2018-2019学年新疆自治区北京大学附属中学新疆分校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年新疆自治区北京大学附属中学新疆分校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年新疆自治区北京大学附属中学新疆分校高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将代数式变形为，然后再利用两角差的余弦公式可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角差的余弦公式的应用，解题的关键就是将系数化为特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．在等差数列中，若公差，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的通项公式求解即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列中，，公差，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 等差数列中的计算问题都可转为基本量（首项和公差）来处理，运用公式时要注意项和项数的对应关系．本题也可求出等差数列的通项公式后再求出的值，属于简单题．‎ ‎3．已知，则的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出的取值范围，利用不等式的基本性质可得出三个数、、的大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，又，所以，，易得，‎ 因此，，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用不等式的性质比较大小，解题的关键在于不等式基本性质的应用，同时可可以利用特殊值法进行比较，属于中等题.‎ ‎4．设的内角所对的边分别为，若，则 （ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理得出的值，再由大边对大角定理结合得出，于此求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，，，，‎ 因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理解三角形，在利用正弦定理解三角形时，要知悉正弦定理所适应的基本类型，还要注意大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5．不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先将不等式化为，然后利用二次不等式的求解原则得出该不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解该不等式得或.‎ 因此，不等式的解集是，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键就是二次不等式的求解过程，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6．在中，角的对边分别为，若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用余弦定理，得出关于的二次方程，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理，即，整理得.‎ ‎，解得，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用余弦定理解三角形，解题时要熟悉余弦定理所适用的基本类型，再者就是列余弦定理时，要针对所给的已知角列等式求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7．在公比为2的等比数列中，前4项的和为45，则首项为（　　）‎ A．3 B．5 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等比数列的首项为，利用等比数列求和公式列方程求出的值，即为该等比数列的首项.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的首项为，由等比数列求和公式得，解得，‎ 因此，该等比数列的首项为，故选：A.‎ ‎8．一元二次不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】把一元二次不等式化成一般形式后再求出解集即可．‎ ‎【详解】‎ 原一元二次不等式化为，‎ 解得，‎ 所以不等式的解集为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，解题时注意解不等式的步骤，同时要注意结合二次函数的图象求解，以增加解题的直观性，属于简单题．‎ ‎9．在中，角，，的对边分别为，，，已知，那么这个三角形最大角的度数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用边角互化思想得，利用大边对大角定理得出角是该三角形的最大内角，然后利用余弦定理求出的值，可得出角的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，设，则，.‎ 由大边对大角定理可知，角是最大角，由余弦定理得，‎ ‎，因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查边角互化思想的应用，考查利用余弦定理解三角形，解题时要熟悉余弦定理所适用的基本类型，并根据已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理来解三角形.‎ ‎10．在等差数列中，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用等差中项的性质得出，然后利用等差数列的前项和公式以及等差中项的性质可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 由等差中项的性质得，得，‎ 所以，，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差中项性质的应用，考查等差数列求和公式，解题时充分利用等差中项的性质，能简化计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11．已知均为钝角，且，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用同角三角函数的基本关系求出、的值，然后计算出的取值范围以及的值，即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，，‎ ‎，，‎ 所以，，‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知值求角，解题的关键就是利用两角和差公式计算出所求角的某个三角函数值，结合角的取值范围得出角的值，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12．在等差数列中，，且，为其前项和，则使的最大正整数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件判断出等差数列中正负项的分界点，然后再结合等差数列的前项和公式和下标和的性质求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由条件得，等差数列的公差，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴使的最大正整数为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 解答类似问题的关键是找到数列的项或和的正负值的分界点，其中利用等差数列中项的下标和的性质和前项和的结合是解题的突破口，考查灵活运用知识解决问题和分析能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知在中，，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由正弦定理求出的值，再由，知，即为锐角，再利用同角三角函数的基本关系求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，，‎ ‎，，则为锐角，所以，，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数关系的应用，解题时要注意大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．数列中，如果，且，那么数列的前5项和为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题中条件得出等比数列的公比为，再利用等比数列求和公式可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列求和，考查等比数列的定义，解题的关键在于求出等比数列的首项和公比，并利用求和公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15．如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由韦达定理可得出，，代入不等式，消去 得出 ‎，再解该不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 由韦达定理得，，代入不等式，‎ 得，，消去得，解该不等式得，‎ 因此，不等式的解集为或，‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根与系数的关系（韦达定理），也考查了二次不等式的解法，在解二次不等式时，也要注意将首项系数化为正数，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16．已知角满足，则 __________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】运用诱导公式和二倍角余弦公式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得 ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 解答三角变换中的“给值求值”问题时，要注意将所给的条件作为一个整体进行处理，把所求角根据“拼凑”的方法用已知角表示，然后进行求解，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到二次不等式，因式分解求解即可；（2）将式子配方得到对称轴和最小值，使得最小值大于0即可。.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ 即，‎ 所以的解集是 ‎ ‎（Ⅱ）‎ 因为不等式的解集为，所以， ‎ 即实数的取值范围是. ‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求角B；‎ ‎（2）若，，求，．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．‎ ‎（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，‎ 由正弦定理，得． ‎ 又因为在中．‎ 所以． ‎ 法一：因为，所以，因而．‎ 所以，‎ 所以． ‎ 法二：即， ‎ 所以，因为，‎ 所以． ‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ 而，‎ 所以　，①‎ 由余弦定理，得，‎ 即， ② ‎ 把①代入②得.‎ ‎【点睛】‎ 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.‎ ‎19．已知，，.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎(2)求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据的范围，利用同角三角函数可求得，从而构造，利用两角和差正弦公式求解得到结果；（2）根据同角三角函数求出；利用二倍角正切公式求得；根据两角和差的正切公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎（2），则由（1）可知，，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的求解、二倍角公式的应用、两角和差的正弦和正切公式的应用问题，属于基础题.‎ ‎20．本小题满分12分）已知等差数列的前项和，且．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求证：是等比数列，并求其前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，利用，得（2）先利用第一问求出，利用等比数列定义证得即可，再利用等比数列求和公式直接求的前n项和．‎ 试题解析：解：（1）设等差数列的公差为，‎ ‎，又，‎ 由（1）得 ‎【考点】等差等比数列的通项公式及前n 项和 ‎21．在中，角，，的对边分别为，，，已知，．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)直接化简得A的值，即得C的值.(2)利用余弦定理化简得，再利用正弦定理求，再求出的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 解得或（舍去），所以，又，所以．‎ ‎（2）在中，，由余弦定理可得，‎ 又，所以，解得（负值舍去），‎ 又，由正弦定理可得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据为等差数列，前项和为，，且成等比数列．利用公式即可求解公差和首项，可得数列的通项公式； ‎ ‎（2）将的带入求解的通项公式，利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据为等差数列，．‎ 前项和为，且，即，…①‎ ‎∵成等比数列．可得：．∴…②‎ 由①②解得：，∴数列的通项公式为 ‎（2）由，‎ 即=．‎ 那么：数列的前项和 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎