2021高考数学一轮复习课后限时集训33等差数列及其前n项和文北师大版2

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2021高考数学一轮复习课后限时集训33等差数列及其前n项和文北师大版2

课后限时集训33‎ 等差数列及其前n项和 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(  )‎ A.1    B.2    C.4    D.8‎ C [设{an}的公差为d,则 由得解得d=4.‎ 故选C.]‎ ‎2.(2019·峨眉山模拟)在等差数列{an}中,a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,则数列{an}的前11项和等于(  )‎ A.66 B.132 ‎ C.-66 D.-132‎ D [因为a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,‎ 所以a3+a9=-24,‎ 又a3+a9=-24=2a6,所以a6=-12,‎ S11===-132.故选D.]‎ ‎3.在数列{an}中,an=28-5n,Sn为数列{an}的前n项和,当Sn最大时,n=(  )‎ A.2 B.3 ‎ C.5 D.6‎ C [∵an=28-5n,∴数列{an}为递减数列.‎ 令an=28-5n≥0,则n≤,又n∈N*,∴n≤5.‎ ‎∴当n=5时,Sn最大.故选C.]‎ ‎4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为(  )‎ A.65 B.176 ‎ C.183 D.184‎ D [由题意知,8个孩子所得棉花构成公差为17的等差数列,且前8项之和为996.‎ - 6 -‎ 设首项为a1,则S8=8a1+×17=996,解得a1=65,‎ 则a8=a1+7d=65+7×17=184,故选D.]‎ ‎5.设数列{an}的前n项和为Sn,且an=-2n+1,则数列的前11项和为(  )‎ A.-45 B.-50 ‎ C.-55 D.-66‎ D [∵an=-2n+1,∴数列{an}是以-1为首项,-2为公差的等差数列,∴Sn==-n2,‎ ‎∴==-n,∴数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴数列的前11项和为11×(-1)+×(-1)=-66,故选D.]‎ 二、填空题 ‎6.(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=5,a7=13,则S10=________.‎ ‎100 [∵{an}为等差数列,a3=5,a7=13,‎ ‎∴公差d===2,‎ 首项a1=a3-2d=5-2×2=1,‎ ‎∴S10=10a1+d=100.]‎ ‎7.若x≠y,数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差数列,则=________.‎  [由题意得a1-a2=,b1-b2=,所以=.]‎ ‎8.在等差数列{an}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=________.‎ ‎10 [a2+a4+a6+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+25,由S100=45得a1+a3+a5+…+a99=10.]‎ 三、解答题 ‎9.(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ ‎[解](1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an - 6 -‎ ‎}的通项公式为an=2n-9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.‎ ‎10.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.‎ ‎[解](1)设{an}的公差为d.由题意,得 a=a1a13,‎ 即(a1+10d)2=a1(a1+12d).‎ 于是d(2a1+25d)=0.‎ 又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.‎ 故an=-2n+27.‎ ‎(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.‎ 由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.‎ 从而Sn=(a1+a3n-2)‎ ‎=(-6n+56)‎ ‎=-3n2+28n.‎ ‎1.在数列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),则该数列的通项公式为(  )‎ A.an= B.an= C.an= D.an= A [由已知式=+可得-=-,知是首项为=1,公差为-=2-1=1的等差数列,所以=n,即an=.]‎ ‎2.设an=(n+1)2,bn=n2-n(n∈N*),则下列命题中不正确的是(  )‎ A.{an+1-an}是等差数列 B.{bn+1-bn}是等差数列 C.{an-bn}是等差数列 D.{an+bn}是等差数列 D [对于A,因为an=(n+1)2,‎ - 6 -‎ 所以an+1-an=(n+2)2-(n+1)2=2n+3,‎ 设cn=2n+3,所以cn+1-cn=2.‎ 所以{an+1-an}是等差数列,故A正确;‎ 对于B,因为bn=n2-n(n∈N*),‎ 所以bn+1-bn=2n,‎ 设cn=2n,所以cn+1-cn=2,‎ 所以{bn+1-bn}是等差数列,故B正确;‎ 对于C,因为an=(n+1)2,bn=n2-n(n∈N*),‎ 所以an-bn=(n+1)2-(n2-n)=3n+1,‎ 设cn=3n+1,所以cn+1-cn=3,‎ 所以{an-bn}是等差数列,故C正确;‎ 对于D,an+bn=2n2+n+1,设cn=an+bn,‎ cn+1-cn不是常数,故D错误.]‎ ‎3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则正整数m的值为________.‎ ‎5 [由题意知am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,则公差d=am+1-am=1.‎ 由Sm=0得=0,‎ 解得a1=-am=-2,‎ 则am=-2+(m-1)×1=2,解得m=5.]‎ ‎4.已知数列{an}满足a1=2,n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列是等差数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)设bn=-15,求数列{|bn|}的前n项和Tn.‎ ‎[解](1)证明:∵n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*),‎ ‎∴nan+1-(n+1)an=2n(n+1),∴-=2,‎ ‎∴数列是等差数列,其公差为2,首项为2,‎ ‎∴=2+2(n-1)=2n.‎ ‎(2)由(1)知an=2n2,∴bn=-15=2n-15,‎ ‎∴bn+1-bn=2,b1=-13,‎ ‎∴数列{bn}是首项为-13,公差为2的等差数列,‎ 则数列{bn}的前n项和Sn==n2-14n.‎ - 6 -‎ 令bn=2n-15≤0,n∈N*,解得n≤7.‎ ‎∴n≤7时,数列{|bn|}的前n项和Tn=-b1-b2-…-bn=-Sn=-n2+14n.‎ n≥8时,数列{|bn|}的前n项和Tn=-b1-b2-…-b7+b8+…+bn=-2S7+Sn=-2×(72-14×7)+n2-14n=n2-14n+98.‎ ‎∴Tn= ‎1.已知函数y=f(x)对任意自变量x都有f(x)=f(2-x),且函数f(x)在[1,+∞)上单调.若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a6)=f(a2 012),则{an}的前2 017项之和为(  )‎ A.0 B.2 017 ‎ C.2 016 D.4 034‎ B [由题意知a6+a2 012=2,则 S2 017===2 017,故选B.]‎ ‎2.各项均不为0的数列{an}满足=an+2an,且a3=2a8=.‎ ‎(1)证明数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}的通项公式为bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎[解](1)证明:依题意,an+1an+an+2an+1=2an+2an,两边同时除以anan+1an+2,‎ 可得+=,‎ 故数列是等差数列,‎ 设数列的公差为d.‎ 因为a3=2a8=,所以=5,=10,‎ 所以-=5=5d,‎ 即d=1,‎ 所以=+(n-3)d=5+(n-3)×1=n+2,‎ 故an=.‎ ‎(2)由(1)可知bn==·=,故Sn== - 6 -‎ ‎.‎ - 6 -‎
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