2018年河南省开封市高考一模数学理

2018年河南省开封市高考一模数学理

2018 年河南省开封市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.设 U=R，已知集合 A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且 (∁UA)∪B=R，则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞，1) B.(-∞，1] C.(1，+∞) D.[1，+∞ 解析：∵U=R，集合 A={x|x≥1}=[1，+∞)， B={x|x＞a}=(a，+∞)， ∴∁UA=(-∞，1)， 又(∁UA)∪B=R， ∴实数 a 的取值范围是(-∞，1). 答案：A 2.若复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 z1=1-2i，则复数 2 1 z z 在复平面内对应 的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：∵z1=1-2i，且复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称， ∴z2=-1-2i， 则         2 1 1 2 1 21 2 3 4 1 2 5 51 2 1 2 iiz i izi ii     ＝ ＝ ， ∴复数 在复平面内对应的点的坐标为( 34 55， )，在第四象限. 答案：D 3.已知向量 a =(m-1，1)，b =(m，-2)，则“m=2”是“ ab ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：∵ =(m-1，1)， =(m，-2)， ∴ ⇔m(m-1)-2=0. 由 m(m-1)-2=0，解得 m=-1 或 m=2. ∴“m=2”是“ ab ”的充分不必要条件. 答案：A 4.若 2cos2α ＝sin( 4  −α )，则 sin2α 的值为( ) A. 15 8 B. 15 8 C.1 或 7 8 D. 7 8 解析：若 2cos2α ＝sin( −α )，即 2(cos2α -sin2α )= 22cos sin22 ， 显然，cosα =sinα 时，满足条件，此时，tanα =1，sin2α =1. cosα ≠sinα ，则 2(cosα +sinα )= 2 2 ，即 cosα +sinα = 2 4 ， ∴1+2sinα cosα = 1 8 ，即 sin2α =2sinα cosα = . 综上可得，sin2α =1 或 . 答案：C 5.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 9S3=S6，a2=1，则 a1=( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D.2 解析：设等比数列{an}的公比为 q≠1，∵9S3=S6，a2=1， ∴    36 119 1 1 11 a q a q qq   ，a1q=1. 则 q=2，a1= . 答案：A 6.已知曲线 22 221yx ab (a＞0，b＞0)为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为 2 ，则该 双曲线的方程为( ) A. 221 2xy ＝ B.x2-y2=1 C. 222xy ＝ D.x2-y2=2 解析：根据题意，若曲线 22 221yx ab (a＞0，b＞0)为等轴双曲线，则 a2=b2， 22 2c a b a   ，即焦点的坐标为(± 2 a，0)； 其渐近线方程为 x±y=0， 若焦点到渐近线的距离为 2 ，则有 2 2 11 a a  ， 则双曲线的标准方程为 22 22 yx  ＝ 1 ，即 x2-y2=2. 答案：D 7.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思 为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程 序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是 ( ) A.i＜7，S＝S−1 i ，i＝2i B.i≤7，S＝S−1 i ，i＝2i C.i＜7，S＝ 2 S ，i＝i+1 D.i≤7，S＝ 2 S ，i＝i+1 解析：由题意可得：由图可知第一次剩下 1 2 ，第二次剩下 2 1 2 ，…由此得出第 7 次剩下 7 1 2 ， 可得①为 i≤7 ②s= ③i=i+1 答案：D 8.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O1、O2，这两个球相外切，且球 O1 与正方 体共顶点 A的三个面相切，球 O2 与正方体共顶点B1 的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C 上的正投影是( ) A. B. C. D. 解析：由题意可以判断出两球在正方体的面 AA1C1C 上的正投影与正方形相切，排除 C、D， 把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除 A； B 正确. 答案：B 9.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人 欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( ) A. 1 7 B. 2 7 C. 3 7 D. 4 7 解析：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路， ∴一共要走 3 次向上，2 次向右，2 次向前，一共 7 次， ∴最近的行走路线共有：n= 7 7A =5040， ∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是 2 次向右和 2 次向前全排列 4 4A ， 接下来，就是把 3 次向上插到 4 次不向上之间的空当中，5 个位置排三个元素，也就是 3 5A ， 则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有 m= 43 45AA=1440 种， ∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率 1440 2 5040 7 mp n   . 答案：B 10.函数 2x ln x y x  的图象大致是( ) A. B. C. D. 解析：当 x＞0 时，y=xlnx，y′=1+lnx， 即 0＜x＜ 1 e 时，函数 y 单调递减，当 x＞ 1 e ，函数 y 单调递增， 因为函数 y 为偶函数. 答案：D 11.抛物线 M：y2=4x 的准线与 x 轴交于点 A，点 F 为焦点，若抛物线 M 上一点 P 满足 PA⊥PF， 则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为(参考数据： 5 ≈2.24)( ) A. 2.4 B. 2.3 C. 2.2 D. 2.1 解析：由题意，A(-1，0)，F(1，0)， 点 P 在以 AF 为直径的圆 x2+y2=1 上. 设点 P 的横坐标为 m，联立圆与抛物线的方程得 x2+4x-1=0， ∵m＞0，∴m=-2+ 5 ， ∴点 P 的横坐标为-2+ ， ∴|PF|=m+1=-1+ ， ∴圆 F 的方程为(x-1)2+y2=( -1)2， 令 x=0，可得 5 2 5y    ， ∴ 2 5 2 5 2 5 2 2.24 2.1EF       . 答案：D 12.已知函数 f(x)＝4sin(2x− 6  )，x∈[0， 46 3  ]，若函数 F(x)=f(x)-3 的所有零点依次记 为 x1，x2，x3，…，xn，且 x1＜x2＜x3＜…＜xn，则 x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn=( ) A.1276 3  B.445π C.455π D.1457 3  解析：函数 f(x)＝4sin(2x− 6  )， 令 2 62xk  得 1 23xk，k∈Z，即 f(x)的对称轴方程为 1 23xk，k∈Z. ∵f(x)的最小正周期为 T=π ，0≤x≤ ， 当 k=0 时，可得第一根对称轴 x= 3  ，当 k=30 时，可得 x= ， ∴f(x)在[0， 46 3  ]上有 31 条对称轴， 根据正弦函数的性质可知：函数 f(x)＝4sin(2x− 6  )与 y=3 的交点有 31 个点，即 x1，x2 关 于 3  对称，x2，x3 关于 5 6  对称，…， 即 x1+x2= 2 6  ×2，x2+x3= 5 6  ×2，…，xn-1+xn=2× 89 6  将 以 上 各 式 相 加 得 ： x1+2x2+2x3+ … +2x28+2x29+2x30++x31=  2 5 892 2 5 8 89 4556 6 6 3                （ ） 则 x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn=(x1+x2)+(x2+x3)+x3+…+xn-1+(xn-1+xn)=2( 3 59 2 2 2       )=455 π . 答案：C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.(x-y)10 的展开式中，x7y3 的系数与 x3y7 的系数之和等于_____. 解析：因为(x-y)10 的展开式中含 x7y3 的项为 C103x10-3y3(-1)3=-C103x7y3， 含 x3y7 的项为 C107x10-7y7(-1)7=-C107x3y7. 由 C103=C107=120 知，x7y3 与 x3y7 的系数之和为-240. 答案：-240 14.设 x，y 满足约束条件 5 3 15 1 53 xy yx xy      ，且 x，y∈Z，则 z=3x+5y 的最大值为_____. 解析：由约束条件 作出可行域如图， 作出直线 3x+5y=0， ∵x，y∈Z， ∴平移直线 3x+5y=0 至(1，2)时，目标函数 z=3x+5y 的最大值为 13. 答案：13 15.设     1 2 22 log 3 1 2 xex fx xx    ， ＜ ， ，且 f(f(a))=2，则满足条件的 a 的值有_____个. 解析： ，且 f(f(a))=2 ∴当 a＜2 时，f(a)=2ea-1， 若 2ea-1＜2，则 f(f(a))= 1212 aee   =2，解得 a=1-ln2； 若 2ea-1≥2，则 f(f(a))=  21log 3 2 ]1[ ae   =2，解得 a=ln 10 2 +1，成立； 当 a≥2 时，f(a)=log3(a2-1)， 若 log3(a2-1)＜2，则 f(f(a))=2elog3(a2−1)-1=2，解得 a=2，或 a=-2，与 a≥2 不符， 若 log3(a2-1)≥2，则 f(f(a))=log3[(log3(a2-1)]=2，解得 a2=310+1， ∴a= 1031 或 a=- 1031 与 a≥2 不符. 由此得到满足条件的 a 的值有 1-ln2 和 10ln 12  和 2 和 1031 ，共 4 个. 答案：4 16.一个棱长为 5 的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小正四面体，若小正四面 体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为_____. 解析：∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动， ∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球， 设正四面体的棱长为 a，则内切球的半径为 6 12 a ，外接球的半径是 6 4 a ， ∴纸盒的内切球半径是 6 5 6512 12 ， 设小正四面体的棱长是 x，则 5 6 6 12 4 x ，解得 x= 5 3 ， ∴小正四面体的棱长的最大值为 5 3 . 答案： 5 3 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且 2cosB(acosC+ccosA)+b=0. (Ⅰ)求角 B 的大小； (Ⅱ)若 a=3，点 D 在 AC 边上且 BD⊥AC，BD=15 3 14 ，求 c. 解析：(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出 B 的值. (Ⅱ)进一步利用解直角三角形的方法求出结果. 答案：(Ⅰ)在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， 且 2cosB(acosC+ccosA)+b=0. 则：2cosB(sinAcosC+sinCcosA)+sinB=0， 整理得：2cosBsin(A+C)=-sinB， 由于：0＜B＜π ， 则：sinB≠0， 解得：cosB＝− 1 2 ， 所以：B= 2 3  . (Ⅱ)点 D 在 AC 边上且 BD⊥AC， 在直角△BCD 中，若 a=3，BD=15 3 14 ， 解得：CD2＝32−(15 3 14 )2， 解得：CD＝ 33 14 ， 则：cos∠DBC＝ 53 14 ，sin∠DBC＝ 11 14 ， 所以：  2 1 5 3 3 11 3 3cos cos 3 2 14 2 14 14ABD D BC          ， 则：在 Rt△ABD 中， 15 3 14 5cos 33 14 BDAB ABD  ＝ ＝ . 故：c=5. 18.如图 1，在矩形 ABCD 中，AD=2AB=4，E 是 AD 的中点.将△ABE 沿 BE 折起使 A 到点 P 的位 置，平面 PEB⊥平面 BCDE，如图 2. (Ⅰ)求证：平面 PBC⊥平面 PEC； (Ⅱ)求二面角 B-PE-D 的余弦值. 解析：(Ⅰ)证明：由 AD=2AB，E 为线段 AD 的中点，可得 AB=AE，由面面垂直的性质可得 PO ⊥平面 BCDE，则 PO⊥EC，在矩形 ABCD 中，由已知可得 BE⊥EC，则 EC⊥平面 PBE，得到 EC ⊥PB，又 PB⊥PE，由面面垂直的判定可得 PB⊥平面 PEC，进一步得到平面 PBC⊥平面 PEC； (Ⅱ)以 OB 所在直线为 x 轴，以平行于 EC 所在直线为 y 轴，以 OP 所在直线为 z 轴建立空间 直角坐标系，分别求出平面 PED 与平面 PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得 二面角 B-PE-D 的余弦值. 答案：(Ⅰ)证明：∵AD=2AB，E 为线段 AD 的中点， ∴AB=AE， 取 BE 中点 O，连接 PO，则 PO⊥BE， 又平面 PEB⊥平面 BCDE，平面 PEB∩平面 BCDE=BE， ∴PO⊥平面 BCDE，则 PO⊥EC， 在矩形 ABCD 中，∴AD=2AB，E 为 AD 的中点， ∴BE⊥EC，则 EC⊥平面 PBE， ∴EC⊥PB， 又 PB⊥PE，且 PE∩EC=E， ∴PB⊥平面 PEC，而 PB⊂平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PEC； (Ⅱ)以 OB 所在直线为 x 轴，以平行于 EC 所在直线为 y 轴，以 OP 所在直线为 z 轴建立空间 直角坐标系， ∵PB=PE=2，则 B( 2 ，0，0)，E(- 2 ，0，0)，P(0，0， 2 )，D( 2 2 2 0 ， ， )， ∴PB＝( 2 0 2，， )，PE＝( 2 0 2，， )，PD=( 2 2 2 2， ， ). 设平面 PED 的一个法向量为 m ＝(x，y，z)， 由 2 2 0 2 2 2 2 0 m PE x z m PD x y z          ＝ ＝ ＝ ＝ ，令 z=-1，则 m ＝(1，1，−1)， 又平面 PBE 的一个法向量为 n ＝(0，1，0)， 则 13cos 331 mnmn mn   ＜ ，＞ ＝ . ∴二面角 B-PE-D 的余弦值为- 3 3 . 19.近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期间，某购物平台的销 售业绩高达 1271 亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体 系，现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6， 对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. (Ⅰ)完成下面的 2×2 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 200 (Ⅱ)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的 次数为随机变量 X： (1)求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列； (2)求 X 的数学期望和方差. 附： P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (           2 2 n ad bc K a b c d a c b d      ＝ ，其中 n=a+b+c+d) 解析：(Ⅰ)对商品的好评率为 0.6，故对商品的好评 120 次，因此对商品好评但对服务不满 意 40 次；剩下对服务好评但对商品不满意 70 次，代入卡方公式得 K2≈11.111＞10.828，比 较表格数据得结论. (Ⅱ)(1)先确定随机变量取法可以是 0，1，2，3.再分别求对应概率，而每次对商品和服务 全为好评的概率为 2 5 ，所以符合独立重复试验，二项分布 X～B(3，2 5 )，利用公式求得分布 列. (2)利用 X 的分布列能求出 X 的数学期望及方差. 答案：(Ⅰ)由题意可得关于商品和服务评价的 2×2 列联表如下： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 K2=   2 200 80 10 40 70 150 50 120 80        ≈11.111＞6.635， 故有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关. (Ⅱ)(1)每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为 ，且 X 的取值可以是 0，1，2，3. 其中 P(X=0)= 33 27 5 125 ， P(X=1)=     2 1 3 2 3 54 5 5 125C  ， P(X=2)=    2 2 3 2 3 36 5 5 125C ＝ ， P(X=3)=  3 3 3 28 5 125C  ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 (2)∵X～B(3， 2 5 )， ∴E(X)= 263 55 ＝ ， D(X)= 2 3 183 5 5 25   . 20.给定椭圆 C： 22 22=1yx ab  (a＞b＞0)，称圆心在原点 O，半径为 22ab 的圆是椭圆 C 的“准圆”.已知椭圆 C 的离心率 e＝ 6 3 ，其“准圆”的方程为 x2+y2=4. (I)求椭圆 C 的方程； (II)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1，l2 交“准圆”于点 M，N. (1)当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l1，l2 的方程，并证明 l1⊥l2； (2)求证：线段 MN 的长为定值. 解析：(Ⅰ)根据椭圆的离心率公式及 a2+b2=4，解得 a 和 b 的值，即可求得椭圆方程； (Ⅱ)(1)把直线方程代入椭圆方程转化为关于 x 的一元二次方程，利用直线与椭圆相切⇔△ =0，即可解得 k 的值，进而利用垂直与斜率的关系即可证明； (2)分类讨论：l1，l2 经过点 P(x0，y0)，又分别交其准圆于点 M，N，无论两条直线中的斜率 是否存在，都有 l1，l2 垂直.即可得出线段 MN 为准圆 x2+y2=4 的直径. 答案：(I)由准圆方程为 x2+y2=4，则 a2+b2=4，椭圆的离心率 2 2 61 3 cbe a a     ， 解得：a= 3 ，b=1， ∴椭圆的标准方程： 2 2 13 x y ＝ ； (Ⅱ)证明：(1)∵准圆 x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0，2)， 设过点 P(0，2)且与椭圆相切的直线为 y=kx+2， 联立 2 2 2 13 y kx x y    ＝ ＝ ，整理得(1+3k2)x2+12kx+9=0. ∵直线 y=kx+2 与椭圆相切，∴△=144k2-4×9(1+3k2)=0，解得 k=±1， ∴l1，l2 方程为 y=x+2，y=-x+2.∵ 12 11llkk  ， ， ∴ 12 1llkk   ，则 l1⊥l2. (2)①当直线 l1，l2 中有一条斜率不存在时，不妨设直线 l1 斜率不存在， 则 l1：x=± 3 ， 当 l1：x= 3 时，l1 与准圆交于点( 3 ，1)( 3 ，-1)， 此时 l2 为 y=1(或 y=-1)，显然直线 l1，l2 垂直； 同理可证当 l1：x= 3 时，直线 l1，l2 垂直. ②当 l1，l2 斜率存在时，设点 P(x0，y0)，其中 x0 2+y0 2=4. 设经过点 P(x0，y0)与椭圆相切的直线为 y=t(x-x0)+y0， ∴由  00 2 2 13 y t x x y x y       ＝ ＝ 得(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0. 由△=0 化简整理得(3-x0 2)t2+2x0y0t+1-y0 2=0， ∵x0 2+y0 2=4，∴有(3-x0 2)t2+2x0y0t+(x0 2-3)=0. 设 l1，l2 的斜率分别为 t1，t2， ∵l1，l2 与椭圆相切，∴t1，t2 满足上述方程(3-x0 2)t2+2x0y0t+(x0 2-3)=0， ∴t1·t2=-1，即 l1，l2 垂直. 综合①②知：∵l1，l2 经过点 P(x0，y0)，又分别交其准圆于点 M，N，且 l1，l2 垂直. ∴线段 MN 为准圆 x2+y2=4 的直径，|MN|=4， ∴线段 MN 的长为定值. 21.已知函数 f(x)=(t-1)xex，g(x)=tx+1-ex. (Ⅰ)当 t≠1 时，讨论 f(x)的单调性； (Ⅱ)f(x)≤g(x)在[0，+∞)上恒成立，求 t 的取值范围. 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论 t 的范围，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)问题转化为(t-1)xex-tx-1+ex≤0 对∀x≥0 成立，设 h(x)=(t-1)xex-tx-1+ex，根据函数 的单调性求出 t 的范围即可. 答案：(Ⅰ)由 f(x)=(t-1)xex，得 f′(x)=(t-1)(x+1)ex， 若 t＞1，则 x＜-1 时，f′(x)＜0，f(x)递减，x＞-1 时，f′(x)＞0，f(x)递增， 若 t＜1，则 x＜-1 时，f′(x)＞0，f(x)递增，x＞-1 时，f′(x)＜0，f(x)递减， 故 t＞1 时，f(x)在(-∞，-1)递减，在(-1，+∞)递增， t＜1 时，f(x)在(-∞，-1)递增，在(-1，+∞)递减； (2)f(x)≤g(x)在[0，+∞)上恒成立， 即(t-1)xex-tx-1+ex≤0 对∀x≥0 成立， 设 h(x)=(t-1)xex-tx-1+ex， h(0)=0，h′(x)=(t-1)(x+1)ex-t+ex，h′(0)=0， h″(x)=ex[(t-1)x+2t-1]， t=1 时，h″(x)=ex≥0，h′(x)在[0，+∞)递增， ∴h′(x)≥h′(0)=0，故 h(x)在[0，+∞)递增， 故 h(x)≥h(0)=0，显然不成立， ∴t≠1，则 h″(x)=    21 11 x te x tt  ， 令 h″(x)=0，则 x=- 21 1 t t   ， ①当- 21 1 t t   ≤0 即 t＜ 1 2 或 t＞1 时， 若 t≤ 1 2 ，则 h″(x)在[0，+∞)为负，h′(x)递减， 故有 h′(x)≤h′(0)=0，h(x)在[0，+∞)递减， ∴h(x)≤h(0)=0 成立， 若 t≥1，则 h″(x)在[0，+∞)上为正，h′(x)递增， 故有 h′(x)≥h′(0)=0，故 h(x)在[0，+∞)递增， 故 h(x)≥h(0)=0，不成立， ②- ≥0 即 ≤t≤1 时， h″(x)在[0，- )内有 h′(x)≥h′(0)=0，h(x)递增， 故 h(x)在[0，- )内有 h(x)≥h(0)=0 不成立， 综上，t 的范围是(-∞， ]. 选修 4-4：极坐标与参数方程 22.已知直线 l：3 3 6 0xy   ，在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系 中，曲线 C：ρ -4sinθ =0. (Ⅰ)将直线 l 写成参数方程 2 cos sin xt yt      ＝ ＝ (t 为参数，α ∈[0，π )，)的形式，并求曲线 C 的直角坐标方程； (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作倾斜角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|AP|的最值. 解析：(Ⅰ)首先把直线的直角坐标方程转化为参数方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐 标方程. (Ⅱ)首先求出经过圆心倾斜角为 30°的直线方程，进一步求出两直线的交点坐标，进一步 利用两点间的距离公式求出结果. 答案：(Ⅰ)直线 l：3 3 6 0xy   ， 转化为参数方程为： 1 2 323 2 xt yt      ＝ ＝ (t 为参数)， 曲线 C：ρ -4sinθ =0. 转化为直角坐标方程为：x2+y2-4y=0. (Ⅱ)首先把 x2+y2-4y=0 的方程转化为：x2+(y-2)2=4， 所以经过圆心，且倾斜角为 30°的直线方程为： 3 3 x−y+2＝0， 则： 3 3 6 0 3 203 xy xy     ＝ ＝ ， 解得： 33 33 x y     ＝ ＝ ， 则：    22 3 3 3 1 2 3 2CA     ＝ ， 则：|AP|的最大值为： 2 3 2 2 2 3 4  ＝ ， |AP|的最小值为： 2 3 2 2 2 3＝ . 选修 4-5：不等式选讲 23.已知关于 x 的不等式|x+1|+|2x-1|≤3 的解集为{x|m≤x≤n}. (I)求实数 m、n 的值； (II)设 a、b、c 均为正数，且 a+b+c=n-m，求 1 1 1 abc的最小值. 解析：(Ⅰ)解不等式求出 m，n 的值即可； (Ⅱ)求出 a+b+c=2，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可. 答案：(Ⅰ)∵|x+1|+|2x-1|≤3， ∴ 1 2 1 2 1 3 x xx         或 11 2 1 2 1 3 x xx        ＜ ＜ 或 1 1 2 1 3 x xx       ， 解得：-1≤x≤1， 故 m=-1，n=1； (Ⅱ)由(Ⅰ)a+b+c=2， 则    1 1 1 1 1 1 1 2 abca b c a b c       =      1 111[]2 b a c a c b a b a c b c        ≥  3122222 b a c a c b a b a c b c      = 39322 ， 当且仅当 a=b=c= 2 3 时“=”成立.