- (3) 由题意得 故 U n =c 1 +c 2 +…+c n 则 两式相减可得 【 加固训练 】 已知数列 {a n } 满足 a n a n+1 a n+2 a n+3 =24, 且 a 1 =1,a 2 =2,a 3 =3, 则 a 1 +a 2 +a 3 +…+a 2 016 = 　　　　 . 【 解题提示 】 先探求数列的周期性 , 再分组求和 . 【 解析 】 由 a n a n+1 a n+2 a n+3 =24 可知 ,a n+1 a n+2 a n+3 a n+4 =24, 得 a n+4 =a n , 所以数列 {a n } 是周期为 4 的数列 , 再令 n=1, 求得 a 4 =4, 每四个一组可得 (a 1 +a 2 +a 3 +a 4 )+…+(a 2 009 +a 2 010 + a 2 011 +a 2 012 )+(a 2 013 +a 2 014 +a 2 015 +a 2 016 )=10×504 =5 040. 答案 : 5 040