重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中考试数学（理）试卷

重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中考试数学（理）试卷

理 科 数 学 ‎ 第I卷（选择题)‎ 一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分,每小题有且只有一个选项是正确的）.‎ ‎1.已知集合，则=（ ）‎ A. (-1,3) B. (-1,3] C. (0,3) D. (0,3]‎ ‎2．已知复数满足（为虚数单位），且，则正数的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知某超市2019年中的12个月的收入与支出数据的折线图如图所示,则下列说法中，错误的是（ ）. 注：收益=收入-支出 A.该超市在2019年的12个月中，7月份的收益最高；‎ B.该超市在2019年的12个月中，4月份的收益最低；‎ C.该超市在2019年7月至12月的总收益比2109年1月至6月的总收益增长了90万元；‎ D.该超市在2019年1月至6月的总收益低于2109年7月至12月的总收益.‎ ‎(3题图)‎ ‎4.冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整 数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入 黑洞(4,2,1)，最终都会归入“4－2－1”的模式.‎ 该结论至今既没被证明，也没被证伪. 右边程序 （4题图）‎ 框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.在正方体中，分别是的中点，为正方形的中心，则（ ）‎ A.直线是异面直线，且 B.直线是异面直线且 C.直线是相交直线，且 D.直线是相交直线且 ‎6.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知，且与的等差中项为2，则（ ）‎ A. B‎.112 C. D.121‎ ‎7.空间直角坐标系中的点满足，则恰有两个坐标相同的点有（ ）‎ A.个 B.个 C. 个 D.个 ‎8.“”是“为函数的极小值点”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9.函数的图像大致为（ ）‎ ‎ ‎ A B C D ‎10. 函数的部分图像如右图所示, 且的图像过两点,为了得到的图像，只需将的图像（ ）‎ A.向右平移 B.向左平移 C.向左平移 D.向右平移 ‎11．已知分别是双曲线的中心和右焦点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于两点（异于原点），若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知四棱锥的棱长都是，为的中点，则经过的平面截四棱锥所得截面的面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13.若，若，则 ．‎ ‎14.在第35届全国中学生数学冬令营中，某市甲、乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图如下图：已知甲校成绩的中位数、平均分都比乙校成绩的中位数、平均分少1分，则_____________.‎ ‎15.设数列满足，则数列的前40项和是_____________.‎ ‎16.已知抛物线的焦点，过其准线与轴的交点作直线，‎ ‎(1)若直线与抛物线相切于点，则=_____________.‎ ‎(2)设，若直线与抛物线交于点，且，则=_____________.‎ 三.解答题：（本大题6个小题，共70分.各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎ (1)求的单调增区间；‎ ‎ (2)在中，若，且，求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某次数学测验共有12道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分. 在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9道题能选对；其余3道题无法确定正确选项，在这3道题中，恰有2道能排除两个错误选项，另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响．在 本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为 ‎(1)求的概率；‎ ‎(2)求的分布列和数学期望．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在由三棱锥和四棱锥拼接成的多面体中，平面,平面平面，且是边长为的正方形，是正三角形. ‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若多面体的体积为，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的右焦点为，过作两条直线分别与圆：相切于，且为直角三角形. 又知椭圆上的点与圆上的点的最大距离为. ‎ ‎(1)求椭圆及圆的方程；‎ ‎(2)若不经过点的直线：（其中）与圆相切，且直线与椭圆交于，求的周长.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎(1)若为单调增函数，求实数的值;‎ ‎(2)若函数无最小值，求整数的最小值与最大值之和.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4 - 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，(为参数)，直线的普通方程为，设与的交点为，当变化时，记点的轨迹为曲线. 在以原点 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程；‎ ‎(2)设点在上，点在上，若直线与的夹角为，求的最大值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4 - 5 不等式选讲 已知，，．‎ ‎(1)求 的取值范围； ‎ ‎(2)求证：． ‎ 理科数学参考答案 一.选择题：BACBCD ABACCB;‎ 二.填空题：13. 14. 15. 16.（1）；（2）‎ 解：(1) ……2分 ‎……………4分 ‎ …………5分 的单调增区间为……6分 ‎（2）由……7分 在中，由正弦定理可得：,可得……8分 ‎……10分 在中，由余弦定理可得：……12分 ‎18.解：(1)能排除2个选项的试题记为类试题；设选对一道类试题为，则……1分 能排除1个选项的试题记为类试题；设选对一道类试题为，则……2分 该考生选择题得55分的概率为：对2道，对0道,则概率为……3分 对1道，对1道,则概率为……4分 则……5分 ‎(2)该考生所得分数……6分 ‎;;;……9分（每个概率各1分）‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎45‎ ‎ 50‎ ‎ 55‎ ‎60‎ ‎ P ‎.……12分 ‎（其中分布列1分，期望表达式1分，计算期望1分）‎ ‎19.证明：（1）设点为中点，是正三角形 ‎，平面平面， ‎ 平面平面,则平面……2分 平面，……4分 平面,平面平面……6分 ‎（2） ‎ ‎……7分 由题意可知，建立如图直角坐标系，……8分 是边长为的正方形，是正三角形.则,，‎ ‎……10分 设平面的法向量为，‎ 则，……11分 又,若与平面所成角为，则……12分 ‎20.解：（1）最大距离为；……2分 为直角三角形；……3分 又；……4分 圆的方程为：；椭圆的方程为：……5分 ‎（2）与圆相切：则；……6分 设，,由得 ……7分 由，得…（※），且……8分 ‎……10分 ‎……11分 的周长为……12分 ‎21.解：(1) ……1分 函数为单调函数……3分 经检验，，为增函数，故适合题意……4分（也可分类讨论）‎ ‎(2)令， ‎ ‎（Ⅰ）当时，则在上为减函数 在上为增函数 当时，有最小值. 故不适合题意……5分 ‎（Ⅱ）当时，则在上为增函数 在上为增函数 在上为增函数，无最小值，故适合题意……6分 ‎（Ⅲ）当时，则在上为增函数 在上为减函数 在上为增函数……7分 则无最小值，故……8分 ‎ 由在上恒成立在上为增……9分 且 存在唯一的实根 在上为减； 在上为增……10分 且 存在唯一的实根,……11分 无最小值，,，‎ 综上，，，‎ ‎，……12分 ‎22.解：（1）直线可化为：，代入，消去可得：‎ ‎ ……4分 由直线斜率存在且不为零，则，曲线的普通方程为：……5分 ‎（2）为……6分 设点到直线的距离为，则与的夹角为……7分 ‎……9分 ‎……10分 ‎【考点】普通方程、参数方程、极坐标方程互化，长度最值.‎ ‎23.解：（1）∵，，，∴，，……2分 ‎∴，……4分 ‎∴当，时，的最小值为，‎ ‎∴；……5分 ‎（2）∵，，，∴，，‎ 当且仅当时，取等号，……7分 ‎∴‎ ‎，……9分 ‎∴时，的最大值为，∴．……10分 ‎ ‎