2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二下学期第二次阶段性考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二下学期第二次阶段性考试数学（文）试题（解析版）

‎2018年5月15日高中数学作业 一、单选题 ‎1．已知集合，,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：化简集合B，再求与，即可判断．‎ 详解：集合，‎ ‎∴，‎ 故选：A 点睛：本题考查集合的交并运算，属于基础题.‎ ‎2．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得 ： ，且： ，‎ 据此有： .‎ 本题选择C选项.‎ 视频 ‎3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得.故选C.‎ 考点：函数的定义域.‎ ‎4．的一个必要条件为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：必要条件是由结论可以确定条件，再依次验证每个选项即可 详解：由题意知，可由a＜0，b＜0推导出选项 对于A：当a＜0，b＜0时，由同向不等式的性质，a+b＜0显然成立．∴A正确 对于B：当a＜0，b＜0时，不恒成立，如：a=﹣1，b=﹣1．∴B不正确 对于C：当a＜0，b＜0时，不恒成立，如：a=﹣1，b=﹣2．∴C不正确 对于D：当a＜0，b＜0时，，∴不成立．∴D不正确 故选：A．‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎5．设是满足的实数,那么( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用特殊值对选项逐一进行验证即可.‎ 详解：用赋值法．令a=2，b=﹣2，代入检验；‎ A选项为0＞4不成立，‎ C选项为4＜0不成立，‎ D选项为4＜4不成立，‎ 故选：B．‎ 点睛：处理不等式的小题型利用特值法非常有效，利用特值法必须排除三个选项后，才可以确认剩下的是正确的.‎ ‎6．下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】是奇函数,但是,[−1,1]上单调增函数。‎ 不是奇函数，‎ 对于,因为,所以是奇函数, 在[−1,1]上单调减函数，‎ 是偶函数,[−1,1]上单调递增。‎ 故选：C.‎ ‎7．已知集合， 为集合到集合的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（ ）‎ A. 7种 B. 4种 C. 8种 D. 12种 ‎【答案】A ‎【解析】值域C可能为：只含有一个元素时，{a}，{b}，{c}3种；有两个元素时，{a，b}，{a，c}，{b，c}3种；有三个元素时，{a，b，c}1种；∴值域C的不同情况有3+3+1=7种． 故选：B．‎ ‎8．已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．‎ 考点：函数的周期性和奇偶性．‎ 视频 ‎9．已知函数是偶函数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：函数是偶函数，所以时函数值相等 考点：函数奇偶性 ‎10．设函数·则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，由函数的解析式分析可得函数f（x）为偶函数，对f（x）求导分析可得函数f（x）在（0，+∞）为减函数，则f（x）＞f（2x﹣1）可以转化为|x|＜|2x﹣1|，进而可以变形为x2＜（2x﹣1）2，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ 详解：根据题意，函数f（x），‎ 易知f（x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，‎ 当x＞0时，f（x）=，其导数f′（x）+0，‎ 即函数f（x）在（0，+∞）为增函数，‎ f（x）＞f（2x﹣1）⇒f（|x|）＞f（|2x﹣1|）⇒|x|＞|2x﹣1|⇒x2＞（2x﹣1）2，‎ 解可得x＜1，‎ 即x的取值范围是；‎ 故选：C．‎ 点睛：处理抽象不等式一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则 ，若函数是奇函数，则．‎ ‎11．设，若，则 A. 2 B. 4‎ C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时,,若,可得，‎ 解得,则：.‎ 当时.,若，‎ 可得，方程无解。‎ 故选：C.‎ 点睛：分段函数的关键是是讨论自变量的范围，代入相对应的解析式中求解.‎ ‎12．设函数，则满足的的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．‎ 详解：令f（a）=t，‎ 则f（t）=2t，‎ 当t＜1时，3t﹣1=2t，‎ 由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2tln2，‎ 在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，‎ 即有g（t）＜g（1）=0，‎ 则方程3t﹣1=2t无解；‎ 当t≥1时，2t=2t成立，‎ 由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；‎ 或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．‎ 综上可得a的范围是a≥．‎ 故选：A．‎ 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ 二、填空题 ‎13．已知集合均为全集的子集,且,则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出集合B的补集，然后由∁U（A∪B）={4}可知3∈A，进而由交集的定义得出结果．‎ 详解：∵全集U={1，2，3，4}，B={1，2}，‎ ‎∴∁UB={3，4}‎ ‎∵∁U（A∪B）={4}，‎ ‎∴3∈A ‎∴A∩（∁UB）={3}‎ 故答案为：{3}．‎ 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎14．命题“存在,使得”的否定是__________．‎ ‎【答案】，使得 ‎【解析】分析：特称命题的否定为全称命题，即将“存在”改为“任意”，“=“改为“≠”即可得答案．‎ 详解：∵命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题 ‎∴命题的否定为：x∈R，都有x2+2x+5≠0．‎ 故答案为：x∈R，都有x2+2x+5≠0．‎ 点睛：注意区分“命题的否定”与“命题的否命题”，命题的否命题要对原命题的条件和结论同时否定.‎ ‎15．设函数，则满足的的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，则 ‎∴等价于，即 当时， ， ，满足恒成立 当即时，满足恒成立 综上所述， ‎ 故答案为 点睛：（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎16．已知函数关于函数的性质,有以下四个推断:‎ ‎①的定义域是； ②的值域是；‎ ‎③是奇函数； ④是区间上的增函数.‎ 其中推断正确的题号是__________．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】分析：根据f（x）的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出f（x）的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④错误．‎ 详解：①∵函数，‎ ‎∴f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），‎ 故①正确； ‎ ‎②f（x）=，‎ x＞0时：f（x）≤，‎ x＜0时：f（x）≥﹣，‎ 故f（x）的值域是，‎ 故②正确；‎ ‎③f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，‎ 故③正确；‎ ‎④由f′（x）=，‎ 令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜﹣1，‎ ‎∴f（x）在区间（0，2）上先增后减，‎ 故④错误；‎ 故答案为：①②③．‎ 点睛：本题考查了函数的定义域与值域，考查了奇偶性与单调性，考查了逻辑推理能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．求函数的单调区间、极值.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：，令＞0，可得函数的单调增区间；令＜0，可得函数的单调减区间，从而可的函数f（x）的极大值点与极小值点．‎ 详解： ‎ 令 或 ‎ 单增区间为 单减区间为 极大值 极小值 点睛：本题考查导数知识的简单应用，考查函数的单调性与极值，正确求导是关键，属于基础题．‎ ‎18．已知函数,‎ ‎(1)求函数的最小值；‎ ‎(2)已知,关于的不等式对任意恒成立； 函数是增函数.若“p或q”为真,“且”为假,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1（2） .‎ ‎【解析】分析：（1）作出函数f（x）的图象，借助于单调性以及图象即可求最小值；‎ ‎（2）运用（1）中求出的f（x）的最小值代入不等式f（x）≥m2+2m﹣2，求出对任意x∈R恒成立的m的范围，根据复合命题“p或q”为真，“p且q”为假时，建立不等式关系即可的实数m的取值范围．‎ 详解：(1,作出图像可知, ‎ ‎(2) ，或 ‎ “或”为真,“且”为假, 当真, 假时,则，解得 当假, 真时,则，解得或,‎ 故实数的取值范围是 .‎ 点睛：‎ ‎19．设函数的最小值为.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)已知，证明: .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）根据绝对值不等式的性质求出m的值，通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；‎ ‎（2）原问题等价于，利用作差法即可证明.‎ 详解：(1)因为 ,当,‎ 即时取等号,则的最小值为,所以.‎ 由,得 即,所以不等式的解集是.‎ ‎(2) ‎ 因为，则，得同理 所以 ‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎20．在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为 (为参数).‎ ‎(1)以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)设是曲线上两动点,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用平方关系消去参数θ把曲线的参数方程化为直角坐标方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）|AB|2=|OA|2+|OB|2=，利用正弦型函数的图象与性质能求出|AB|的取值范围．‎ 详解：(1)将曲线的参数方程化为直角坐标方程,得.‎ 将代入,得,即.‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 因为,则，所以.‎ 点睛：本题主要考查曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，以及极坐标方程在求范围中的应用，属于中档题型，也是常考题.‎ ‎21．已知奇函数的定义域为,当时, .‎ ‎(1)求函数在上的值域；‎ ‎(2)若 的最小值为,求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f（x）在[0，1]上的值域．‎ ‎（2）根据f（x）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．‎ 详解：(1)先根据为奇函数,求出函数在上的解析式:‎ 设则时,‎ 所以，当时，，所以，又，所以当的函数的值域为.（2）本题已知最小值,故先确定其何时取到最小值,令，则 ，根据定义区间与对称轴的相对位置关系讨论最小值的取法:①当，即时, ，无最小值,②当,即时, 解得舍去③当即时, ，解得 ‎,本题也可利用变量分离法转化为 ‎ 点睛：本题主要考查指数函数的单调性，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎22．已知为常数, ,函数,且方程有等 根.‎ ‎(1)求的解析式及值域;‎ ‎(2)设集合,,若,求实数的取值范围；‎ ‎(3)是否存在实数,使的定义域和值域分别为和?若存在,求 出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）存在 ‎【解析】分析：（1）由函数的解析式、f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，求得a、b的值，可得f（x）的解析式．再利用二次函数的性质求得函数的值域．‎ ‎（2）由题意可得A⊆B，分①当A=∅时、②当A≠∅时两种情况，分别利用二次函数的性质求得k的范围，再取并集，即得所求．‎ ‎（3）由条件可得，求得m、n的值，可得结论．‎ 详解：(1) ,且 又方程,即有等根,‎ ‎ ,即,从而,.‎ 又 ，值域为. ‎ ‎(2) ,‎ ‎①当时, ,此时,解得；‎ ‎②当时,设,对称轴,要,只需,解得 ‎，.‎ 综合①②,得.‎ ‎(3) ,则有.‎ 又因为对称轴,所以在是增函数,即，‎ 解得.‎ 存在使的定义域和值域分别为和.‎ 点睛：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.‎