2018-2019学年贵州省南白中学（遵义县一中）高二下学期第一次联考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年贵州省南白中学（遵义县一中）高二下学期第一次联考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 贵州省南白中学（遵义县一中)2018-2019学年高二下学期第一次联考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,选C.‎ ‎2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据复数的运算法则可得，若其为纯虚数，则.‎ 考点：复数的概念与四则运算.‎ ‎3．若执行如右图的程序框图，则输出的值为 A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：第一次执行循环体后，a＝2，不满足退出循环的条件，故i＝2；‎ 第二次执行循环体后，a＝5，不满足退出循环的条件，故i＝3；‎ 第一次执行循环体后，a＝16，不满足退出循环的条件，故i＝4；‎ 第一次执行循环体后，a＝65，满足退出循环的条件，‎ 故输出的i值为4，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．‎ ‎4．若向量，则与的夹角等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，设夹角为，则.‎ ‎5．设实数，，则下列不等式一定正确的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对4个选项分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由于a＞b＞0，，A错；‎ 当0＜c＜1时，ca＜cb；当c＝1时，ca＝cb；当c＞1时，ca＞cb，故ca＞cb不一定正确，B错；‎ a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C错．‎ ‎ ，D对；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎6．若“直线与圆相切”， “”；则是 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和圆相切的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：若直线与圆相切，‎ 则圆心（0，0）到直线的距离d＝ ，‎ 即 ，‎ 即p是q的充要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎7．已知在等比数列中，，若在等差数列中，，则等差数列的前项和 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵是等比数列，∴，∴，又是等差数列，∴，，∴，故选B．‎ ‎8．若，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察已知角与所求角之间的关系得到α+ ＝（ +α）﹣（﹣），只要再求出另一个三角函数值，利用两角差的余弦公式解答．‎ ‎【详解】‎ 解：∵若 ＜β＜0＜α＜ ，cos（+α）＝ ，cos（﹣）＝ ，‎ ‎∴sin（+α）＝，sin（﹣）＝，‎ ‎∴cos（α+）＝cos[（+α）﹣（﹣）]＝cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）＝）＝ ；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数求值中角的等价变换以及两角和与差的三角函数公式的运用，本题关键是发现α+＝（+α）﹣（﹣）．‎ ‎9．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，若该三棱锥的正视图如右图所示，则该三棱锥的体积是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为，高为1的等腰三角形，棱锥的高为1，进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，‎ 结合给定的三棱锥的正视图，‎ 可得：三棱锥的底面是底为，高为1，‎ 棱锥的高为1，‎ 故棱锥的体积V＝×（××1）×1＝ ，‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．‎ ‎10．已知实数满足 则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：作出不等式组对应的平面区域如图，‎ 的几何意义是区域内的点到原点的斜率，‎ 由图象知OC的斜率最小，OB的斜率最大，‎ 由，得 ，即B（8，5），‎ 此时OB斜率k＝，‎ 由，得 ，即C（8，﹣1），‎ 此时OC斜率k＝ ，‎ 则的取值范围为，‎ 故答案为：B. ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．‎ ‎11．若定义在上的偶函数满足，且时, ，则函数的零点个数是 A．6个 B．8个 C．2个 D．4个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据奇偶性和周期性作出f(x)在R上的图象，再在同一个坐标系中作出 的图象，根据两图像交点个数即可得出h(x)的零点个数。‎ ‎【详解】‎ 解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），‎ ‎∴满足f（x+2）＝f（x），‎ 故函数的周期为2．‎ 当x∈[0，1]时，f（x）＝x，‎ 故当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝-x．‎ 函数h(x)＝f（x）﹣的零点的个数等于函数y＝f（x）的图象与函数y＝的图象的交点个数．‎ 在同一个坐标系中画出函数y＝f（x）的图象与函数y＝的图象，如图所示：‎ 显然函数y＝f（x）的图象与函数y＝的图象有4个交点，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想．‎ ‎12．过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设右焦点为F′，由，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．‎ ‎【详解】‎ 解：设右焦点为F′，‎ ‎∵，‎ ‎∴E是PF的中点，‎ ‎∴PF′＝2OE＝a，‎ ‎∴PF＝3a，‎ ‎∵OE⊥PF，‎ ‎∴PF′⊥PF，‎ ‎∴（3a）2+a2＝4c2，‎ ‎∴e＝＝，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若角的终边过点，则的值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得 x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函数的定义可得 ，由诱导公式化简，带入即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：∵角α的终边过点P（4，﹣3），则 x＝4，y＝﹣3，r＝5，，‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎14．已知二次函数的顶点为，则函数的单调递减区间为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次函数顶点式可得a,b的值，带入g(x)，转化为求复合函数的单调区间的问题，注意需保证真数大于零。‎ ‎【详解】‎ 解： ，二次函数顶点坐标（2，-3），所以a=2,b=-3.‎ 则 ，‎ 因为 在 单调递增，复合函数单调递减，只需求 的减区间，结合一元二次函数图象可得，为 。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数与二次函数的复合函数的单调性问题，需要注意保证真数为正。‎ ‎15．在锐角中，角的对边分别为，若 ， ，则的取值范围是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由正弦定理化简可得 ,再由 和正弦定理把边化角，利用化一公式即可求出 的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 解：在 中，由正弦定理可得:‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 又因为为锐角三角形，‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，锐角三角形求角的范围，以及化一公式的应用。‎ ‎16．是两个平面， 是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎(1)如果，那么.‎ ‎(2)如果，那么.‎ ‎(3)如果，那么.‎ ‎(4)如果，那么与所成的角和与所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ ‎【答案】(2)(4)‎ ‎【解析】对于（1）如果，可能，故（1）错误；对于（2）如果，则存在直线，使，由，可得，那么，故正确；对于（3）与无任何关系，故（3）错误；对于（4）如果，根据线面角的定义可得， 与所成的角和， 与所成的角均相等，故（4）正确；故答案为(2)(4).‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知等差数列的前项和记为，且 ‎（Ⅰ）求通项； ‎ ‎（Ⅱ）若，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 本试题主要是考出了等差数列的前n项和的运用，以及通项公式的求解。‎ ‎（1）先分析用基本首项和公差表示，联立方程组得到结论。‎ ‎（2）根据前n项和公式和通项公式得到n的值。‎ ‎18．对一学校的高二年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这名学生参加社区服务的次数；据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:‎ 分组 频数 频率 ‎10‎ ‎0.25‎ ‎24‎ ‎2‎ ‎0.05‎ 合计 ‎1‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ) 求出表中及图中的值;‎ ‎(Ⅱ) 若该校高二学生有240人,试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间内的人数;‎ ‎(Ⅲ) 在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.‎ ‎【答案】（1）； （2）60； （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；（2）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人；（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2＝6人，设出在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，‎ ‎∴M＝40．‎ ‎∵频数之和为40，‎ ‎∴10+24+m+2＝40，m＝4.．‎ ‎∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，‎ ‎∴‎ ‎（2）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，‎ ‎∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．‎ ‎（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2＝6人，‎ 设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．‎ 则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，‎ 而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，‎ ‎∴所求概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，考查了古典概型，本题是一个基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.‎ ‎19．如图 ，在四棱锥中， , ， 为棱的中点， .‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知条件得， ‎ ‎，再根据线面垂直判定定理得平面；（2）利用空间向量研究线面角,先根据条件建立空间直角坐标系,设列各点坐标,利用方程组求平面一个法向量,再利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角余弦值,最后根据线面角与向量夹角互余关系确定直线与平面所成角的正弦值.‎ 试题解析：（1）证明：由已知， ，‎ 又，即，‎ 且 ，‎ ‎∴平面 .‎ ‎（2）∵平面 ，∴为二面角的平面角，从而.‎ 如图所示，在平面内，作， 以为原点，分别以所在直线为轴， 轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，则.‎ 设直线与平面所成角为,‎ 则 .‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20．已知离心率的椭圆的一个焦点为，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过原点且与坐标轴不垂直的直线与曲线交于两点，且点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据 即可求出椭圆方程。‎ ‎（Ⅱ）由题意知，直线斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理和弦长公式，求出的值，再利用点到直线距离，求出三角形的高，即可写出面积的表达式，对参数k讨论求出面积最大值。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）根据题意得，∴. ‎ ‎∴.　故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）根据题意：设直线的方程为，‎ 由得。‎ 设 ‎∴，，‎ ‎∴ ‎ ‎ . ‎ 又∵点到直线的距离， ‎ ‎∴ ，‎ ‎ ，‎ ‎① 当时，；‎ ‎② 当时，……11分 综上所述，的面积的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考察数形结合的思想，运算求解的能力。‎ ‎21．已知函数的图像在处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在上为减函数，在上为增函数； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对f(x)求导，利用切线斜率以及切点坐标建立方程组求出a、b,带入导数式对其正负进行讨论即可求出单调区间。‎ ‎（Ⅱ） 恒成立，即对恒成立，构造函数，确定函数单调性，求出最小值，即可确定m的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵的定义域为，∴,‎ ‎∵在处的切线方程为，‎ ‎∴ ‎ ‎∴,∴‎ 当时，，当时，， ‎ ‎∴在上为减函数，在上为增函数， ‎ ‎（Ⅱ）∵当时,恒成立，‎ ‎∴对恒成立 即对恒成立 设， ∴即可 ‎∴ ‎ ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∴在上单调递减, 在上单调递增, ‎ ‎∴ ，∴ ‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，切线的方程等，侧重考察运算能力。‎ ‎22．已知在直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆的圆心的极坐标为。‎ ‎（Ⅰ）写出直线的参数方程和圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）试判定直线和圆的位置关系.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）直线和圆相离.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为 ，即可写出直线l的参数方程；求得圆心坐标，可得圆的直角坐标方程，利用 ，可得圆的极坐标方程为ρ＝8sinθ；‎ ‎（Ⅱ）求出直线l的普通方程，可得圆心到直线的距离，与半径比较，可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）根据题意：直线的参数方程是，（为参数）,‎ ‎∵半径为4的圆的圆心的极坐标为，‎ ‎∴圆心直角坐标为, 　∴圆的直角坐标方程为,‎ ‎ 由得圆的极坐标方程是. ‎ ‎（Ⅱ）∵圆心的直角坐标是，直线的普通方程是， ‎ ‎∴ 圆心到直线的距离， ‎ ‎ ∴直线和圆相离.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的参数方程，考查圆的极坐标方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力.‎