2018届二轮复习（理）几何证明学案（全国通用）

2018届二轮复习（理）几何证明学案（全国通用）

专题11.5 几何证明 ‎【最新考纲解读】‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 1. 江苏近几年的高考，几何证明选讲主要考查相似三角形的判定与性质定理、圆的切线的判定与性质定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理和圆的内接四边形问题等..‎ ‎2. 平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础。本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维.‎ ‎【经典例题精析】‎ 考点1:相似三角形 ‎【1-1】如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.‎ ‎【1-2】在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，则CD的长为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【1-3】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________． ‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝.∵＝2，∴＝，∴＝，∴＝.‎ ‎【1-4】如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D点，BC2＝BD·AB，则∠ACB＝______.‎ ‎【答案】90°‎ ‎【解析】在△ABC与△CBD中，‎ 由BC2＝BD·AB，‎ 得＝，且∠B＝∠B，‎ 所以△ABC∽△CBD.则∠ACB＝∠CDB＝90°.‎ ‎【1-5】如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，则BF∶FD等于________．‎ ‎【答案】 ‎【基础知识】‎ ‎1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．‎ 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．‎ 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．‎ ‎2．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．‎ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．‎ ‎3．相似三角形的判定与性质 ‎(1)判定定理：‎ 内容 判定定理1‎ 两角对应相等的两个三角形相似 判定定理2‎ 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似 判定定理3‎ 三边对应成比例的两个三角形相似 ‎(2)性质定理：‎ 内容 性质定理1‎ 相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比 性质定理2‎ 相似三角形的面积比等于相似比的平方 结论 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方 射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 ‎【思想方法】.‎ ‎1．判定两个三角形相似的常规思路 ‎(1)先找两对对应角相等；‎ ‎(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；‎ ‎(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．‎ ‎2．借助图形判断三角形相似的方法 ‎(1)有平行线的可围绕平行线找相似；‎ ‎(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；‎ ‎(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．‎ ‎【温馨提醒】1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．‎ ‎2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．‎ 考点2：直线与圆 ‎【2-1】如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．‎ ‎(1)求证：＝；‎ ‎(2)若AC＝4，求AP·AD的值．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）16‎ ‎16.‎ ‎【2-2】如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B， C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠BAD等于________．‎ ‎【答案】99‎ ‎【2-3】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，过PA的中点M作割线交⊙O于点B和C，若∠BMP＝110°，∠BPC＝30°，则∠MPB＝________.‎ ‎【答案】20°‎ ‎【解析】由切割线定理得，MA2＝MB·MC，又MA＝MP，故MP2＝MB·MC，即＝，又∠BMP＝∠PMC.故△BMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，所以30°＋∠MPB＋∠MCP＝∠AMB＝180°－110°＝70°，所以∠MPB＝20°.‎ ‎【2-4】如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于点A，点B，且PB＝7，C是圆上一点，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由PA为圆O的切线可得，∠PAB＝∠ACB，又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以＝，而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，‎ 即AB＝.‎ ‎【2-5】如图， △ABC为圆的内接三角形， BD为圆的弦， 且BD∥AC. 过点A作圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝ 5，则线段CF的长为________．‎ ‎【答案】 ‎【基础知识】‎ ‎1．圆周角定理 ‎(1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎(2)圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数．‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．‎ 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎2．圆内接四边形的性质与判定定理 ‎(1)性质 定理1：圆内接四边形的对角互补．‎ 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．‎ ‎(2)判定 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ ‎3．圆的切线性质及判定定理 ‎(1)性质：‎ 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．‎ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ ‎(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ ‎(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．‎ ‎4．与圆有关的比例线段 ‎(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．‎ ‎(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．‎ ‎(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．‎ ‎(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．‎ ‎【思想方法】‎ ‎1．与圆有关的辅助线的五种作法 ‎(1)有弦，作弦心距．‎ ‎(2)有直径，作直径所对的圆周角．‎ ‎(3)有切点，作过切点的半径．‎ ‎(4)两圆相交，作公共弦．‎ ‎(5)两圆相切，作公切线．‎ ‎2．证明四点共圆的常用方法 ‎(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；‎ ‎(2)证明它的一个外角等于它的内对角；‎ ‎(3)证明四点到同一点的距离相等．‎ 当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．‎ ‎3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．‎ ‎【温馨提醒】1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．‎ ‎2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.‎