2017-2018学年山西省怀仁县第一中学、应县第一中学校高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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山西省怀仁县第一中学、应县第一中学校2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知命题：“，”，则是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由全称命题的否定是特称命题可知命题 ：“， ”， 则 是“，”.‎ 故选D.‎ ‎2．若是虚数单位，则复数的虚部等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部. ‎ 详解：由题意，复数，‎ 所以复数的虚部为，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算，其中正确运算复数的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎3．已知变量线性相关，且由观测数据算得样本平均数为，则由该观测数据得到的线性回归直线方程不可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由观测数的样本平均数为，即样本中心为，验证回归直线过样本中心，即可得到答案. ‎ 详解：由题意，可知观测数的样本平均数为，即样本中心为，‎ 对于D项，当时，，‎ 所以直线不可能是回归直线方程，故选D. ‎ 点睛：本题主要考查了回归直线方程的特征，即回归直线方程必经过样本中心点，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎4．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是（ ）‎ A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 合情推理 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据演绎推理的概念，即可作出判断. ‎ 详解：演绎推理：就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题中所给的这种推理符合演绎推理的形式，‎ 故选C. ‎ 点睛：本题主要考查了演绎推理的定义，是一个基础题，这种题目可以单独出现，但是单独考查了的概率不大，通过这个题考生要掌握击中推理的特点，学会选择. ‎ ‎5．曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程后为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意利用极坐标与直角坐标的关系将所给的极坐标方程化为直角坐标方程即可.‎ 详解：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）‎ A. -4 B. 2 C. 2或-4 D. 4或-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意结合绝对值的几何意义整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：表示数轴上的点到两点的距离之和，‎ 显然数轴上的点到，以及两点的距离之和为3，‎ 所以或，进而的值为 4或-2.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：绝对值问题的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎7．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果.‎ 详解：若，则，又，所以；‎ 若，当时，直线与平面的位置关系不确定，无法得到.‎ 综上，“”是“”的充分不必要条件.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．为了研究“晚上喝绿茶与失眠”有无关系，调查了100名人士，得到下面的列联表：‎ 失眠 不失眠 合计 晚上喝绿茶 ‎16‎ ‎40‎ ‎56‎ 晚上不喝绿茶 ‎5‎ ‎39‎ ‎44‎ 合计 ‎21‎ ‎79‎ ‎100‎ 由已知数据可以求得：，则根据下面临界值表：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 可以做出的结论是（ ）‎ A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”‎ B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”‎ C. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”‎ D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意给定的的值，与临界值表的数据比较，即可得到答案. ‎ 详解：由题意，知，‎ 根据临界值表：可得，‎ 所以可得在犯错误的概率不超过的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”，故选C. ‎ 点睛：本题主要考查了独立性检验的应用，其中掌握独立性检验的基本思想是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎9．若实数满足，给出以下说法：①中至少有一个大于；②中至少有一个小于；③中至少有一个不大于1；④中至少有一个不小于.其中正确说法的个数是（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. ‎ 详解：由题意满足，‎ 则在①、②中，当时，满足，所以命题不正确；‎ 对于③中，假设三个数列都大于，则，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则中失少有一个不大于，所以是正确的；‎ 对于④中，假设三个数列都小于，则，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则中失少有一个不小于，所以是正确的；‎ 综上可知，正确的命题由两个，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎10．如图所示，程序框图的输出值（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图，数据初始化： ；‎ 第一次循环： ；‎ 第二次循环： ；‎ 第三次循环： ；‎ 第四次循环： ；‎ 此时结束循环，输出S值为24.‎ 本题选择C选项.‎ ‎11．已知椭圆: 的左右焦点分别为以为圆心的圆与椭圆在第一象限的交点为，若直线与该圆相切，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：求出椭圆的焦点坐标，利用切线与圆相切，得到三角形的斜边大于直角边，然后求解直线F1P的斜率．‎ 详解：如图，‎ 在椭圆C：x2+4y2=4中， ‎ 所以 ‎ 根据题意，F1P⊥F2P，所以 ， 且|F1P|＞|F2P|，解得：，‎ 则直线F1P的斜率为 ‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查椭圆的简单性质的应用，圆与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.‎ ‎12．已知，，对一切，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：原问题等价于恒成立，据此构造函数可得实数的取值范围是.‎ 详解：由恒成立，‎ 令，‎ 当时，递减；当时，递增，恒成立，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题的核心在考查恒成立问题，对于恒成立问题，常用到以下两个结论：‎ ‎(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；‎ ‎(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应点的坐标为________.‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：由复数的运算法则，求得，即可得到复数在复平面对应的点的坐标. ‎ 详解：由题意，复数满足，所以，‎ 所以复数对应的点的坐标为. ‎ 点睛：本题主要考查了复数的运算及复数的表示，其中利用复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎14．在极坐标系中，是极点，设点，，则的面积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意结合三角形面积公式整理计算即可求得三角形的面积.‎ 详解：的面积 点睛：本题主要考查三角形面积公式的应用，极坐标的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．观察下列各式：，，，，由此可猜想，若，则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：观察下列式子，右边分母组成以为首项，为公差的对称数列，分子组成以为首项，以为公差的等差数列，即可得到答案. ‎ 详解：由题意，，，，‎ 可得，‎ 所以. ‎ 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察给定的式子，发现其运算的相同性或运算规律，（2）从已知的相同性或运算规律中推出一个明企鹅的一般性的题，着重考查了考生的推理与论证能力. ‎ ‎16．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为_______.‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】试题分析：由题设知对于任意正实数x，y恒成立，所以1+a+≥16，由此能求出正实数a的最小值．‎ ‎【解答】解：∵不等式对任意正实数x，y恒成立，‎ ‎∴ 对于任意正实数x，y恒成立 ‎∵ ‎ ‎∴1+a+≥16 ‎ 即 ，又a＞0，‎ 从而 ‎ 故答案为：9‎ 点睛：：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若在有极小值，求实数，的值.‎ ‎（2）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可得.‎ ‎（2）原问题等价于恒成立，据此可得的取值范围为.‎ 详解：（1），‎ 若在有极小值，‎ 则，‎ 解得：.经检验符合题意.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴恒成立，‎ 即，恒成立.‎ ‎∵时，，∴.‎ 即的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．随着人们生活水平的不断提高，家庭理财越来越引起人们的重视.某一调查机构随机调查了5个家庭的月收入与月理财支出（单位：元）的情况，如下表所示：‎ 月收入（千元）‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎11‎ 月理财支出（千元）‎ ‎（I）在下面的坐标系中画出这5组数据的散点图；‎ ‎（II）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（III）根据（II）的结果，预测当一个家庭的月收入为元时，月理财支出大约是多少元？‎ ‎（附：回归直线方程中，，.）‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2).‎ ‎(3) 元.‎ ‎【解析】分析：（I）根据表中的数据，即可作出散点图；‎ ‎（II）由表中数据，利用最小二乘法，求得，进而得出回归直线方程；‎ ‎（III）由（II）中的回归直线方程，令，代入回归方程，求得的值，即可作出预测. ‎ 详解：（I）散点图如下：‎ ‎ ‎ ‎（II）由表中数据可得：，，， ‎ 因此， ‎ ‎， ‎ 故关于的线性回归方程为. ‎ ‎（III）由于元千元， ‎ 令，代入回归方程， ‎ 可得千元，即元. ‎ 故可预测当一个家庭的月收入为元时，月理财支出大约是元. ‎ 点睛：本题主要考查了回归直线方程求解，以及回归直线方程的应用，其中利用最小二乘法的公式准确作出计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. ‎ ‎19．设命题：实数满足 (其中)；命题：实数满足.‎ ‎(1)若命题中，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或. (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先分别求出命题为真时的取值范围，再根据真时都为真，求交集即得结果（2）先分别求出命题为真时的取值范围，再根据补集得到为真时的取值范围，最后根据是的必要不充分条件，得为真子集，结合数轴列不等式，可得实数的取值范围.‎ 试题解析：解：(1)当时， .‎ ‎，‎ 又真，所以都为真，‎ 由，得或.‎ ‎(2) ，所以或，‎ ‎，‎ 所以满足条件的解集， ，‎ 因为是的必要不充分条件，‎ 所以，所以，得.‎ ‎20．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.若直线的参数方程为为参数）,曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设直线与曲线相交于两点，若点的直角坐标为，求的值.‎ ‎【答案】(1)；.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（I）由直线参数方程消参数去，即可求得直线的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）把直线的参数方程为为参数），曲线的直角坐标方程，求得，即可利用参数的几何意义求解结论. ‎ 详解：（I）由参数方程为参数）消去可得， ‎ 即直线的普通方程为. ‎ 由可得，因此，‎ 所以，‎ 故曲线的直角坐标方程为. ‎ ‎（II）由于，令，则直线的参数方程为为参数）.‎ 将代入曲线的直角坐标方程可得， ‎ 设两点对应的参数分别为，则， ‎ 于是.‎ 故. ‎ 点睛：本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中掌握直线参数方程中的参数的几何意义是解答难点，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎21．已知函数.‎ I）若，解不等式；‎ ‎（II）若均为正实数，且，求证：.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（I）当时，得到不等式.，分类讨论即可求解不等式的解集；‎ ‎（II） 由于均为正实数，所以，‎ 利用基本不等式求得最小值，即可作出证明. ‎ 详解：（I）当时，不等式即为. ‎ 若，则，解得； ‎ 若，则，解得； ‎ 若，则，无解. ‎ 综上，不等式的解集为. ‎ ‎（II） 由于均为正实数，所以，‎ 而，‎ 当且仅当，即时取等号. ‎ 故. ‎ 点睛：本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及基本不等式求最值的应用，其中构造基本不等式的条件，合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，推理与论证能力. ‎ ‎22．已知抛物线 : 过点的直线交抛物线于两点，设 ‎(1)若点 关于轴的对称点为，求证：直线经过抛物线 的焦点；‎ ‎(2)若求当最大时，直线的方程．‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出P和Q的坐标，根据P和M关于x轴对称表示出M的坐标，利用设出的坐标表示出和，根据，化简即可得到P和Q的横坐标，然后由抛物线的方程找出焦点F的坐标，然后利用M，F和Q的坐标表示出向量，利用刚才化简的式子及求出的横坐标代入即可得到=λ，所以得到直线MQ过F点；（2）由第一问求得的P和Q的横坐标相乘等于1，由y12﹣y22=16x1x2=16，y1y2＞0，得到y1y2的值，利用两点间的距离公式表示出|PQ|2，然后把P和Q的横坐标及得到的y1y2‎ 的值及x1x2的值分别代入得到关于λ的关系式，配方后利用λ的范围求出λ+的范围，即可求出λ+的最大值，让其等于最大值解出此时λ的值，把λ的值代入关于λ的关系式即可求出|PQ|2的最大值，即得到|PQ|最大值，并利用λ的值求出此时P和Q两点的坐标，根据两点的坐标即可写出直线PQ的方程．‎ 详解：‎ ‎（1）设 由抛物线C：得到F（1，0）‎ 直线MQ经过抛物线C的焦点F；‎ ‎（2）由（1）知 ‎ 则 当 即 时， 有最大值，则的最大值为 此时 ‎ 则直线的方程为：‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎